ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 1, 2015
© 2015 г. И. А. Солдатенков
Замечания по статье Г. П. Черепанова "Контактная задача математической теории упругости с зонами сцепления и скольжения. Теория качения и трибология". ПММ. 2015. Т. 79. Вып. 1. С. 112-143.
Представленные ниже замечания написаны по просьбе редакции журнала "Прикладная математика и механика" и преследуют цель сопроводить статью Г.П. Черепанова (далее — статья) дополнительной информацией и комментариями по изложенному в ней материалу. По мнению автора замечаний, такое дополнение будет способствовать более правильным пониманию и оценке читателем журнала результатов, полученных Г.П. Черепановым.
1. Основной материал статьи касается двух известных задач: контактной задачи теории упругости с зонами сцепления и скольжения (задача Галина) и связанной с ней задачи расчета упругого контакта при качении. Решению этих задач посвящено значительное число работ разных авторов, ряд из них имеет прямое отношение к материалу статьи. Тем не менее, автор статьи незаслуженно умалчивает о них. Так, из работ, связанных с расчетом контакта при качении, упоминается только работа Н.И. Глаголева, написанная почти 70 лет назад. Статья не содержит сколь-нибудь обстоятельного сравнительного анализа результатов, полученных другими авторами.
Для ознакомления с результатами решения задачи Галина можно рекомендовать монографии [1—3]. Расчету контакта при качении посвящены, например, работы [4—9]. Отдельно следует отметить исследование [10], в котором для описания трения качения привлекаются понятия механики разрушения.
2. В статье используется закон Кулона трения скольжения: т^ = —/Ъу + т, при этом совершенно игнорируется закон Кулона трения покоя, выражаемый неравенством 1тУ < \—/«у + а5\, которое означает, что фрикционные касательные напряжения не превосходят предельную силу трения (для простоты коэффициент трения покоя здесь полагается равным коэффициенту трения скольжения) [3, 4]. Оба закона трения Кулона отражают один и тот же природный феномен и органически связаны друг с другом — как, например, взаимосвязаны три закона механики Ньютона. Использование только одного закона Кулона с возможным нарушением другого требует, как минимум, соответствующих пояснений. Важно подчеркнуть, что именно наличие неравенства, выражающего закон трения покоя, создает основные трудности в поиске точного решения задачи Галина в общей постановке.
Игнорирование автором статьи закона Кулона трения покоя естественно приводит к тому, что некоторые из полученных в статье решений не удовлетворяют этому закону. Примером тому служит решение (6.6), согласно которому на концах области контакта для цилиндра, сцепленного с упругой полуплоскостью, имеют место бесконечно большие касательные тху, но ограниченные нормальные <зу напряжения. Согласно формуле (5.26), даже при полном отсутствии трения (/ = т5 = 0) существует конечный размер Ь области сцепления.
Здесь следует отметить, что в цитируемой работе Н.И. Глаголева (ПММ, 1945) также явно не используется закон трения покоя, однако полученные в ней распределения контактных напряжений удовлетворяют соответствующему неравенству.
3. В аннотации статьи пишется: "Показано, что коэффициент трения качения в законе Кулона прямо пропорционален (МЯР)1/2 для колес и цилиндров, и (МКР)1/3 для шаров...
Прикладная математика и механика. Вып. 1, 2015
145
Таким образом, закон Кулона исправлен". В связи с этим высказыванием необходимо отметить, что Кулон, по всей видимости, действительно предполагал постоянство коэффициента трения качения, однако за прошедшие после этого 200 лет многими исследователями установлено влияние различных факторов на коэффициент трения качения [4, 11]. Указанные в статье зависимости коэффициента трения качения от комплекса NRP не являются новыми — они непосредственно следуют из известных выражений для силы трения качения [4, 7], с которыми совпадают формулы (6.54), (6.55) из статьи с точностью до постоянного множителя.
Следует также отметить, что формулы (6.54), (6.55) (или (6.8), (6.9)) противоречат общим представлениям о природе трения как диссипативного процесса. Действительно, эти формулы определяют трение качения через упругие параметры тел и не содержат каких-либо параметров диссипативных свойств системы (трения скольжения, вязкости, пластичности и т.п.), которые порождают трение. Подобные диссипативные параметры присутствуют в давно известных формулах для трения качения; например (см. [4, 7]), для катящегося цилиндра расчетным путем выводится формула (ср. с (6.54)):
ТЯ = а — (ЛР)1/2^3/2
3п3/2
где а — коэффициент гистерезисных потерь.
4. При рассмотрении условий качения цилиндра (см., например, с. 129 и 134) автору статьи следовало бы указать полную систему внешних сил и моментов, приложенных к цилиндру. В частности, неясно, чем уравновешивается момент контактных касательных напряжений т^ относительно оси цилиндра в задачах с решениями (6.6) и (6.34), чего требуют условия равновесия твердого тела.
5. Раздел 7 статьи, посвященный расчету износа при качении, содержит ряд положений и выводов, которые выглядят спорными с точки зрения существующих представлений о природе изнашивания [4]. В частности, представляется странным то, что при наличии частичного проскальзывания износ не зависит от нагрузки (формула (7.5)), а в случае полного проскальзывания износ исчезает с уменьшением податливости P = (1 — v2)/E при неизменной нагрузке (формула (7.6)).
6. Некоторые выкладки в статье делаются без должного обоснования. Например, отсутствует обоснование правомерности ссылки на формулу (5.14), полученной для полубесконечного штампа, при записи условия (5.22) для штампа конечных размеров. Равенства (6.36) для гладкого цилиндра получаются в статье с привлечением формул (5.5), (5.9)—(5.14), установленных для полубесконечного плоского штампа с углом, что особенно требует пояснений, так как у такого штампа вблизи угла контактные напряжения имеют сингулярные особенности, несвойственные для гладких штампов [3, 5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Развитие теории контактных задач в СССР. Под ред. Л.А. Галина. М.: Наука, 1976. 493 с.
2. Механика контактных взаимодействий. Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. М.: Физматлит, 2001. 670 с.
3. Galin L.A., Gladwell G.M.L. (Ed.). Contact Problems. The Legacy of L.A. Galin. N.Y.: Springer, 2008.
4. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов В.С. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение, 1977. 526 с.
5. Johnson K.L. Contact Mechanics. Cambridge: Univ. Press, 1982 = Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 509 с.
6. Tabor D. The mechanism of rolling friction. II. The elastic range // Proc. R. Soc. London. A. 1955. V. 229. № 1177. P. 198-220.
146
И.А. Солдатенков
7. Greenwood J. A., Minshall H., Tabor D. Hysteresis losses in rolling and sliding friction // Proc. R. Soc. London. A. 1961. V. 259. № 1299. P. 480-507.
8. Hersey M.D. Rolling friction, I — Historical introduction // Trans. ASME. Ser. F. J. Lubr. Techn. 1969. V. 91. № 2. P. 260—263.
9. Hersey M.D. Rolling friction, III — Review of later investigations // Trans. ASME. Ser. F. J. Lubr. Techn. 1969. V 91. № 2. P. 269—275.
10. Kendall K. Rolling friction and adhesion between smooth solids // Wear. 1975. V. 33. № 2. P. 351 — 358.
11. Крагельский И.В., Щедров В.С. Развитие науки о трении. Сухое трение. М.: Изд-во АН СССР, 1956. 235 с.
Москва
e-mail: isoldat@hotmail.com
Поступила в редакцию 29.V2014
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.