ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 463, № 2, с. 149-151
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 517.9+519.87+532+536
ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ НЕСЖИМАЕМОМ ЖИДКОСТИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ВО ВРЕМЕНИ ГЕОМЕТРИИ ТЕЧЕНИЯ
© 2015 г. Академик РАН В. Б. Бетелин, В. А. Галкин
Поступило 25.02.2015 г.
Работа посвящена оптимизационным задачам управления динамикой несжимаемой жидкости на основе изменения во времени геометрии течения. Задачи управления течением жидкости особую актуальность приобретают в связи с необходимостью создания технологии "цифровое месторождение". В частности, для нефтегазовой отрасли рассматриваемый класс задач непосредственно связан с моделированием отклика месторождения на динамические воздействия различных типов, что позволяет провести оптимизацию воздействий с целью повышения коэффициента извлечения нефти.
DOI: 10.7868/S0869565215200037
Рассматривается течение несжимаемой жидкости в открытой пространственной области {x} е D(t) с с Rn с границей dD(t), где t — время. Условие несжимаемости жидкости предполагает неизменность объема D(t ). Предполагается, что в указанной области жидкость имеет постоянную плотность р > 0, а ее динамика задается полем скоростей
u = {u(x,t)}1 и давлением p(x,t), которые починяются уравнениям Навье—Стокса в эйлеровых координатах:
д ut ^ д ut -1 д p , -ir
д-+S чц+р dp= dlvv gradu+р ^ (1)
divu = 0, t > 0, х е D(t),
-i
где v = np — кинематическая вязкость жидкости, п — динамическая вязкость, F(x, t) = {/■}" — плотность объемных сил. В общем случае, учитывая закон сохранения энергии, уравнения движения (1) следует рассматривать в совокупности с динамикой температуры жидкости T (х, t), от которой зависит кинематическая вязкость [1, 2]. Движение жидкости на границе dD(t) подчиняется условию
ïï(u,p,T) U(0= 0,
(2)
Научно-исследовательский институт системных исследований Российской Академии наук, Москва Политехнический институт Сургутского государственного университета Ханты-Мансийского автономного округа — Югры E-mail: val-gal@yandex.ru
конкретный вид которого определяется характером взаимодействия жидкости с окружающей средой на границе области течения. Соотношения (1), (2) обычно дополняются заданием начальных данных
^„(и, р,Т) Цо)= 0, * е Д0), ! = 0. (3)
В более общем случае соотношения (2), (3) могут быть заменены на задание условия связи р(и,р,Т) \8 = 0 на некотором многообразии S размерности п в цилиндре С = ^ Б!.
!
Определим неким образом целевой функционал /(и,р,Т,С) > 0.
Определение. Задача управления состоит в определении вида управляющих воздействий (управления) (р(и,р,Т) \8 = 0, минимизирующего функционал J на некотором заданном пространстве управлений.
Отметим, что выбор такого пространства определяется классом прикладных задач, для которых задается вид J.
Задачи управления течением жидкости особую актуальность приобретают в связи с необходимостью создания технологии "цифровое месторождение" [3, 4]. В частности, для нефтегазовой отрасли рассматриваемый класс задач непосредственно связан с моделированием отклика месторождения на динамические воздействия различных типов (механические, тепловые, электрические, химические и т.п.), которое позволяет провести оптимизацию воздействий с целью повышения коэффициента извлечения нефти. Оперативное решение такого класса задач, как свидетельствует опыт междисциплинарной программы по экзафлоп-
150
БЕТЕЛИН, ГАЛКИН
ным вычислениям G-8 с учетом пространственно-временных масштабов областей нефтяных пластов D(t), требует разработки комплексной программы исследовательских работ с использованием суперкомпьютерных технологий тера-пе-тафлопного класса. Это является необходимым условием технологического паритета с лидерами мирового рынка.
Простейшим модельным тестовым примером решения задачи управления течением несжимаемой жидкости в области с заданной переменной геометрией D(t) является класс потенциальных течений, когда решение уравнений движения (1) имеет вид
u = УФ(х,t), t > 0, x е D(t). (4)
Несжимаемость жидкости накладывает условие сохранения объема
vol D(t) = volD(0). (5)
Например, такие деформации порождаются од-нопараметрической группой преобразований Tt : Rn ^ Rn, задаваемой динамической системой x = V(x) с гладким бездивергентным векторным полем V: Rn ^ Rn так, что D(t) = TtD(0). Необходимым следствием несжимаемости течения является гармоничность семейства потенциалов Ф:
АФ(x, t) = 0, x е D(t), t > 0. (6)
В качестве управляющего воздействия на течение жидкости задаем проекцию поля u на единичную внешнюю нормаль N к гладкой границе области
Тем самым
ISD(t).
течения дБ(1): (и,К) \т)= (V,К) уравнение Лапласа (4) дополняем условием Дирихле
Аф
dN
ISD(t)
= (V, N) |dD(t).
(7)
Задача Неймана (6), (7) разрешима с точностью до произвольной функции времени, так как ёгу V = 0 в ). В случае постоянного коэффициента вязкости V в предположении о потенциальности объемных сил В = рУ ^ уравнения движения (1) выполняются тождественно для поля и, удовлетворяющего соотношениям (4)—(7), если давление р определим соотношением
Р = -Р
!(уф)2 +5Ф + У и .2 dt
(8)
Следует подчеркнуть, что для указанного класса течений не требуется задания начальных данных, вместо них накладывается условие потенциальности течения. Давление в формуле (8) определяется с точностью до произвольной функции времени. Первое слагаемое в правой части (8) определяет напор течения, а последнее — гидростатическое давление.
Таким образом, оптимизационная постановка задачи управления в рассматриваемом классе течений состоит в выборе такого поля деформаций V, для которого в заданной подобласти, располо-
женной в цилиндре С, поле скоростей жидкости и и ее давлениер в некоторой метрике J наименее уклоняются от заданных значений (т.е. в фиксированной скважине задается желаемый дебит — график скорости течения и давления во времени и пространстве, который оптимизируется на основании формул (4)—(8) в рамках аппаратурных ограничений, задающих пространство оптимизации). Модели деформации пластов в задачах гидрогеодинамики, которые включаются в рассматриваемый класс задач, приведены в [5].
Остановимся на явлении внутреннего трения в вязкой несжимаемой жидкости [1, 2, 6, 7], которое для крупномасштабных течений может оказывать влияние на тепловые и электрические явления при больших значениях вязкости V, меняя характеристики течения, а в некоторых случаях приводить к фазовым переходам, электрическим пробоям и т.п. Это может повлечь переоценку эксплуатационных режимов при управлении пластами. Аналогичные проблемы связаны с управлением гемодинамикой, в частности, с теплоэлектрическими процессами при течении в пористых средах, характерных для теплокровных организмов, а также с оптимизационными задачами управляемого плавания в вязкой несжимаемой жидкости.
Из закона сохранения энергии следует, что диссипативные процессы, обусловленные внутренним трением, определяют уравнение для температурного поля вязкой несжимаемой жидкости [2, 6]:
+ = + 7р- (9)
где х
кр Ср
t > 0, x е D(t), 1 — коэффициент температуропро-
водности среды, ср — теплоемкость. Последнее слагаемое в правой части уравнения (9) описывает общее прогревание среды, вызванное внутренним трением жидкости. Вид диссипативного внутреннего источника тепла определяется следующим выражением:
5
5
1 vV I Uj щ
2 Idx, dxJ
i,j 4 J
(10)
Прямые расчеты показывают существенное влияние этого источника тепла для жидкостей с большими коэффициентами вязкости V, что является прямым аналогом закона Джоуля—Ленца в электрических цепях. Имеются экспериментальные подтверждения [8] о влиянии такого вязкого тепловыделения в масляных подшипниках. Отметим, что эту же природу имеет эффект дросселирования течения вязкой жидкости в пористой среде. В частности, в [9] приведена таблица значений тепловыделения нефтепродуктов, воды и метилового спирта при дроссельном движении
ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ
151
при заданном перепаде давления. По-видимому, эти же эффекты тепловыделения имеют место при инициализации объемных взрывов при внесении пористого катализатора в вязкие жидкости [10], описываемых функциональными решениями [11] систем законов сохранения (1)—(10).
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 14-01-00478, 13-01-12051).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
2. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. М.: Наука, 1986. Ч. 1. 640 с.
3. Бетелин В.Б. Проблемы создания отечественной технологии "Цифровое месторождение". В сб.: Междунар. конф. "Математика и информационные технологии в нефтегазовом комплексе". Сургут, 2014. С. 15-17.
4. Вольпин С.Г., Юдин В.А., Кац Р.М., Афанаскин И.В., Галкин В.А. Применение суперкомпьютерных тех-
нологий — ключ к решению проблем повышения нефтеотдачи на месторождениях России. В сб.: СПб. науч. форум. VIII встреча лауреатов нобелевской премии. СПб., 2013. С. 90-92.
5. Шестаков В.М. Гидрогеодинамика. М.: Из-во МГУ, 1995. 368 с.
6. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 294 с.
7. Галич Н.Е. Тепловая неустойчивость и пробой движущихся вязких жидкостей в электрическом поле и при поглощении света // ЖТФ. 1989. Т. 59. В. 7. С. 10-17.
8. Алтоиз Б.А., Савин Н.В., Шатагина Е.А. Влияние тепловыделения в микропрослойке жидкости при измерении ее вязкости // ЖТФ. Т. 84. В. 5. С. 2127.
9. Куштанова Г.Г. Физика геосферы. Казань: Изд-во КазГУ, 2004. 44 с.
10. Семенов Н.Н. Цепные реакции. М.: Госхимтехиз-дат, 1934.
11. Галкин В.А. Анализ математических моделей: законы сохранения, уравнения Больцмана и Смолу-ховского. М.: БИНОМ, 2009. 407 с.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.