ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2010, том 46, № 6, с. 734-770
УДК 551.509.333:519.6
ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОЙ АССИМИЛЯЦИИ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ОБЩЕЙ ЦИРКУЛЯЦИИ ОКЕАНА И МЕТОДЫ
ИХ РЕШЕНИЯ
© 2010 г. В. И. Агошков*, В. М. Ипатова**, В. Б. Залесный*, Е. И. Пармузин*, В. П. Шутяев*
*Институт вычислительной математики РАН 119333 Москва, ул. Губкина, 8 Е-шаП: agoshkov@inm.ras.ru **Московский физико-технический институт 141700Долгопрудный, Московская обл., Институтский пер., 9
Е-таИ: ipatval@mail.ru Поступила в редакцию 20.04.2010 г., после доработки 02.06.2010 г.
Сформулированы задачи вариационной ассимиляции данных спутниковых наблюдений о температуре и уровне поверхности океана и данных о температуре и солености с системы буев ЛЯОО с использованием разработанной в ИВМ РАН глобальной трехмерной модели гидротермодинамики океана. Разработаны и обоснованы алгоритмы численного решения задач, созданы блоки ассимиляции данных, которые включены в глобальную трехмерную модель. Проведены численные эксперименты на примере акватории Индийского океана или всего Мирового океана. Численные эксперименты подтверждают полученные теоретические выводы и продемонстрировали целесообразность работы модели с блоком усвоения оперативных данных наблюдений.
Ключевые слова: вариационное усвоение данных, спутниковые данные наблюдений, температура поверхности океана, поле солености, уровень поверхности океана, задача инициализации гидрофизических полей, математическая модель циркуляции Мирового океана.
1. ВВЕДЕНИЕ
Методы ассимиляции (усвоения) данных широко применяются в науках о Земле. Наибольшие приложения они получили в метеорологии и океанографии, где наблюдения атмосферы и океана ассимилируются в атмосферные и океанские модели с целью получения начальных условий (или других параметров модели) для дальнейшего моделирования и прогноза. В последние годы методы усвоения данных начинают применяться и для анализа других измерений геосистемы, включая биосферу, криосферу и поверхность почвы.
В настоящее время происходят существенные качественные изменения систем измерений и мировое научное сообщество получает все больше и больше измерений различных характеристик нашей геосистемы. Поэтому разработка систем вариационной ассимиляции данных наблюдений, основанных на современных подходах и учитывающих последние достижения в этом направлении, является актуальной проблемой.
Наибольшее развитие методы усвоения данных получили в динамической метеорологии и физической океанографии, а также при оперативном численном предсказании атмосферных и океанских течений. В настоящее время теоретические и практи-
ческие идеи ассимиляции данных можно найти в технической литературе [1], математической [2—4] и геофизической литературе [5—8]. Пятый международный симпозиум Всемирной метеорологической организации по ассимиляции данных наблюдений в метеорологии и океанографии (Мельбурн, октябрь 2009) показал существенный прогресс в практическом применении современных методов усвоения, основанных как на подходе оптимального управления (вариационного усвоения данных), так и на подходе последовательного оценивания (статистические методы), а также на комбинации обоих подходов.
Первая попытка "объективного анализа" и усвоения метеорологических данных была выполнена Пановски [9]. Суть его метода — двумерная (2-D) полиномиальная интерполяция данных наблюдений. В дальнейшем этот подход был развит Гилкри-стом и Крессманом [10], которые ввели область влияния для каждого наблюдения и предложили использовать так называемое поле первого приближения — поле из предыдущего прогноза. В подходе Бергторссона и Дуза [11] это поле играет более важную роль — их методика усвоения основана на анализе разности данных наблюдений и ошибок первого приближения, а не самих значений функции
наблюдений. Они попытались оптимизировать веса, приписанные каждому наблюдению. Впоследствии модификация этого подхода была дана Крессманом [12] и состояла в нескольких итерациях анализа — так называемый метод последовательных поправок, или SCM-метод (Successive Correction Method).
Важным прорывом в решении задач ассимиляции данных было использование техники статистической интерполяции. Этот подход восходит к А.Н. Колмогорову (1941), а в науках о Земле он стал известен благодаря монографии Л. Гандина [13]. Это позволило поставить анализ данных на надлежащую статистическую основу. Этот подход обычно называют оптимальной интерполяцией (OI — Optimal Interpolation) [14]. Наблюдениям присваивают веса, которые связаны с ошибками наблюдений. В то же время поле первого приближения не является начальным значением для анализа, как ранее, а вместо этого оно является дополнительным полезным источником информации вместе со своей характеристикой ошибки.
Метод оптимальной интерполяции применялся во многих оперативных центрах, начиная с конца 1970-х годов [14]. В дальнейшем этот метод получил развитие в работах Лоренца [15]. Метод оптимальной интерполяции и его модификации до настоящего времени наиболее широко используются для операционного анализа данных при предсказании погоды [14], а также при ассимиляции океанографических данных [16].
Обобщением метода оптимальной интерполяции является "фильтр Калмана" [17]. Непрерывный аналог метода Калмана часто называют фильтром Калмана—Бьюси [18]. Существуют различные обобщения этого метода на нелинейный случай [1]. В настоящее время большим успехом пользуется расширенный фильтр Калмана — метод EKF (extended Kaiman filter) [19], который использует линеаризацию модели около некоторого известного состояния. Значительный вклад в разработку методов фильтра Калмана и методов четырехмерного анализа гидрофизических полей на основе динамико-стохастических моделей океана внесли работы [20—23]. В последние годы большую популярность приобретает ансамблевый фильтр Калмана — метод EnKF (ensemble Kaiman filter) [19, 24— 26], основанный на использовании метода Монте-Карло на каждом временном шаге.
Значительным прорывом в решении задач усвоения данных было применение вариационных методов и, в частности, методов оптимального управления. Очень плодотворной оказалась идея минимизировать некоторый функционал, связанный с данными наблюдений, на траекториях (решениях) рассматриваемой модели. Тем самым задача об усвоении данных формулируется как задача оптимального управления. Теоретические основы исследования и решения таких задач заложены в классических
работах Р Беллмана (1957), Л.С. Понтрягина (1962), Н.Н. Красовского (1969), Ж.-Л. Лионса (1968), Г.И. Марчука (1975) и др. Впервые вариационный формализм был использован в метеорологии Саса-ки [27], а в задачах динамической океанографии — Ле Прово и Сальмоном [28].
Как известно, при решении задач минимизации возникает необходимость вычислять градиент исходного функционала. Важным шагом в этом направлении было использование теории сопряженных уравнений [3, 4]. Начиная с известных работ [29—31], применение сопряженных уравнений для исследования и численного решения задач об усвоения данных (в том числе для вычисления градиента функционала) широко практикуется многими исследователями [15, 32—39].
Первые применения трехмерного вариационного усвоения данных (3Э-уаг) для операционного анализа были сделаны в Национальном Центре предсказаний NCEP [40], а позднее в Европейском Центре среднесрочного прогноза погоды ECMWF [36].
В настоящее время все больший интерес вызывает четырехмерное усвоение данных (4Э-уаг), при котором линеаризованные модели и сопряженные к ним используются для ассимиляции данных наблюдений не в конкретный момент времени, а на заданном временном интервале. Впервые система 4Э-уаг была применена в Европейском Центре прогноза погоды (1994 г.).
Разрешимость нелинейных задач об усвоении данных и строгое обоснование численных методов их решения — непростая проблема. Результаты о разрешимости слабонелинейных задач об усвоении данных были получены В.И. Агошко-вым и Г.И. Марчуком [35], В.М. Ипатовой [41], В.П. Шутяевым [34]. Дальнейшие обобщения и новые приложения были предложены в последние годы [32, 42-44].
Численное решение задач об усвоении данных осуществляется в настоящее время известными алгоритмами оптимизации, разработанными в классических трудах. Ряд новых итерационных алгоритмов решения задач об усвоении данных предложены в работах [32, 34, 35, 38].
В работах многих авторов большое внимание уделяется численному построению сопряженных моделей, которые могут быть получены как путем дискретизации непрерывной задачи [33, 45, 46], так и непосредственным транспонированием кода дискретной линеаризованной задачи [17]. В последнем случае зачастую используют методы автоматического дифференцирования [47, 48]. Сравнение этих двух подходов к построению дискретной сопряженной задачи проводится, например, в работах [46].
Наряду с исследованием разрешимости, разработкой и обоснованием алгоритмов численного ре-
шения задач вариационного усвоения данных, важную роль играют свойства самого оптимального решения. Чрезвычайно важным является вопрос о чувствительности оптимальных решений задач вариационного усвоения к погрешностям данных наблюдений и погрешностям моделей. До недавнего времени этот вопрос оставался малоисследованным, но в последние годы получен ряд результатов с использованием "операторов управления" [49, 50]. Получены и исследованы уравнения для ошибки оптимального решения через погрешности данных наблюдений в задаче о восстановлении начального условия, исследована чувствительность оптимального решения с использованием сингулярных векторов операторов управления. Оказалось, что важную роль при исследовании ошибок играют фундаментальные функции управления, которые являются сингулярными векторами операторов отклика [49—51].
Алгоритмы четырехмерного усвоения данных [5, 6, 8] представляются в настоящее время наиболее эффективными. В последние годы появилось много работ по сравнению ансамблевого метода Калмана и вариационного усвоения данных [24—26, 52], кроме того, появился так называемый гибридный подход, сочетающий в с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.