ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 12, с. 1059-1070
ТОКАМАКИ
УДК 533.9.07
ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ НА ЭЛЕКТРОНАХ В ТОРОИДАЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ
С РАВНОВЕСИЕМ ПО СОЛОВЬЕВУ © 2013 г. Н. И. Гришанов*, **, Н. А. Азаренков*
* Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, Харьков, Украина ** Украинская государственная академия железнодорожного транспорта, Харьков, Украина
e-mail: n.i.grishanov@gmail.com Поступила в редакцию 05.03.2013 г. Окончательный вариант получен 27.06.2013 г.
Вклад пролетных и двух групп запертых частиц в продольные (по отношению к магнитному полю) компоненты диэлектрической восприимчивости определен через решение дрейфово-кинетических уравнений для этих частиц в аксиально-симметричных токамаках с равновесием по Соловьеву. Полученные диэлектрические характеристики приемлемы для исследования линейных волновых процессов в области частот альфвеновских и быстрых магнитозвуковых волн в токамаках с большим и малым аспектными отношениями, с магнитными поверхностями круглого эллиптического и D-об-разного сечения. Высокочастотная мощность, поглощаемая в плазме за счет затухания Ландау на электронах, вычисляется путем суммирования членов, содержащих мнимую часть как диагональных, так и недиагональных компонентов продольной восприимчивости. Численные расчеты мнимой части продольной восприимчивости выполнены для сферических токамаков в широкой области частот и радиусов магнитных поверхностей.
DOI: 10.7868/S0367292113120032
1. ВВЕДЕНИЕ
Как хорошо известно, токамаки с большим [1] и малым [2, 3] аспектными отношениями являются перспективным направлением реализации проблем термоядерного синтеза при магнитном удержании плазмы. Для достижения условий синтеза ядер в этих устройствах необходим дополнительный нагрев плазмы. Одним из эффективных методов ее нагрева рассматривается бес-столкновительная диссипация высокочастотных волн (например, альфвеновских, магнитозвуковых либо нижнегибридных) благодаря их затуханию на частицах плазмы с учетом черенковского и циклотронного резонансов, а также баунс-резо-нансов. Поглощение волн электронами в замаг-ниченной плазме при черенковском резонансе, т.е. при близости продольной фазовой скорости волны и продольной скорости электронов, часто именуют затуханием Ландау.
Наиболее полное описание различных аспектов взаимодействия волна-частица в любой тороидальной бесстолкновительной плазме достигается в рамках кинетической теории волн, т.е. через решение системы уравнений Власова-Максвелла, см. например [4-13] и цитируемую там литературу. Наибольший прогресс в двумерно-неоднородной (2Э) кинетической теории волн в токамаках [5-10] достигнут для модели аксиально-симметричной тороидальной плазмы с концентрическими магнитными поверхностями
круглого сечения и большим аспектным отношением, где малый радиус плазмы а много меньше большого радиуса R0, а/Я0 ^ 1. Основные трудности, даже в рамках линейной теории волн, возникают при необходимости решать 2D дифференциальные волновые уравнения (уравнения Максвелла) совместно со сложными интегральными диэлектрическими характеристиками, устанавливающими связь между 2D-компонентами плотности тока и электрического поля, индуцированными в плазме. Выражения для компонент тензора диэлектрической проницаемости, sik, (или соответствующих компонент высокочастотной проводимости) существенно зависят от геометрии удерживающего магнитного поля и, соответственно, от выбранной системы координат; от вида стационарной функции распределения частиц плазмы и т.д. Специфические тороидальные эффекты проявляются из-за того, что параллельная скорость частиц в токамаке не является постоянной, V|| = v • h Ф const, где h — единичный вектор вдоль равновесного магнитного поля. В результате,
— в зависимости от питч угла (угол между векторами v и h), все плазменные частицы в 2D тока-маке следует разделить на запертые и пролетные, имеющие различные траектории движения и, соответственно, различные условия резонансного взаимодействия с электромагнитными волнами;
— линеаризованное уравнение Власова следует решать отдельно для пролетных и запертых частиц с учетом специфических граничных условий на их возмущенные функции распределения;
— пролетные и запертые частицы дают различный вклад в компоненты диэлектрического тензора, г1к = д,к + Х/к, где д,к — символ Кронекера, X ¡к — тензор диэлектрической восприимчивости;
— в связи с этим волны в равновесной плазме по разному затухают на пролетных и запертых частицах;
— другой интересной особенностью в токамаках является вклад всех гармоник возмущенного электрического поля в заданную т-ую гармонику возмущенной плотности тока при Фурье-разложении их
л ..т / Ч т, т' г-гт'
по полоидальному углу: /ю = ^ хк Ек .
Все эти особенности токамаков с большим ас-пектным отношением присущи и сферическим токамакам с малым аспектным отношением, а/Я0 < 1, с круговыми [14—16], эллиптическими [17] и Э-образными [18] поперечными сечениями магнитных поверхностей. При этом надо учитывать, что в токамаках с круглым сечением магнитных поверхностей (как при большом, так и малом аспектном отношении) равновесное магнитное поле имеет только один минимум (или три экстремума) в зависимости от полоидального угла 9. Соответственно, в таких моделях плазмы существует лишь одна группа запертых частиц. Важной особенностью токамаков с вытянутым (например, эллиптическим) сечением магнитных поверхностей является то, что равновесное магнитное поле может иметь два локальных минимума (или пять экстремумом) в зависимости от 9. В результате, на таких магнитных поверхностях (радиуса г) наряду с пролетными и обычными ¿-запертыми частицами могут появиться две дополнительные группы, так называемых, ^-запер-тых (или "дважды" запертых) частиц [19—21], где выполняется следующий критерий: г/Я0 < < Н1(Ь2 /а2 -1) [17]. Здесь Ь/а — эллиптичность
внешней магнитной поверхности, а Нв — полои-дальная компонента вектора И на рассматриваемой магнитной поверхности.
В литературе имеется несколько способов решения кинетических уравнений (уравнений Власова или дрейфово-кинетических уравнений) для плазменных частиц в 2Э токамаках, см. например, работы [12, 13], где уравнение Власова решается в случае произвольного магнитного поля при учете как дрейфовых эффектов, так и эффектов конечной ширины орбит (траекторий) пролетных и запертых частиц. Однако при описании различных групп запертых частиц удобнее решать кинетические уравнения для плазмы, удерживаемой определенным магнит-
ным полем, как показано в работах [14—18] для простейших моделей 2Э-токамаков с круглыми, эллиптическими и Э-образными магнитными поверхностями. Основным ограничением применимости этих моделей является концентричность поперечных сечений магнитных поверхностей, что возможно лишь при пренебрежении шафра-новским сдвигом главных осей магнитных поверхностей. Как известно, сечения магнитных поверхностей в реальных токамаках не концен-тричны, а само равновесное магнитное поле должно удовлетворять уравнению Грэда-Шафра-нова [22, 23]. Одно из решений этого уравнения описывает так называемое равновесие по Соловьеву [24], в котором равновесное магнитное поле задается достаточно простыми аналитическими формулами и является весьма популярным и удобным при исследовании проблем равновесия, транспорта и устойчивости токамаков как с большим, так и малым аспектными отношениями. Существенным ограничением данного равновесия является то, что оно справедливо, строго говоря, только для токамаков с квазиоднородным профилем равновесного тока. Конечно, в литературе известны [25-31] и другие решения уравнения Грэ-да-Шафранова, полученные с привлечением численных расчетов и более адекватные реальным экспериментам. Однако соответствующие выражения для компонент равновесного магнитного поля очень сложны при решении кинетических уравнений и далее не рассматриваются.
В настоящей работе для оценки затухания Ландау на пролетных и запертых электронах используются компоненты продольной диэлектрической восприимчивости в аксиально-симметричном Э-образном токамаке с равновесием по Соловьеву. Дрейфово-кинетическое уравнение решено отдельно для функций распределения пролетных и двух групп запертых частиц как граничная задача в высокотемпературной бесстолк-новительной плазме. При этом используется подход, развитый для сферических токамаков с концентрическими магнитными поверхностями круглого [16], эллиптического [17] и Э-образного сечения [18].
2. МОДЕЛЬ ПЛАЗМЫ С РАВНОВЕСИЕМ ПО СОЛОВЬЕВУ
Как отмечалось выше, Э-образные магнитные поверхности в токамаке с равновесием по Соловьеву [24, 32] не являются концентрическими, см. рис. 1, и могут быть построены, используя следу-
ющую связь цилиндрических (R, ф, Z) и квазитороидальных координат (р, 0, ф):
R = <№ + 2a Rj р cos 6, ф = ф,
Z =
-aaRJ рsin6
Vr02 - 5 + 2aRJ р cos 6 при обратном преобразовании
-V
4Z2(R2 -8) + a2 (R2 - R2)
0 - -arctg
2aRJa
2zVR2 -8
a(R2 - R2)
ф-ф.
g = (Rj - a)2(RJ + a)2 - (Rj - d)4 " 2 [Ro2 - (Rj - d)2] '
2
a =
2b2
R02 - (Rj - d)2'
HK =-
—P0—psinfl R0 - 5 + 2aRjp COS 9, j + a2 "V R2 + 2aRjp cos 9
Нф = H,
2ф
j +•
в oSp2
R(j + a2)
j + 2 aR p cos 0
Ro2
H7 =-
— Ho.
i +
в op2 j + a
g(p, 0)
j + 2 aR p cos 0'
R2
R0 = 0.86 м R1 = 0.70 м a = 0.50 м
(1)
(2)
Здесь Я0 — радиус главной магнитной оси; а —малый радиус плазмы; Ь/а, й/а и Кх — эллиптичность, треугольность и большой радиус внешней магнитной поверхности, соответственно; р — обезразмеренный радиус локальной магнитной поверхности (0 < р < 1); 9 — полоидальный угол (-п < 0 < п). Параметры 8 и а выражаются формулами [32]
(3)
(4)
В этом случае, цилиндрические компоненты равновесного магнитного поля могут быть представлены в следующем виде:
(5)
(6)
- 2 2
2Po ар aRjp(j + cos 9) + (R - 5) cos 0, (7)
j + a2 R0 -5 + 2aRjpcos9
где p2 и Н2ф, соответственно, давление плазмы и тороидальное магнитное поле на магнитной оси (т.е. при R = R или р = 2). Соответственно, модуль равновесного магнитного поля H0 равен
Н2 — V HR + HZ + Нф — H2фG(P, 0) —
(8)
0
Z, м
Рис. 1. Э-образные поперечные сечения магнитных поверхност
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.