Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 9, с. 683-686 © 2015г. 10 мая
Закон схождения сильных цилиндрических и сферических ударных
волн в газе с однородной плотностью
У. Юсуп&лиев, Н. Н. Сысоев1\ С. А. Шутеев, В. Г. Еленский Физический факультет МГУ им. Ломоносова, 119991 Москва, Россия
Поступила в редакцию 11 марта 2015 г.
Рассмотрена модель схождения цилиндрических и сферических ударных волн (УВ) в газе с однородной плотностью. Дифференциальные уравнения с частными производными этой модели сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям, из которых определены законы схождения таких УВ и зависимость их показателя автомодельности а от показателя адиабаты газа 7 и их числа Маха М, а = /(7, М). Показано, что эта зависимость для цилиндрических УВ в одноатомном (7 = 1.67) и двухатомном (7 = 1.4) газах в пределах ошибки измерений согласуется с опытными данными.
БО!: 10.7868/80370274X15090052
Задача о схождении сильных (M 1) сферических и цилиндрических (УВ) в идеальном газе с однородной плотностью впервые была рассмотрена G. Guderley [1] и, независимо, Л.Д. Ландау-К.П. Станюковичем [2, 3]. В качестве масштаба длины ими был принят радиус фронта У В,
R(t) = ASw(-t)a- (1)
Момент t = 0 считался моментом кумуляции (здесь A-sw - размерный параметр). Тогда при t < 0 волна сходится к центру сферы (оси цилиндра), а при t > 0 отражается от него (нее). Система уравнений задачи состояла из уравнений непрерывности, Эйлера и адиабатичности. Их решения искались в виде [2, 3]
(УТ о (У. V
V=TV(0, P = P0-G(O, С2 = —Z(£),
где £ = г / R{t) - автомодельная переменная, г - координата в сферической (цилиндрической) системе координат, v - радиальная скорость газа относительно системы координат, связанной с неподвижным газом, находящимся в объеме сферы (цилиндра) с радиусом R, р - плотность газа, с - скорость звука в газе, ро -плотность газа перед фронтом УВ. Искомые величины, v, р и с, относятся к области г ~ Д за фронтом УВ вблизи ее центра (оси симметрии).
В указанных работах численным методом были определены значения а лишь для некоторых значений показателя адиабаты для невозмущенного газа 7: 1.4 [1-3]; 1, 1.67, 3 и оо [2] (см. таблицу).
Напомним, что начиная с работ [1—3], определение значений а является одной из основных задач
Чe-mail: nesu@phys.msu.ru
теоретического и экспериментального исследования закономерностей распространения УВ в газе с однородной и неоднородной плотностями.
Сильная сходящаяся сферическая УВ рассмотрена авторами работы [4] в классе автомодельных решений [5] с неизвестной величиной а. Показано, что в момент фокусировки давление и температура на ее фронте неограниченно возрастают, в то время как плотность газа остается ограниченной. Задача о сильных сходящихся УВ была также рассмотрена приближенным методом СЬе81ег-СЫ8пе11-\¥ЫШат [6-8].
В настоящее время в связи с проблемой управляемого газодинамического термоядерного синтеза задача Сис1ег1еу-Ландау-Станюковича снова приобретает актуальность [9,10]. Она недавно (и снова численно) решалась для интервала значений 7 = = 1.001-3.0 в работе [И].
Экспериментальному определению величины а для сходящейся цилиндрической УВ посвящены работы [12-14]. В них было показано, что для такой УВ значение а в пределах ошибки измерений совпадает с предсказываемым авторами работ [1—3]. Зависимость а = /(М) для цилиндрической УВ, созданной с помощью 0-пинча в аргоне и ксеноне при ро = 970 Па [14], приведена на рис. 1.
Несмотря на давнюю историю исследований указанных сходящихся УВ в газе [1-4, 6-8], аналитическая зависимость а = /(7, М) до сих пор не определена. Понятно, что иметь дело с такой зависимостью, согласующейся с опытными данными, всегда предпочтительнее, так как она может помочь установить новые, ранее не известные закономерности исследуемого явления. Данное сообщение посвящено
Значения показателя автомодельности а
Т/Тей V = 1 у = 2
->► 1.0 ->► 1.0 1.0 [2] 1.0 [9-11] 1.0 (17) 1.0 [2] 0.75 [5] 1.0 (17)
1.4/1.2-1.4 0.83 [1,2] 0.83 [9-11] 0.87-0.85 (17) 0.72 [1-3] 0.72 [5] 0.78-0.75 (17)
1.67/1.2-1.67 0.83 0.81 [9-11] 0.86-0.80 (17) 0.68 [2,3] 0.70 [5] 0.67-0.75 (17)
3.0/1.9-3.0 0.81 [2] 0.77 [9-11] 0.81-0.67 (17) 0.62 [2] 0.67 [5] 0.68-0.50 (17)
—>• оо 0.5 [2] 0.71 [9-11] 0.50 (17) 0.37 [2] 0.60 [5] 0.38 (17)
м
Рис. 1. Зависимости показателя автомодельности от числа Маха сходящейся цилиндрической УВ. Экспериментальные данные взяты из работы [18]
нахождению именно такой зависимости и сравнению ее с опытными данными для сходящейся цилиндрической УВ.
1. Экспериментальное определение значений а для сходящейся цилиндрической УВ.
Сходящаяся цилиндрическая УВ генерировалась с помощью электрического взрыва проводников - импульсного электрического разряда в воздухе при давлении ро = 105 Па. В качестве проводников использовалась металлизированная лавсановая пленка толщиной 5 мкм и шириной 0.15 м. Она закреплялась на внутренней поверхности текстолитовой трубы толщиной 0.01 м с внутренним диаметром = 0-22 и 0.15 м. Генератор У В входил в состав разрядного контура в качестве полезной нагрузки. Он имел батарею конденсаторов емкостью С = ЗОмкФ с зарядным напряжением 11о = (5—25) кВ и управляющий воздушный разрядник. Для регистрации характеристик УВ была использована теневая установка, построенная на основе двух объективов Максутова диаметром 300 мм. При этом для достижения необходимого пространственно-временного разрешения УВ (0.5 мм, Ю-7 с) применялся сверхскоростной фоторегистратор СФР-2М, работающий как в покадровом режиме, так и в режиме фоторазвертки во времени.
Работа разряда и фоторегистратора была синхронизирована с помощью блока управления. Изучалась динамика схождения цилиндрической УВ к ее оси симметрии 0г путем регистрации теневой картины схождения УВ в перпендикулярном к оси направлении.
Предварительные опыты показали, что эффект кумуляции сходящейся УВ проявляется в относительно малой области (10-20 мм) в окрестности оси 0г. Поэтому при исследовании усиления сходящейся УВ особое внимание уделялось пространственно-временному разрешению волны именно в этой области.
В качестве примера на рис. 2 и 3 приведены последовательность кадров фоторегистрации и разверт-
Рис. 2. Процессы схождения цилиндрической ударной волны к оси симметрии и отражения от нее. Экспозиция кадра сверхскоростного фоторегистратора 2 мкс
ка во времени процесса схождения фронта цилиндрической У В соответственно. Следует подчеркнуть, что процесс схождения фронта УВ сильно зависит от начальных возмущений: наблюдаемое нами симметричное схождение имеет место не во всех случаях.
Из последнего рисунка определялась зависимость фронта У В для различных режимов ее генератора (начальное число Маха М изменялось путем варьирования напряжения Щ). При вычислении а из зависимости Я^) для различных М за начало отсчета времени £ = 0 (следуя [1-3]) мы принимали
Закон схождения сильных цилиндрических и сферических ударных волн.
685
Рис. 3. Развертка во времени процесса схождения цилиндрической УВ к оси ее симметрии Ог и отражения от нее. По мере приближения фронта У В к оси скорость ее растет, причем чем ближе к центру, тем сильнее, т.е. наблюдается эффект кумуляции У В
момент кумуляции УВ. Экспериментальная зависимость а(М) для 7 = 1.4 приведена на рис. 1.
2. Модель схождения УВ. Для установления искомой зависимости а = /(7, М) мы используем те же уравнения, что и в работах [1-3]:
dp dp dt dr
dv ~dt
dv pv p— =0, or r
dv
dr
dp pdr'
dt
In pp
v— In pp 7eff = 0, or
(2)
(3)
(4)
где р - давление газа, 7ей- - показатель адиабаты газа за фронтом УВ. Воспользуемся одним из основных свойств сильных УВ - равенством внутренней энергии и кинетической энергии единицы массы газа за их фронтами [15,16]. Тогда для давления получим
р =
(7eff ~l)pV2
= Dpv2
(5)
Решение системы уравнений (3)-(6) будем искать в виде
У = R(t)u(0, Р = Ро(0, (6)
где в качестве масштаба плотности выбрана плотность ро газа перед фронтом УВ, а в качестве масштаба скорости - R(t) = dR(t)/dt. В отличие от работ [1-3] в данной постановке задачи радиус фронта УВ R(t) является искомой функцией.
Подставляя (5) и (6) в уравнения (2)-(4) и приводя их к безразмерному виду, получим следующую систему:
а'
(?)
Q , ^ч / u ^(u-O+u' + v- =0,
RR V , ^ g
-57 - É- + TeffU7 + ÖW- = 0, 8
R2 u g
ПК ^ , ^ о' _
+»д-($-п)=0, (9)
где штрих означает дифференцирование по а точка - по t.
Граничные и начальные условия к этой системе формулируются следующим образом:
и(1) =
7 + 1
1 -
7eff 7 M2
dR(t)
t=о
л(0) = 0; ^ = 0.
CLt +_п
(10)
Граничное условие для безразмерной функции при £ = 1 определено из формулы, полученной в [2].
Определив из (7) выражение для д'/д и подставив его в (8) и (9), получим систему уравнений, в которой переменные разделяются с константой разделения С:
™ = С, (11)
Д2 V '
= (12)
и £ — U
^ - и' - D + = с. (13)
Решением уравнения (11) при С ф 1 с начальным условием (10) является функция
R{t) = Aswt1'^,
(14)
представляющая собой закон распространения УВ. При t < 0 решение (15) совпадает с законом (1), где показатель автомодельности
1
а =
1-С
(15)
Поскольку закон (14) был получен из уравнения Эйлера, используемого для описания широкого класса явлений, можно предположить, что он применим также и для других видов сильных УВ. Сравнение формулы (14) при t > 0 с формулами, полученными из размерностных соображений в [5] и [17], показывает, что для плоских УВ, расходящихся цилиндрических и сферических УВ в газе с однородной плотностью значения а равны 2/3, 1/2 и 2/5 соответственно. Применимость закона (14) для сходящихся тороидальных УВ и правильных выпуклых многоугольных УВ с фронтами замкнутой поверхности (в воздухе при ро = 105 Па) проверялась нами на опыте [18,19]. Для этих У В было найдено а ~ 0.81.
Константу С в (11) можно получить из (13), зная граничные условия для и(1) и г£/(1). Граничное условие при £ = 1 найдем из (12) и (13):
и'(1) = v
2(1 - 7eff/7^2)(7 - 3 + 47eff/7M2) (7 + 1)2
Далее, получив выражение для константы С, с учетом (15) определим искомое выражение для величины а:
7 +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.