ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2013, № 5, с. 54-64
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 517.938
ЗАДАНИЕ СПЕКТРА НУЛЕЙ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ С ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КОМПЕНСАЦИЕЙ*
© 2013 г. А. З. Асанов, Д. Н. Демьянов
Казань, Казанский (Приволжский) федеральный ун-т Поступила в редакцию 05.09.12 г., после доработки 25.01.13 г.
Рассматривается проблема обеспечения заданной совокупности нулей линейной многосвязной динамической системы с равным числом входов и выходов, включающей в себя параллельный компенсатор и контур обратной связи. Предложены методы решения задачи, позволяющие свести ее к управлению собственными значениями некоторой матрицы, а одновременное задание полюсов и нулей свести к управлению полюсами двух объектов одним регулятором. При этом для проведения расчетов можно использовать хорошо известные и отработанные методы модального управления.
Б01: 10.7868/80002338813030037
Введение. Одним из наиболее известных и широко распространенных методов теории автоматического управления является модальный синтез регуляторов. Если динамический объект управляем и все составляющие его вектора состояния известны (измерены непосредственно или оценены с помощью наблюдателя), то обеспечение желаемого расположения корней характеристического полинома не вызывает особых затруднений [1].
Однако характеристики переходного процесса в системе определяются не только полюсами, но и нулями передаточной функции. Например, на рис. 1 показаны переходные характеристики для двух динамических систем с одинаковыми полюсами и коэффициентами усиления, но с различными нулями.
Как видно на графике, система с неминимально-фазовыми нулями имеет существенное перерегулирование и заброс переходной характеристики в отрицательную область. Еще более сложная картина наблюдается при синтезе регуляторов многосвязных систем управления. В таких системах наряду с обычными нулями, характеризующими переходный процесс в одном конкретном канале управления, имеются еще и системные нули, определяющие характер взаимодействия каналов управления между собой. Подробное описание понятия "системный нуль" и его использования при анализе сложных систем приведено, например, в работах [2—4] и обзорной статье [5]. Отметим лишь, что от спектра системных нулей зависит принципиальная разрешимость целого ряда задач теории управления, фильтрации и идентификации, а также свойства получаемых решений.
Таким образом, одним из этапов проектирования систем управления многосвязными объектами является вычисление и, при необходимости, изменение спектра его системных нулей.
Вопросы формирования спектра системных нулей рассматривались ранее в целом ряде работ, например [6—8]. Однако все полученные результаты относились к динамическим системам, включающим последовательное корректирующее устройство и контур обратной связи. При этом для систем с параллельным корректирующим устройством исследования в данной области практически не проводились, несмотря на то, что они также достаточно широко используются на практике [9]. Ряд результатов, правда, без общих методик вычисления искомых матриц коэффициентов изложен в [10, 11].
В данной работе рассматривается задача формирования спектра нулей многосвязной динамической системы, содержащей параллельное корректирующее устройство и контур обратной связи. Показывается, что данная задача может быть сведена к управлению собственными значениями некоторой матрицы, а одновременное управление полюсами и нулями многосвязной систе-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-08-00311).
Рис. 1. Графики переходных характеристик для минимально-фазовой (и неминимально-фазовой ( динамических систем
H
u
Рис. 2. Структурная схема системы управления
мы может быть сведено к модальному управлению двумя объектами одним регулятором и решено с использованием известных методов.
1. Постановка задачи. Пусть рассматривается динамический объект, описываемый уравнениями в пространстве состояний:
X = A0x + B0u; У = Сox.
Здесь х е R", u е Rs, y е Rm — векторы состояния, управления и выхода, A0,B0,С0 — числовые матрицы соответствующих размеров.
Для объекта (1.1) строится система управления, включающая в себя параллельный компенсатор и статический регулятор в цепи обратной связи, описываемая уравнениями
jX = A0X + B0 (u - z);
[У = C0X + х. При этом
X = Ни, (1.2)
z = Kx . (1.3)
Здесь X, z — векторы соответствующей размерности, H, K — числовые матрицы. Структурная схема системы управления представлена на рис. 2.
Учитывая выражения (1.2), (1.3), получим уравнения, описывающие систему управления:
X = {A0 - BK) х + B0u; y = C0X + Hu.
При этом матрица Розенброка динамической системы имеет вид ~р1 - А0 + В0К -В0
R (p) =
Co H
(1.5)
Предположим, что объект (1.1) является полностью управляемым и наблюдаемым, матрицы Bo и Co имеют максимально возможный ранг, число входных и выходных сигналов одинаково (m = s < n). В этом случае системные нули будут совпадать со значениями комплексной частоты pi, при которых происходит уменьшение нормального ранга матрицы Розенброка. Под нормальным рангом полиномиальной матрицы здесь и далее понимается по аналогии с [2] наибольший порядок минора данной матрицы, обращающегося в нуль только при некотором конечном числе значений комплексной переменной p:
Wpf : rank R < n + m.
Требуется для заданного динамического объекта вида (1.1) определить:
1) матрицу коэффициентов параллельного компенсатора H, такую, чтобы при заданной матрице коэффициентов обратной связи K система управления (1.4) имела требуемый спектр системных нулей;
2) матрицу коэффициентов обратной связи K, такую, чтобы при заданной матрице параллельного компенсатора H система управления (1.4) имела требуемый спектр системных нулей.
Так как системные нули представляют интерес только в совокупности с полюсами, то сформулированные задачи можно трактовать и шире: требуется для заданного динамического объекта вида (1.1) определить такие матрицы H, K, что все нули и полюса системы управления (1.4) имели желаемые значения.
При решении поставленной задачи будем использовать технологию канонизации матриц [4]. Суть этой технологии заключается в том, что некоторой матрице Mразмера m х n ставится в соответствие четверка матриц ML, MR, ML, MR, удовлетворяющих равенству
ML
m [mr mr ] =
I 0
0 0
Здесь М1 является левым матричным делителем единицы, ММR — правым матричным делителем единицы, Мх — левым матричным делителем нуля, — правым матричным делителем нуля. Произведение М М обозначается как М и называется сводным канонизатором.
2. Расчет матрицы параллельного компенсатора. Рассмотрим процедуру расчета матрицы Н для обеспечения требуемого спектра системных нулей. С учетом сделанных допущений уравнение, определяющее значения системных нулей, имеет вид
ёй R = 0. (2.1)
Будем искать матрицу Н, такую, что ёегН ф 0. Тогда уравнение (2.1) с учетом соотношения (1.5) и правил оперирования с блочными матрицами [12] может быть представлено как
ёе1(Н) &е1(р1 - А0 + В0К + В0Н-1С0) = 0. (2.2)
Обозначим А = А0 - В0К;
0 0 ' (2.3)
N = Н 1.
Тогда задача управления спектром системных нулей будет эквивалентна задаче модального управления по располагаемому выходу динамическим объектом, характеристическое уравнение которого имеет вид:
ёе1 (р1 - А + В0Ж0) = 0. (2.4)
Следует отметить, что вывод об управляемости такого объекта можно сделать на основе свойств исходного объекта управления.
Утверждение 1: Если пара (А0,В0) является полностью управляемой по Калману, то пара (А, В0) также полностью управляема по Калману при любых значениях элементов матрицы К.
Доказательство утверждения 1 приведено в Приложении.
Пример синтеза модального регулятора по располагаемому выходу и описание имеющихся ограничений можно найти, например, в работе [4]. В тех случаях, когда задача синтеза модального регулятора по располагаемому выходу для объекта с характеристическим уравнением (2.4) имеет решение в виде обратимой матрицы N решение исходной задачи может быть найдено из второго уравнения системы (2.3) по формуле
Н = N (2.5)
Таким образом, задание нулей системы (1.4) может быть сведено к задаче модального управления по располагаемому выходу объектом с характеристическим уравнением (2.4). Если указанная задача имеет решение в виде обратимой матрицы, то искомые коэффициенты параллельного компенсатора могут быть найдены из соотношения (2.5).
3. Расчет матрицы статического регулятора. Рассмотрим процедуру расчета матрицы К для обеспечения требуемого спектра системных нулей при условии, что матрица Н задана.
Пусть detН ф 0. Тогда уравнение, определяющее нули системы (1.4), имеет вид (2.2). Проведем следующую замену:
А = Ао - ВоН-Со. (3.1)
Тогда задача управления спектром системных нулей будет эквивалентна задаче модального управления по состоянию динамическим объектом, характеристическое уравнение которого имеет вид
det (р1 - А + В0К) = 0.
(3.2)
Следует отметить, что вывод об управляемости такого объекта можно сделать на основе свойств исходного объекта управления.
Утверждение 2. Если пара (А0, В0) является полностью управляемой по Калману, то пара (А, В0) также полностью управляема по Калману при любых значениях элементов обратимой матрицы Н.
Для доказательства утверждения заменим произведение Н-1С на К и получим доказанное ранее утверждение 1.
Таким образом, задание нулей системы (1.4) может быть сведено к задаче модального управления по состоянию объектом с характеристическим уравнением (3.2). Решение этой задачи представлено, например, в работе [1].
Пусть det Н = 0 и при этом Н ф 0. Воспользуемся свойством инвариантности системных нулей к невырожденным преобразованиям входа, выхода и переменных состояния [2]. Выполним следующие невырожденные преобразования входного и выходного вектора:
V = \_НК НК ]и; / =
Нг
Н1
у.
(3.3)
Невырожденность преобразований (3.3) напрямую следует из свойств матричных делителей нуля и единицы [4]. В новых координатах матрица (1.5) будет иметь вид
К* (р)
р1 - А -В0 [НК НК
'Н1' С0 'Н1'
Н1 _ 0 Н £ _
] '
Н [Н* НК ]
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.