ОКЕАНОЛОГИЯ, 2014, том 54, № 2, с. 161-169
= ФИЗИКА МОРЯ
УДК 532.51.13.4:55./513
ЗАХВАЧЕННЫЕ КВАЗИИНЕРЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В СДВИГОВЫХ ОКЕАНИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЯХ
© 2014 г. М. В. Калашник1,2
1 Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН, Москва 2ГУ "Научно-производственное объединение "Тайфун", Обнинск e-mail: kalashnik-obn@mail.ru Поступила в редакцию 06.07.2012 г., после доработки 20.05.2013 г.
Исследован захват длинных квазиинерционных волн в горизонтально неоднородных течениях с малыми значениями числа Россби. Представлен асимптотический вывод двух уравнений для волновой амплитуды, справедливых соответственно при сильной и слабой плотностной стратификации. С использованием амплитудных уравнений сформулирована спектральная задача для нахождения частот захваченных волн; построены точные решения задачи для свободного (гиперболического) слоя сдвига. Показано, что расположение области захвата принципиальным образом зависит от стратификации. Так, если частота плавучести больше инерционной частоты, захват происходит в области антициклонического сдвига скорости, если меньше — в области циклонического сдвига. Соответственно в первом случае частоты захваченных волн меньше инерционной частоты, во втором — больше. С существованием захваченных волн можно связать интенсивную волновую деятельность, наблюдаемую в районах океанических фронтов и струйных течений.
DOI: 10.7868/S0030157414020105
1. ВВЕДЕНИЕ
Неоднородности распределения скорости течений (горизонтальный и вертикальный сдвиги) могут приводить к захвату (концентрации) волновых возмущений в окрестности достаточно сильных неоднородностей. Применительно к океану захват внутренних гравитационных волн сдвиговыми слоями исследовался в целом ряде работ (см. [1, 2, 6, 8, 12] и цитированную там литературу). В данной работе, развивающей результаты [5,6, 13—17], рассматривается проблема захвата инерционно-гравитационных волн (ИГВ), т.е. волн, обусловленных плотностной стратификацией океана и его вращением как целого. В отсутствие течений частоты ИГВ меняются от инерционной частоты / до частоты плавучести (частоты Брента) N. Широко распространенные в океане ИГВ с частотой, близкой к /, называют квазиинерционными волнами [3, 8].
В приближении геометрической оптики (лучевая теория) эффект захвата квазиинерционных волновых пакетов сдвиговым слоем был впервые обнаружен в работе [13]. Этот результат привлекался к объяснению наблюдаемой интенсивной волновой деятельности в районах океанических фронтов и струйных течений. Амплитудное уравнение, описывающее распространение длинных квазиинерционных волн в течениях с малыми значениями числа Россби, эквивалентное линейному нестационарному уравнению Шредингера,
было впервые получено в работе [20] и обобщено в [18, 19]. В настоящей работе построены примеры точных решения этого уравнения для некоторых классов сдвиговых течений. Кроме того, показано, что сформулированное в [20] уравнение справедливо лишь в условиях достаточно сильной стратификации. При слабой стратификации, в частности — нейтральной, имеет место другое уравнение, отличающееся знаком дисперсионного слагаемого от уравнения в [20]. Это отличие приводит к принципиальной зависимости расположения области захвата от стратификации — если частота плавучести N больше (меньше) инерционной частоты, захват происходит в области антициклонического (циклонического) сдвига скорости. Соответственно диапазон частот захваченных волн лежит левее (правее) инерционной частоты.
Статья организована следующим образом. Во втором и третьем разделах приводится асимптотический вывод амплитудных уравнений, устраняющий, в частности, некоторые пробелы работы [20]. В заключительном разделе построены точные решения амплитудных уравнений, описывающие захваченные волны в свободном (гиперболическом) слое сдвига.
2. АМПЛИТУДНОЕ УРАВНЕНИЕ В СЛУЧАЕ СИЛЬНОЙ СТРАТИФИКАЦИИ
Рассматриваем сдвиговое геострофическое течение и = и (у)кх в океане с постоянными значениями частоты плавучести N и инерционной частоты / В приближении Буссинеска поведение малых возмущений течения описывается системой уравнений [3, 8]:
ти + иу - /) = , ^ + и = , тг v у ' дхтг ду
т = д + ид в™ = -д£ + а
т дг дх т дг ' + = 0, ди + + ^ = 0.
(1)
т
дх ду дг
и = и о¥ (у/Ь),
(2)
где и0 — характерная амплитуда, Ь — горизонтальный масштаб течения.
В условиях сильной устойчивой стратификации N2 > /2 для длинноволновых возмущений с большой точностью выполняется уравнение гидростатики др/дг = ст [3, 5]. Решение соответствующего гидростатического варианта системы (1) можно представить в форме разложения по вертикальным модам
(и^, р) = X р, )ео8 И г,
5=1
ж
(3)
а) = X " ст* )^п НП г.
5=1
систему уравнений мелкой воды с вращением (нижний индекс опускаем):
Аи т
mv
+ (иу - / )v др
+ /и = -тг ду
= др дх
ар ' т
т
тг
д + и -д
дг
+ с
ди + дх дх ду
дх = 0
(4)
где X = с = ИМ/X — скорость соответствующей волновой моды в отсутствие вращения. Используя представление (2), в системе (4) перейдем к безразмерным переменным, принимая в качестве масштабов I, х, у, и, V, р соответственно
/ 1, Ь, Ь, /Ь, /Ь, N 2И 2 Безразмерная форма (4)
Т2тт2
Би тг
+
(Яо ¥у - 1) = -е
2 др дх
Б = д + КоУ -д
т дг
дх
Здесь и, V, ы компоненты вектора скорости возмущения вдоль горизонтальных осей х, у и направленной вертикально вверх оси г соответственно, р, а — соответственно возмущения давления и плавучести, иу = йи/йу (буквенные индексы внизу далее также используются для обозначения соответствующих частных производных). К системе (1) присоединяется краевое условие ы = 0 на горизонтальных границах океана
г = о, И.
По характеру распределения скорости различают течения с циклоническим (иу < 0) и антициклоническим (иу > 0) горизонтальным сдвигом [5, 13]. Соответствующее распределение далее представляем в виде
вх + /и = -в2др, вр+А-\ди + дХ\ = 0,
т ду т х и* ду;
(5)
содержит два безразмерных параметра: Яо = и0//Ь — число Россби, б2 = (Ш//Ь)2 =
= (Ьк/Ь)2 — квадрат отношения бароклинного радиуса деформации Россби ЬЕ = МИ// к горизонтальному масштабу возмущений Ь, принятому равным масштабу сдвигового течения (число Бургера).
Построим асимптотическое решение системы (5)
при следующих условиях: б2 <§ 1, Яо = б2. Первое условие отвечает рассмотрению длинноволновых движений с горизонтальным масштабом Ь > Ьк, второе — рассмотрению фоновых течений с достаточно слабой скоростью и = /Ь&2. Как и в работе [20], для построения решения используем метод многомасштабных временных разложений, считая, что распределения и, V, р являются функциями набора независимых переменных
(х,у,г,гьгА,...), г2„ = е2"г, п = 1,2,...,
где г2п — соответствующее "медленное" время. Для оператора в/т при этом справедливо представление
т/тг = д/дг + е 2е + 0(е4), О = д/дг 2 + Уд/дх
(6)
После подстановки (3) в систему и исключения а5, для каждой вертикальной моды получим
(символом О далее будем обозначать определенные дифференциальные операторы).
Подставим (6) в (5) и будем искать решение в форме прямого разложения по малому параметру
/ \ / (0) (0) (0)ч 2, (2) (2) (2)ч
(и, V, р) = (и , V , р ) + 6 (и , V , р ) +...
ж
Для функций нулевого приближения получим систему
u<0) - v(0) = о, v(0) + u(0) = 0, р(0) + х-2 (( + v y0)) = 0.
(7)
Решение (7) для компонент скорости можно представить в комплексной форме
(0) • (0) tl . \ -it u + iv = A(x, y,t2,...)e ,
(8)
где А — медленно меняющаяся комплексная амплитуда. Для определения распределения давления используем вытекающую из (5) линеаризованную форму закона сохранения потенциальной завихренности
dl (0) „(0) , 2 пт _ 0
- (vx - „y -X Р ) _ 0.
dt
(9)
Из (9) следует v{х] - uf -X2p(0) = P(x,y,t2,...),
откуда
p(0) =х-2 (vV) - uf^ - P) =
■ X-2 (0.5(Ay + iAx )e-t + c.c. + P),
(10)
где символом С.С. обозначено комплексно сопряженное слагаемое. Входящие в (8), (10) медленные переменные А, Р находятся из уравнений для следующих приближений.
Система уравнений для функций второго приближения имеет вид
п(2) - V(2) = - (+ ап(0)+^(0)),
V® + п(2) =- (( + Qv(0)), (11)
р(2)-2 (+ V у2)) = -ар(0).
Обозначим п(2) = п(2) + V(2). С учетом представлений (8), (10) первые два уравнения системы (11) эквивалентны одному комплексному уравнению
П(2) + ш(2) = — (е'"О,А + виа2А) + X~\РХ + 1РУ), (12)
где О,, О2 — некоторые дифференциальные операторы, причем
О,А = I (А2 + УАХ) + 0.5^-2(Ахх + Ауу) + 0.5¥уА.
Слагаемое е О,А в правой части (12) приводит к появлению в решении растущего со временем се-кулярного члена. Удаление этого резонансного слагаемого немедленно приводит к амплитудному уравнению О,А = 0 или
г (А, 2 + ¥АХ) + 0.5Х '2(АХХ + Ауу) + 0.5¥уА = 0. (13)
Уравнение (13) имеет вид линейного нестационарного уравнения Шредингера с потенциалом 0.5 иу, пропорциональным горизонтальному сдвигу ско-
рости. Первое и второе слагаемые уравнения описывают соответственно перенос и дисперсию.
Для определения Р используем второе приближение для уравнения потенциальной завихренности
|- - XУ2)) = е ''ОзА + С.С. + ( + ГРх).
В круглых скобках правой части этого уравнения также стоит медленное резонансное слагаемое, приводящее к секулярному росту. Удаление этого слагаемого дает уравнение
Р 2 + ГРх = 0 (14)
для медленного компонента Р в представлении (10) для распределения давления. Этот компонент был пропущен в работе [20].
Отметим тесную аналогию представленного анализа с развитой в работах [18, 19] нелинейной теорией геострофической адаптации при малых числах Россби. Соответствующая теория предсказывает расщепление движений на быстрый (волновой) и медленный (вихревой) компоненты, развивающиеся на временных масштабах /
и б 2/-1 соответственно. Уравнения (13), (14) фактически являются линеаризованной на сдвиговом течении формой уравнений [19] для быстрого и медленного компонентов в так называемом фронтальном режиме с б2 <§ 1.
3. АМПЛИТУДНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРИ СЛАБОЙ СТРАТИФИКАЦИИ
Для описания движений в случае слабой стратификации N2 <§ /2 можно использовать модель нейтрально стратифицированной среды. При наличии сдвиговых течений динамика возмущений описы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.