ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 456, № 3, с. 290-294
= ФИЗИКА =
УДК 533.9.01:533.932:533.933:533.9.082.76
ЗАХВАТ ИОНОВ В ПРОЦЕССЕ ПРИОБРЕТЕНИЯ ЗАРЯДА ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СФЕРОЙ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ
© 2014 г. А. А. Киселёв, М. С. Долгоносов, В. Л. Красовский
Представлено академиком Л. М. Зелёным 22.10.2013 г. Поступило 24.10.2013 г.
Б01: 10.7868/80869565214150079
Сообщение посвящено изучению возмущения плазмы при наличии в ней поглощающего тела сферической формы [1—6]. Литература по данной тематике необычайно обширна ввиду разнообразия приложений этой классической задачи физики плазмы. Мы вынужденно ограничиваемся здесь упоминанием лишь литературных источников, наиболее близко касающихся содержания доклада и важных для его восприятия. Применительно к бесстолкновительной плазме наиболее подробный анализ задачи можно найти в [3, 4], где указаны возможные пути ее решения в условиях применимости кинетического уравнения Власова. Результаты работы [4] отражены также в широко известной книге [5].
В большинстве работ, посвященных определению заряда сферы, рассматриваются возможные состояния равновесия физической системы. Однако специфика задачи в том, что функция распределения частиц, захваченных в ямы эффективного потенциала и движущихся по финитным траекториям около сферы, при таком подходе остается неопределенной [4, 5], что влечет за собой отсутствие единственности решения [7]. Пути преодоления этой трудности принципиального характера указаны в [3—5]. Один из них, учет столкновений, впервые продемонстрирован в [4] (см. также [8, 9]). Однако в бесстолкновительной плазме на первый план выступают вопросы устойчивости возможных состояний равновесия. Вместе с тем можно предвидеть большие математические трудности при попытке исследовать устойчивость рассматриваемой, казалось бы простой, физической системы. Наконец, в [4, 5] как выход из положения отмечена возможность постановки задачи с начальными условиями, реше-
Институт космических исследований Российской Академии наук, Москва Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный Московской обл.
ние которой может определить единственное и заведомо устойчивое состояние равновесия со вполне определенной функцией распределения захваченных частиц. Хотя такая задача слишком сложна для аналитического рассмотрения, она вполне решаема методами численного моделирования [10, 11].
Наше сообщение освещает результаты целенаправленного исследования захвата ионов в процессе зарядки сферы численными методами. В ходе моделирования на больших временах наблюдаются формирование асимптотического распределения захваченных частиц и переход физической системы в состояние устойчивого равновесия. Постановка задачи и разработанный алгоритм моделирования дают редкую возможность проследить динамику сильно нелинейного плазменного процесса в реальной, трехмерной, геометрии даже при довольно ограниченных ресурсах вычислительной техники. Ввиду сравнительной простоты постановки решение сформулированной задачи, в некотором смысле, может служить своеобразным эталоном среди разнообразных решений подобных или даже более сложных задач, например, с учетом движения сферы и столкнови-тельных процессов [12, 13].
Рассмотрим однородную изотропную бес-столкновительную плазму, находящуюся в состоянии равновесия. Пусть в некоторый момент времени ? = 0 в плазме возникла сфера радиуса Я, полностью поглощающая электроны и ионы. Поток на сферу более подвижных электронов обычно превышает поток ионов, благодаря чему сфера приобретает отрицательный заряд. С течением времени поток электронов уменьшается под действием сил отталкивания со стороны заряжающейся сферы, а поток притягивающихся ионов возрастает. На больших временах потоки выравниваются и полный ток на сферу исчезает. Прежде чем установится некоторое асимптотическое равновесие, зарядка сферы может сопровождаться переходными волновыми процессами, интенсивность которых зависит от Я. Таким образом,
задача состоит в том, чтобы проследить динамику перехода системы в устойчивое состояние равновесия и определить все пространственно-временные зависимости физических величин.
Исходными уравнениями для решения задачи служат уравнения Власова для электронов и ионов и уравнение Пуассона:
dfi + v,f + dt дг
Г M2-iut, i
V г
+ iE
fi dv,
= 0,
Ce = -1 , С- =
2
De д 2дФ J-, дф
— г — = ne - ni, E = —--.
г2 г г г
(1)
(2)
Эти уравнения записаны здесь в безразмерном виде с учетом сферической симметрии задачи. Использованы следующие единицы измерения физических величин:
[г] = Я, [ V,] = [ V] = ые, [Ц = Я,
ие
2 2
[п] = По, [ф] = ^, [Е] = , е еЯ
[Ме ] = шеиеЯ, [М1 ] = ш1иеЯ,
где Ме, I — угловые моменты электронов и ионов, п0 — концентрация невозмущенной плазмы. Параметрами задачи являются
ие
Ui me Г, de
u = -, ц = —, De = — =
ue mt R <apeR
(3)
где ие и Ы1 — характерные скорости электронов и ионов в невозмущенной плазме, Бе — безразмерный электронный дебаевский радиус.
Важно, что в силу сферической симметрии задачи и сохранения углового момента движение индивидуальной частицы можно рассматривать как движение с одной степенью свободы, что существенно упрощает решение довольно сложной нелинейной задачи в трехмерной геометрии. Ранее методами численного моделирования решались тематически близкие и более сложные задачи [10—13], однако обычно ограничиваются сравнительно небольшими временами. Часто движение частиц описывается в декартовых координатах, так что сферическая симметрия задачи используется далеко не в полной мере. При этом динамика захвата и формирование функции распределения захваченных ионов как ключевой вопрос теории исследованы явно недостаточно. В частности, практически не затрагивались вопросы долговременной динамики ионов в фазовом пространстве. Вместе с тем, как отмечалось в [4, 5], в случае радиуса сферы, малого по сравнению с дебаевским радиусом, захваченные частицы могут играть доминирующую роль в экранировании заряженной
сферы, а следовательно, и во всей структуре возмущения плазмы.
Для решения системы уравнений (1), (2) использовался метод "частиц в ячейках" (Particles-In-Cells — PIC) [14]. Этот метод очень эффективен для решения задач о динамике развития потоковых неустойчивостей, решаемых обычно в плоской геометрии, позволяя наблюдать процесс захвата частиц, стабилизирующий неустойчивость, на фазовой плоскости. Учитывая краткость нашего доклада, здесь мы коснемся лишь необходимой модификации данного метода и перечислим основные его особенности применительно к рассматриваемой здесь трехмерной сферически-симметричной геометрии. Из уравнений (1) видно, что помимо электрического поля на частицу действует
центробежная сила инерции M , т.е. движение ча-
г
стицы происходит в эффективном потенциале (подробнее см., например, [3—5]). Таким образом, каждому заданному значению параметра M можно сопоставить свою фазовую плоскость вместо единственной, показанной, например, на рисунках в [14]. Второе важное отличие состоит в том, что в нашем случае ячейки представляют собой сферические, а не плоские, слои. Наконец, движение частиц рассматривается только в радиальном направлении, хотя при необходимости можно полностью определить траекторию частицы в трехмерном (или в шестимерном фазовом) пространстве. По существу, используемый метод полностью адаптирован к решению трехмерных задач в условиях сферической симметрии и представляет собой соответствующую модификацию метода PIC. Более подробно схему расчетов и вычислительный код предполагается описать отдельно.
В ходе апробации разностных схем, используемых для решения уравнений (1), (2), и отладки программ было проведено большое количество расчетов с разными параметрами задачи. Ниже представлены результаты расчета при моноэнергетических распределениях электронов и ионов невозмущенной плазмы. В безразмерном виде они определены выражениями
1
Fe i =
S( V - Ve,i) , Ve = 1 , V- =u, (4)
4 я —
где V — модуль скорости частицы, так что ее кинетическая энергия в безразмерном виде равна Ж=
= — = - (V +—. Функции распределения (4)
служат граничными условиями на бесконечности для уравнений (1). Такие функции, хотя и являются модельными, очень удобны, поскольку при прочих равных условиях время расчета оказывается значительно меньше по сравнению, например,
292
КИСЕЛЁВ и др.
Eo
0.6 г
0 300 600 900 1200 t
Рис. 1. Зависимость от времени абсолютной величины электрического поля E0 на поверхности сферы
(r = 1).
с максвелловскими распределениями. Вместе с тем обобщение схемы расчета и программного кода на случай произвольных Fe, t не представляет большого труда. Кроме того, начальное распределение PIC-макрочастиц, спроецированное на плоскость (r3, vr), для функций вида (4) является однородным, что упрощает последующее наблюдение и интерпретацию процесса развития возмущения плазмы.
Ниже рассмотрены результаты решения задачи с набором параметров u = 0.026, De = 6 и модельным
отношением масс ц = -1. При этом безразмерный
ионный дебаевский радиус равен D = - 1.3. По-
R
скольку в нашей реализации метода PIC ячейки представляют собой сферические слои равного объема, помимо радиальной координаты удобно использовать также новую переменную z = r3, пропорциональную объему сферы радиуса r. При этом в каждой ячейке ширины Az первоначально находится примерно одинаковое число макрочастиц, как и в плоской разновидности метода PIC [14]. Макрочастицы, моделирующие малые конечные элементы фазовой "жидкости", в начальный момент времени (t = 0) однородно заполняют на плоскости (z, vr) область, ограниченную нера-
з
венствами 1 < z < Rm , | vr| < . Максимальный ра-
диус расчетной области Ят выбирается достаточно большим.
В расчете, обсуждаемом ниже, ширина ячейки Дг = 0.64. Число макрочастиц в ячейке приблизительно равно Ыс - 210. Временной шаг интегрирования уравнений движения частиц составляет ^ = 0.375. Ширина расчетной области ограничена радиусом сферы и некоторым достаточно большим значением 1 < г < Ят. Значение Ят выбирали так, чтобы в расчетной области на больших временах электр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.