ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 6, 2004
УДК 539.375
© 2004 г. Мирсалимов В.М., Кадиев Р.И.
ЗАКРЫТИЕ ТРЕЩИНЫ В ЛИСТОВОМ ЭЛЕМЕНТЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛОКАЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ
Рассматриваются локальные изменения температуры вблизи конца трещины, т.е. задержка или торможение роста трещины. Краевая задача о равновесии трещины с контактирующими берегами при действии внешних растягивающих нагрузок, наведенного термоупругого поля напряжений и усилий на контактирующих поверхностях трещины сводится к системе сингулярных интегральных уравнений. Находятся нормальные и касательные контактные усилия, значения размеров концевой зоны, где берега трещины смыкаются.
Одним из эффективных средств [1, 2] торможения роста трещин могут быть температурные и термоупругие поля. В механике разрушения важное значение имеет проблема о "залечивании" существующей в теле трещины. Первым этапом в решении этой проблемы является задача о закрытии вскрытой трещины. Считается, что создание надежных противоаварийных систем представляет собой жизненно важную задачу, особенно тогда, когда речь идет об уникальных сооружениях и о безопасности людей. В связи с этим представляет теоретический и практический интерес решение задачи теории упругости для растягиваемой плоскости, ослабленной прямолинейной трещиной, при воздействии термоупругого поля напряжений, наведенного тепловым источником, когда на некоторых участках берега трещины взаимодействуют между собой. Это приводит к появлению контактных напряжений на данном участке берегов трещины.
Из результатов работы [3] видно, что воздействие теплового источника уменьшает деформацию растягиваемой плоскости в направлении, перпендикулярном трещине. В связи с этим снижается коэффициент интенсивности напряжений в окрестности конца трещины. При некотором соотношении физических и геометрических параметров пластины и теплового источника будут появляться зоны сжимающих напряжений, в которых берега трещины на некотором участке войдут в контакт. Это приведет к появлению контактных напряжений на данном участке берегов трещины.
Рассмотрим неограниченную упругую плоскость, ослабленную одной прямолинейной трещиной в начале координат. Берега трещины считаются свободными от внешних нагрузок. Для торможения развития трещины на пути ее распространения с помощью нагрева тепловым источником области 5 до температуры Т0 создается зона сжимаемых напряжений. Примем следующие допущения: все термоупругие характеристики материала плоскости не зависят от температуры; материал плоскости представляет собой однородное и изотропное тело. Считается, что в момент ? = 0 произвольная область 5 на пути роста трещины в плоскости мгновенно нагревается до постоянной температуры Т = Т0. Остальная часть плоскости в начальный момент имеет температуру Т = 0.
Для многих металлических материалов (сталей, алюминиевых сплавов и др.) в диапазоне изменения температуры до 300°-400° зависимость термоупругих характеристик слабо меняется с температурой. Это экспериментально установленный факт [4, 5]. Та-
ким образом для всех конструкционных материалов существует такой диапазон температур, в котором допущение о постоянстве термоупругих характеристик материала является корректным, он устанавливается на основании зависимости модуля упругости от температуры. Опыты [2] показывают, что при нагреве трассы пути трещины до 70°-100° наблюдается замедление и торможение трещины. Можно привести другие публикации [6, 7], где дается положительный ответ о наблюдаемом эффекте закрытия (контакта берегов) трещины. В работе [7] исследовано поведение напряжений вблизи концов трещины и определены коэффициенты интенсивности напряжений. Показано, что при некоторых значениях параметров задачи, коэффициенты интенсивности напряжений оказываются отрицательными. Это означает, что берега трещины входят в контакт. В [6] путем расчета раскрытия перемещений берегов трещины показано, что трещина закрывается, т.е. берега трещины входят в контакт. Наличие отрицательных коэффициентов интенсивности напряжений по крайней мере вблизи края трещины, приводит к необходимости учета контакта берегов в некоторой окрестности конца трещины.
Таким образом, в данном случае задачу надо решать в другой постановке.
В случае, когда характерный линейный размер области 5 считается малым по сравнению с длиной трещины или с каким-либо другим характерным линейным размером Ь плоскости в плане, возможно эффективное асимптотическое решение задачи, основанное на представлении о тонкой структуре конца трещины. Задачу о тонкой структуре конца трещины (т.е. о распределении напряжений и деформаций на расстояниях г от конца трещины, удовлетворяющих условию Ь > г > р, где р - радиус кривизны конца трещины) можно ставить [8] следующим образом.
Рассмотрим окрестность конца трещины, которая мала по сравнению с характерным линейным размером в плане пластины, но больше по сравнению с характерным линейным размером области 5. Тогда трещина на плоскости ху представится полубесконечным размером вдоль у = 0, < х < 0. При этом в части разреза длиной й (концевая зона, примыкающая к ее вершине) берега трещины будут взаимодействовать (войдут в контакт). Это способствует появлению контактных напряжений на данном участке. Вне этого участка берега трещины будут свободны от нагрузок. Область 5 может иметь любые (но конечные) размеры и конфигурацию.
На бесконечности реализуется напряженное поле, характерное для тонкой структуры
конца трещины. Оно считается заданным и имеет вид: при г ^ ^ Ф(г) = (К1 - гКп)/2л/ 2 пг,
О(г) = (К1 - гКп)/27 2п г, где г = х + Iу = ге'е; г, 0 - полярные координаты; I = Т-1; Ф(г) и О(г) -комплексные потенциалы [9].
В поставленной задаче параметрами нагружения являются коэффициенты интенсивности напряжений К1, К11, представляющие собой некоторые функции формы тела граничных условий. Они определяются из решения задачи "в целом" при отсутствии теплового воздействия.
Рассматриваемая задача состоит в определении контактных напряжений на участке -й < х < 0, размера контактной зоны, а также напряженно-деформированного состояния вне трещины при воздействии наведенного тепловым источником поля напряжений. Концевая область, примыкающая к вершине трещины, мала по сравнению с остальной частью плоскости. Считается, что при налегании берегов трещины предельное равновесие не достигнуто и проскальзывание берегов трещины отсутствует. При действии силовой и тепловой нагрузок на плоскость на некотором участке берега трещины взаимодействуют между собой. Это приводит к появлению нормальных #у(х) и касательных усилий дху(х).
Следовательно, к берегам разреза в концевой области будут приложены нормальные и касательные напряжения, соответственно равные qy(x) и qxy(x). Величины этих напряжений заранее неизвестны и подлежат определению в процессе решения краевой задачи механики разрушения.
Граничные условия рассматриваемой задачи имеют вид
- Лху = 0 при у = 0, -<*> < X < -й; оу - 1тху = ду - ^ при у = 0, -й < х < 0. (1)
Напряженное состояние представим в виде ох = о + о , оу = о + о , тху = т + + т , где о , о , т - решение задачи термоупругости для плоскости без трещины. Для определения напряжений о , о , тху^ решаем задачу термоупругости для
сплошной плоскости. В начале находим распределение температуры в плоскости. Для этого решаем краевую задачу теории теплопроводности дТ& = аАТ, Т =
Г Т0 (х, у е
= < , где А - оператор Лапласа; а - коэффициент температуропровод-
[0 (х, у г 5),
ности материала плоскости.
Пусть нагретая тепловым источником область 5 является произвольной односвяз-ной областью. Решение уравнения теории теплопроводности (1) для сплошной плоскости имеет вид [10]
-
, >-ч2
Т(х, у, 0 = 4ПгЛ ехр Ш ^ где = (х - Э2 + (у - п)2.
5
Для термоупругого потенциала перемещений находим
(1 + У)а Т о Р( х, у,0 = —4П—
IТ II ехр Ш* йт -2II1п &) *
5
Компоненты тензора напряжений о , о , тху^ выражаем через термоупругий
потенциал перемещений в виде [10] о = -2ц(Э2^/Эу2), о = -2ц(Э2^/Эх2), т хуо =
= 2ц(Э2^/ЭхЭу), где ц - модуль сдвига материала плоскости; а - коэффициент линейного температурного расширения материала; V - коэффициент Пуассона материала плоскости.
Напряженно-деформированное состояние в бесконечной плоскости в условиях плоской задачи с разрезом вдоль оси абсцисс описывается двумя аналитическими функциями Ф(г) и О(г) [5]. Для их определения имеем задачу линейного сопряжения
[Ф(х) + 0(х)]+ + [Ф(х) + 0(х)]- = 2р(х), [Ф(х) - 0(х)]+ - [Ф(х) - 0(х)]- = 0, (2) где -го < х < 0, х - аффикс точек контура разреза с концевой контактной зоной;
Г 0 на свободных берегах трещины,
р(х) = < ,,
[ду - ¡дху на берегах концевой зоны трещины.
Решение краевой задачи (2) ищем в виде Ф(г) = Ф0(г) + Ф1(г), О(г) = П0(г) + П1(г), где потенциалы Ф0(г) и П0(г) описывают термоупругое состояние сплошной плоскости под действием теплового источника.
Комплексные потенциалы Ф1(г) и 01(г) можно определить из краевых условий (2). Для нахождения функций Ф1(г) и 01(г) представим граничные условия (2) в виде
[Ф1(х) + Й1(х)]+ + [Ф1(х) + О^х)]- = 2р(х) + 2^(х), [Ф1(х) - Й1(х)]+ - [Ф1(х) - О^х)]- = 0,
где 2g(x) = -[Ф0(х) + Ос(х)]+ - [Ф0(х) + Ос(х)]-.
На основании решения задачи термоупругости для сплошной плоскости имеем 2g(x, 0) = о (х, 0) - I тхуо (х, 0). Окончательно находим [9]
1 Г /г / (г) йг + к I - Iк I I 0 (г) = 1 г 4г / ( г ) йг + к I - Iк I I 2п^г1 г - г 2,Дкг ' 1 2т/г1 г - г 2,Дкг '
Г/!(х) - ¡/2 (х) на свободных берегах трещины,
где /(х) = 1 . , , . . , , . - „ /1(х) =
[/1(х) -¡/2(х) + qy - iqxy на берегах контактной зоны трещины;
= - Оуо (х, 0), /2(х) = - Тху0 (х, 0).
Для окончательного определения потенциалов Ф1(г) и 01(1) необходимо найти контактные напряжения qy(x) и qxy(x) на участке контакта между кромками трещины. На участке контакта между берегами трещины раскрытие трещины должно быть равно нулю, т.е. (и+ - и-) + ¡(и+ - и ) = 0. Это комплексное уравнение служит для определения qy(x) и qxy(x).
Для определения перемещений имеем [9]
2ц(и + и) = коф(г) - ю(г) - (г - г)Ф(г), (3)
где к0 = 3 - для плоской
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.