МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. А.В. НАЛИМОВ, Ю.В. НЕМИРОВСКИЙ
ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
В работе рассматриваются жесткопластические осесимметрические оболочки, для которых методами теории управления в формализованном виде построено условие исчерпания несущей способности.
Показано, что решение задач предельного равновесия для таких конструкций сводится к решению многоточечной краевой задачи для системы нелинейных дифференциально-алгебраических уравнений с неизвестными границами сопряжения различных пластических режимов, а также жестких и пластических областей.
Сформулирована полная система разрешающих уравнений для решения задач о несущей способности осесимметрических оболочек, в том числе и условия сопряжения областей, находящихся в различных состояниях.
1. Введение. Одной из основных задач механики деформируемого твердого тела является задача определения предельно допустимой нагрузки для рассматриваемой конструкции. В настоящее время для описания поведения материала конструкций при действии внешних сил разработан ряд моделей, например, теория упругости, пластичности, ползучести, а непосредственно для описания материала в предельном состоянии: механика трещин, накопления повреждений, теория идеально пластического и жесткопластического тел [1-5]. Следует отметить, что достижение предельного состояния в точке или области среды в общем случае не определяет исчерпание несущей способности конструкции в целом [6]. Поэтому для анализа конструкций в предельном состоянии необходимо сформулировать условия исчерпания их несущей способности. Применительно к жесткопластическим конструкциям такое условие было сформулировано в [6], где исчерпание несущей способности связывается с реализацией в конструкции дополнительных степеней свободы. Представление этого условия в виде замкнутого соотношения, определяющего значение предельной нагрузки, оказалось нетривиальной задачей. До настоящего времени только в работе [7] для жестко-пластических цилиндрических оболочек удалось построить такое соотношение на основе равенства нуля приращения потенциала. Позднее это условие было получено в [8] для цилиндрических оболочек при помощи принципа максимума Понтрягина.
В данной работе для осесимметрических оболочек из жесткопластического материала построено соотношение, определяющее исчерпание несущей способности, и сформулированы полные системы уравнений предельного равновесия оболочек. Сформулированы численные методы решения задач предельного равновесия оболочек. На примере составных оболочечных конструкций проведен анализ влияния геометрических параметров и структур армирования на несущую способность.
2. Соотношения жесткопластических оболочек. При использовании классических гипотез Кирхгофа-Лява уравнения равновесия для осесимметрических оболочек записываются в виде [9]:
dtj/ds = Qj (T, Q,X0, s); dQ/ds = Q2(T, Q, X0, s) (2.1)
dmllds = 03(Т, Q, 5), 5 б [50, 51 ]
/О 1 ч -*П£/ ^ , ч Н , 10 Г, 10Е1(!0> 5)
Т> 5) = "Щ2^(2) - н10¿1- ЩQ - 2о0Н
П^П! ) /Г£ ¿1 , ¿2 А 10 Еп (!0 > 5)
°2( Т, а ,5) = ^- н)Q +10 и; + -
Оз(Т, 5) = ^ 10(т1- т2) -210Нт1+2Н0Q
— 1 г]Н т
Н = ¿ТН Л = ^2со-£; Т = (¿1, ¿2, т1, т2)Т
и =
2 Н о,
| о-Л;
т=
2
Но
| о^у (/ =1, 2); Q = Н- | О13 dy
0-Н
где и т1 - безразмерные усилия и моменты (вдоль образующей (- = 1) и в тангенциальном направлении (- = 2)); Q - перерезывающее усилие; у б [-Н, Н] - координата, отсчитываемая вдоль нормали к срединной поверхности; - координата, отсчитываемая вдоль меридиана (5 = 5//0; 5 б [50, 51]; 50 = 0; 51 = 2); Щ ( = 1, 2) - главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки; £ - угол между касательной к образующей и осью вращения У; Я - расстояние от оси вращения У до срединной поверхности; dR = Ях1£ = dS; dУ = соз£15; 2Н5) - толщина оболочки; 210 - длина оболочки по
образующей; Е1(!0, 5) = Е(11) (5) + Е^2 (5); Еп(К0, 5) = Е^1 (5) + Е^2 (5) - касательная и нормальная нагрузки к срединной поверхности оболочки; - параметр нагрузки (коэффициент запаса прочности); о0 - константа, имеющая размерность напряжений.
Кинематические соотношения в данном случае преобразуются к виду [10]:
= 1 + У ; 10 ds Я/
Ё02
(У со-£ - и-ш£)
Я
. = Н . = Н-ш £ р; р = 1 1м> и Х = ~7Л0И' 12 = 2 ~ ; р = Т0Щ
(2.2)
где и, У , р - скорости перемещений срединной поверхности вдоль меридиана, по нормали к срединной поверхности и скорость изменения кривизны; е0г-, X ( = 1, 2) скорости деформации и искривления срединной поверхности оболочки.
Предельные соотношения в пространстве обобщенных напряжений (поверхность текучести) представляется в виде пересечения ряда гиперповерхностей [11]:
^ (Т, 5) = 0 0 =1^)
(2.3)
Скорости деформаций и поверхность текучести связаны ассоциированным законом течения [12], т.е. в состоянии течения вектор скоростей деформаций е = (е01, е02, X , х2 )т ортогонален поверхности текучести. При реализации ребра, образованного пересечением гиперповерхностей (2.3), вектор е может принимать произвольное направ-
Н
Н
Н
Н
Н
01
ление между нормалями к смежным гиперповерхностям. Формально ассоциированный закон течения записывается следующим образом [11, 13]:
I, Э (Т, 5) ,1 , Э F;( Т, 5)
е°' = хх-1)7--; хг = ХХ-дт- (' = 1' 2)
1 = 1 1 = 1
Х > 0 при F](Т, 5) = 0 и dF](Т, 5) = 0 (2.4)
Х}- = 0 при F¡ (Т, 5) < 0 или dFj(Т, 5) < 0
На краях оболочки (5 = 0 и 5 = 2) задаются обобщенные напряжения 71, Q, т1, нулевые скорости перемещений и, м>, Ф или их линейные комбинации. В общем случае краевые условия можно записать следующим образом:
Ог • 1(5^) = Рг
. Г (2.5)
rang(Бг-) = 3, (г = 0, 1); г = (71, Q, т1, и, м>, Ф) ; 50 = 0; 51 = 2
Соотношения (2.1)-(2.5) представляют собой краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений шестого порядка с V + 6 алгебраическими соотношениями относительно величин 7, Q, т, ¿0г, %г, и , ™ , Ф, (г = 1, 2; ] = 1, V) и параметра нагрузки Х0. Для полной формулировки задачи требуется определить еще одно условие, необходимое для вычисления параметра Х0.
3. Способы решения задач предельного равновесия. Несмотря на то, что исходная система уравнений не замкнута, решению задач предельного равновесия оболочечных конструкций посвящено большое число работ [10, 12], где используются различные подходы. Эти подходы можно разбить на четыре группы:
1. Решения, полученные для оболочек специального вида. В работе [7] для цилиндрических оболочек удалось сформулировать полную систему уравнений и построить решение задачи.
2. Решения, полученные при краевых условиях специального вида, обеспечивающих, например, статическую определенность задачи. Для таких задач, путем замены переменных для системы разрешающих уравнений в некоторых случаях удается сформулировать все необходимые условия, например [14], и построить соответствующие точные решения.
В качестве иллюстрации такого подхода рассмотрим случай реализации во всем пролете оболочки только одной гиперповерхности. Введем новые величины:
q = -0.5 ¿02/Х2; п = —0.1 ¿01 / %1 (3.1)
обозначающие значение безразмерной координаты г = у/Я, где скорости деформаций ¿ 1 = ¿01 + 2г% 1 а = 1, 2) меняют знак. Поскольку г б [-1, 1], то величины п и q по модулю не превосходят единицу.
В соответствии с ассоциированным законом течения (2.4) при реализации гиперпо-
дF1 (Т, 5) дF1 (Т, 5)
верхности типа (2.3) имеет место: К(Т, 5) = 0; q = -0.5 —-Ц-/ —=;- откуда выра-
■> д72 д т2
жая величины 72, т2, получим:
72 = (7\, тх, q, 5); т2 = 02(71, т1, q, 5) (3.2)
Скорости деформаций должны удовлетворять условиям совместности скоростей деформаций, которые аналогично [9] можно записать в виде:
d(¿02Я),.,,. йч п,Г210
ds
+ ¿01 (/0-ш£) - (.2Я)[Н°с1Е= 0
Учитывая эти соотношения, для определения параметра q получим следующее дифференциальное уравнение:
^ = - qlo Г Н1 - № -
ds 10 ГН Я1 ) 0 Н
-1 -п£ Г +05 ЭЕ/Т, 5) д¥1 (Т, 5) 1/Э ¥ } ( Т, 5 ) д^ ( Т, 5) N (33)
0 Я ^ ' Эдт 1 )Г дт 1 дт2
Уравнения (2.1), (3.2), (3.3) образуют систему четырех нелинейных дифференциальных уравнений относительно величин Q, тх, q с неизвестным параметром нагрузки Х0.
Для оболочки, например, с шарнирно опертым при 5 = 0 и свободным при 5 = 2 краями, краевые условия записываются следующим образом:
q (5 0) = тД 50) = ¿1 (51) = Q (51) = т^) = 0; 50 = 0; 51 = 2
Четыре из приведенных условий можно использовать для интегрирования системы уравнений (2.1), (3.2), (3.3), а пятое - для определения параметра нагрузки Х0.
3. Подход, основанный на кинематической теореме [15], согласно которой параметр нагрузки, определенный на кинематически допустимом поле скоростей, не ниже истинного значения. Для любого заданного механизма пластического течения определяется верхняя оценка несущей способности [16]. Основной проблемой при использовании кинематического метода является построение механизма течения, который обеспечивает наименьшее значение параметра нагрузки. Последнее связано с тем, что в предельном состоянии механизм течения не всегда адекватен характеру на-гружения и неизвестна область пластического течения оболочки [17].
4. Подход, основанный на статической теореме жесткопластических тел [15]. Параметр нагрузки определяется на статически допустимом поле напряжений, т.е. удовлетворяющем уравнениям равновесия (2.1) и статическим краевым условиям. Также всюду выполняются предельные соотношения (2.3). Полученный таким способом параметр Х для статически неопределимых задач не превосходит истинного значения. Этот метод широко применяется при решении задач строительной механики [16].
4. Условие исчерпания несущей способности. Для построения уравнения, замыкающего соотношения (2.1)-(2.5), рассмотрим задачу о несущей способности оболочек в статической постановке, т.е. уравнения (2.1), (2.3) и соответствующие краевые условия (2.5).
При реализации в оболочке или некоторой ее части пластического состояния, соответствующего гиперповерхности (2.3) имеет место равенство ¥(Т, 5) = 0, откуда путем обращения относительно величины т2 получим выражение вида т2 = ¿2, т1, 5). Подставляя это выражение в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.