ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 5, с. 548-552
= МЕХАНИКА =
УДК 517.958:621.3:539.3:517.958.227
ЗАХВАЧЕННЫЕ ВОЛНЫ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ УПРУГИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ
© 2015 г. С. А. Назаров, К. М. Руотсалайнен, М. Силвола
Представлено академиком РАН Н.Ф. Морозовым 01.12.2014 г. Поступило 10.02.2015 г.
Достаточное условие существовании захваченной волны в пьезоэлектрическом волноводе с полостью получено на основе сведения краевой задачи к самосопряженному оператору в специально выстраиваемом гильбертовом пространстве. Оно существенно отличается от аналогичного условия для чисто упругого волновода с дефектом и, в частности, не гарантирует захвата волны трещиной. Приведены примеры поврежденных пьезоэлектрических волноводов, в которых существуют захваченные волны.
Б01: 10.7868/80869565215290095
1. МОТИВИРОВКА
Многие эффекты, вызванные захватом волн в волноводах различной физической природы, с одной стороны, используются в инженерной практике при проектировании приборов и их деталей, но с другой стороны, могут препятствовать правильному функционированию тех же приборов. В первом случае следует упомянуть волновые фильтры и демпферы, а во втором — процессы разрушения, провоцируемые концентрацией и накоплением энергии около трещин, которые и производят захват упругих волн. Кроме того, возникновение захваченных волн обычно искажает дифракционную картину и тем самым препятствует применению одних методов неразрушаю-щего контроля, но в то же время другие методы идентификации дефектов как раз опираются на обсуждаемое явление. Эти противоречащие одно другому обстоятельства требуют детального исследования собственных частот и затухающих собственных мод.
Чисто упругие волноводы с разными дефектами, инородными включениями, полостями и кавернами, макротрещинами и облаками микротрещин исследованы в значительной мере. Помимо аналитических и численных результатов (см., например, монографии [1—3]) известны доста-
Санкт-Петербургский государственный университет E-mail: srgnazarov@yahoo.co.uk Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Институт проблем машиноведения Российской Академии наук, Санкт-Петербург University of Oulu, Finland
точные условия [4—6] появления собственной частоты ниже точки отсечки или внутри непрерывного спектра пространственных и плоских, изотропных и анизотропных волноводов. В частности, почти любая* трещина захватывает упругую волну на одной или нескольких частотах (ср. [7]).
Для пьезоэлектрических волноводов аналогичных результатов нет и, более того, большинство обычных методов спектрального анализа неприменимы, так как ввиду свободного преобразования механической энергии в электромагнитную и наоборот пьезоэлектрическая задача не является самосопряженной (ср. монографию [8]). В то же время метод сведения такой задачи к специально выстраиваемому самосопряженному оператору в гильбертовом пространстве привносит интегро-дифференциальный оператор, нелокальный характер которого препятствует применению традиционных приемов проверки существования захваченных волн. В сообщении показано, как преодолеваются упомянутые трудности, причем полученное достаточное условие существенно отличается от условия, найденного в работе [4] для чисто упругого волновода.
2. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД
Пусть О = ю х К Э х = (у, ¿) — цилиндр с сечением ю, ограниченным простым замкнутым кусочно-гладким контуром у = дю, а © с О — полость, т.е. замкнутое множество с гладкой (для простоты) границей д© (рис. 1а). Волновод О® = = О\© (рис. 1б) заполнен однородным пьезоэлектрическим материалом. Непустая часть Гл = ув х
* Авторы не знают ни одного примера трещины, который не удовлетворяет упомянутому достаточному условию.
(а) (б)
х К внешней границы дО жестко защемлена вдоль электрического проводника, а поверхности
Глт = Тлт х К = д0\ Гв и 5© свободны от напряжений и находятся в контакте с изолятором (например, вакуумом). Примем матричную форму записи определяющих соотношений и объединим
м
м,
столбец смещений им = (и1 , и2 , и3 )т и электрический потенциал иЕ в общий столбец и высотой 4; при этом Т — знак транспонирования, и литеры М и Е означают "механический" и "электрический". Установившиеся гармонические колебания взаимодействующих упругого и электрического полей в волноводе описываются (см. [8, 9]) краевой задачей в дивергентной форме
Д(-У)ТАО(У)и = ХрЕи в 0е,
(1)
Б(у) 'АО(У)и = 0 на = Г^и 50, (2)
и = 0 на Г
в-
(3)
Поясним обозначения. Прежде всего V = §гаё и V = v3)т — единичный вектор внешней
нормали, причем v3 = 0 на дО. Кроме того, А — числовая матрица (9 х 9), а Б^) — матрица (9 х 4) дифференциальных операторов первого порядка,
(
А =
^мм аМЕ .ЕМ .ЕЕ
V -А А
(
в(У) =
вм (V)
"6 х 1
"3 х 3
ВЕ (V)
Вм (V)Т =
ВЕ (V) = V,
( \
д1 0 0 0 ад3 ад2 0 д2 0 ад3 0 ад1 V 0 0 д3 ад2 ад1 0 )
(4)
д д д = д!
а=
_1_
72
Здесь Оп х т — нулевая матрица размером п х т, Амм и АЕЕ — симметричные и положительно определенные матрицы размером 6 х 6 и 3 х 3 соответственно, составленные из жесткостных и диэлектрических модулей, а АмЕ = (АЕм)Т — (6 х 3)-матрица пьезоэлектрических модулей. Наконец, Х — спектральный параметр (квадрат частоты гармонических во времени колебаний), р > 0 — плотность материала и Е = ё1а§{1, 1, 1, 0} — диагональная (4 х 4)-матрица. Отсутствие в правой части системы (1) электрической составляющей иЕ означает, что изучается только низкочастотный диапазон спектра, в котором высокочастотными электромагнитными колебаниями можно пренебречь (см. монографию [8]). Отметим, что потенциал иЕ определен с точностью до постоянной, которая зафиксирована условием Дирихле (3), так как по предположению Гв Ф ф, а левая часть условий Неймана (2) согласно формулам (4) включает нормальный вектор напряжений и нормальную компоненту вектора электрической индукции.
3. СПЕКТР
Известно, что спектр р эллиптической краевой задачи (1)—(3) состоит из непрерывного спектра рс = [Х^, +да) с положительной точкой отсечки Х^ и дискретного спектра с (0, Х^), может быть, пустого. Основная цель сообщения — найти достаточное условие появления собственной частоты ниже точки Х^, т.е. обеспечения формулы
Ф Ф .
Точка отсечки определяется следующим образом. Спектр двумерной модельной краевой задачи
В(-//£) и = ЛрЕи в ю,
В(^2, 0)ТАВ(^, /С)и = 0 на у„, и = 0 на ув
(5)
на ограниченном сечении ю оказывается дискретным, причем первое (наименьшее) собствен-
(a)
Л
НАЗАРОВ и др. (б)
Л
-Zt Zt Z
Рис. 2. Возможные графики собственных чисел модельной задачи на сечении.
ное число Лх(^) является положительным в силу требования yD Ф ф, непрерывно зависит от двойственной переменной Z е IR преобразования Фурье и неограниченно возрастает при Z ^ Таким образом, ввиду очевидной четности функции Z ^ Л^) для величины
= min(Л1(С)|Се U} = Л^)
в принципе возможны две ситуации, изображенные на рис. 2. Обозначим Ц собственный вектор задачи (5) с параметрами Zt ^ 0 и Л = Далее будем иметь дело с пороговой волной
W(У, z) = e^zUt(y).
(6)
В случае ^ = 0 (ср. рис. 2а) волну (6) можно зафиксировать вещественной.
4. СВЕДЕНИЕ К САМОСОПРЯЖЕННОМУ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОМУ ОПЕРАТОРУ
Из-за знака минус при блоке АЕМ в матрице А из (4) задача (1)—(3) оказывается несамосопряженной формально в интересном случае АЕМ Ф Ф 06 х 3. Можно поменять знаки в нижних строках систем (1) и (2), образовав симметричную матрицу
A# =
jMM ame • EM .EE
A -A
которая не является знакоопределенной, а соответствующая билинейная форма
a (u, v; Q") = (A Du, Dv)n®,
(7)
Применим предложенный в статье [9] подход и, считая вектор смещения иМ известным, введем решение RuM = иЕ "электрической" задачи
£Е(-У)ТЛЕЕ£Е (V) иЕ =
п^ 171Т М
= В (-V) А и (V)и в О ,
1?^) ТАЕЕВЕ^)иЕ = = В (V) А и (V)и на Едт,
иЕ = 0 на Ги, для которого верна оценка
||иЕ^)RиМ; ¿2(О©)|| < с||Вм(V)иМ; ¿2(О©)||. В результате обобщенная постановка задачи (1)—(3) принимает вид
Ms M Мч » M M-,
a& (u , v ) = Ар(u , v )f VvM е H0 (Q®; rD),
(8)
(10)
где (•, -)п0 — скалярное произведение в пространстве Лебега Х2(О®), носит название электрической энтальпии [10]. К сожалению, обе интерпретации пьезоэлектрической задачи по разным причинам не допускают применения теории операторов [11] для описания спектра задачи (1)—(3).
где ы1 (О®; Гд) — пространство Соболева функций, удовлетворяющих условию (3), и
М Мч ММ Мч Ег М Мч /Пч
а©(и , V ) = а©(и , V ) + а©(и , V ), (9)
М М М ММ М М М М
а©(и , V ) = (А В (Ч)и , В (V) V ),
Е( М Мч М т-.М/лч Мч
а© (и , V ) = (А и (V) к и , и (V) V ).
Форма (9) симметричная и положительно определенная, а значит, задаче (8) ставится в соответствие [11, гл. 10] самосопряженный положительно определенный неограниченный оператор М® в гильбертовом пространстве Х2(О®). Спектр этого оператора, разумеется, совпадает со спектром р исходной задачи (1)—(3), однако теперь минимальный принцип [11, теорема 10.2.1] утверждает, что в случае неравенства
М М © М М
а©(w , w ; О )<А+р(w , w )п® (11)
с некоторой пробной вектор-функцией wМ е е н0 (О®; Гд) дискретный спектр заведомо не пуст. Именно это наблюдение послужило основа-
нием для вывода достаточного условия захвата волны дефектом в чисто упругом волноводе (см. [4—6] и п. 6 (1)). Вместе с тем появление нелокальной составляющей в операторе Ы®, порожденной вторым выражением из (10), разрушает стандартные конструкции пробных функций.
5. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЗАХВАТА ВОЛНЫ
Сначала возьмем
^(у, г) = ^м (У, г) = е-+ ;^им (у), (12)
где 5 > 0 — малый параметр и — механическая компонента пороговой волны (6). Благодаря экспоненциальному множителю вектор-функция (12) затухает на бесконечности и попадает в
пространстве н\ (О®; Гл). При этом правая часть (11) удовлетворяет соотношению
Х, р(^ )пе = 5 Х,р|| иМ; £2(ю)||2 -
- Х, р|| Ь2(©)||2,
(13)
л м Е Е ~Е КУ5 = У5 - У, + У!5 ,
(14)
где у. (у, z) = иЕ (у) — электрическая компонента пороговой волны (6), у Е — пренебрежимо
малый остаток, а у. е Н0 (О®; Гл) — экспоненциально затухающее на бесконечное решение скалярной задачи
ЕЕ Е Е Е Е
(А в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.