АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 1, с. 20-37
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ^^^^^^^^
ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 542.213.4
ЗАТУХАНИЕ ВОЛНЫ СТОУНЛИ И ВЫСШИХ ЛЭМБОВСКИХ МОД ВСЛЕДСТВИЕ ИХ РАССЕЯНИЯ НА ДВУМЕРНЫХ НЕРОВНОСТЯХ СТЕНОК ФЛЮИДОЗАПОЛНЕННОЙ СКВАЖИНЫ
© 2007 г. Г. Ä. Максимов, Е. Ортега*, Е. В. Подъячев
Московский инженерно-физический институт 115409 Москва, Каширское шоссе 31 E-mail: maximov@dpt39.mephi.ru * Universitad Nacional de San Juan, Argentina Поступила в редакцию 12.12.05 г.
Исследуется затухание волн Стоунли и высших лэмбовских мод, распространяющихся вдоль шероховатой поверхности скважины, заполненной жидкостью. Эта задача является обобщением задачи о затухании волны Рэлея на шероховатой поверхности пустой скважины [10]. Использованная в работе методика нахождения коэффициента затухания основана на приближении малых по сравнению с длиной волны высот шероховатостей и методе среднего поля. Получено выражение для парциальных коэффициентов затухания собственных мод за счет их рассеяния на шероховатостях стенок скважины как в те же, так и в другие собственные моды, а также в объемные продольные и поперечные волны. Приведен анализ частотных зависимостей парциальных коэффициентов затухания волн Стоунли и высших мод от соотношения между корреляционной длиной шероховатостей и радиусом скважины при различных корреляционных функциях неровностей.
PACS: 43.20.Fn, 43.20.Hq, 43.20.Mv, 43.30.Hw
Затухание волн Стоунли при их распространении вдоль скважины используется в последнее время как важный источник информации о пористости и проницаемости продуктивных слоев, которые пересекает скважина [1-8]. При этом подразумевается, что механизм затухания связан с перетеканием флюида между скважиной и внешней пористой средой.
Однако существуют и другие механизмы, которые также приводят к затуханию волнового поля в скважине. В частности, затухание амплитуды волны Стоунли и высших мод может быть обусловлено их рассеянием на неровностях стенок необсаженной скважины. В связи с этим возникает необходимость в оценке роли рассеяния при интерпретации данных по затуханию волн в скважине.
В работах, где исследуется затухание поверхностных волн вследствие их рассеяния на неодно-родностях структуры скважины, авторы, как правило, учитывают детерминированные единичные неоднородности, такие как вымоины, а также изменение свойств слоев, которые пересекает скважина, и наличие неоднородностей вблизи скважины. Так, например, в работе [9] в детерминированной постановке исследовалось распространение низкочастотных волн Стоунли, распространяющихся в скважине с меняющимся радиусом.
В данной работе для нахождения коэффициента затухания из-за рассеяния волн на шероховатостях внутренней поверхности скважины используется та же методика, что и в предыдущей работе авторов [10], где проанализировано затухание волны Релея, распространяющейся вдоль пустой скважины. В работе [10] было показано, что поведение коэффициента затухания зависит как от вида корреляционной функции, так и от отношения корреляционной длины к радиусу скважины. При этом в отличие от случая плоской границы [11-13] парциальный коэффициент затухания за счет рассеяния в волны Рэлея включает в себя вклад не только от рассеяния "назад", как это имеет место для случая в среднем плоской поверхности, но также и от рассеяния "вперед".
Принципиальным отличием случая флюидоза-полненной скважины от пустой является наличие не одной, а целого набора собственных мод задачи, распространяющихся на заданной частоте. Многомодовый характер распространяющегося поля во флюидонаполненной скважине обуславливает более сложные закономерности частотного поведения коэффициента затухания в рассматриваемом случае, изучение которых и является предметом данной работы.
Математическая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. Рассмотрим флюидозаполненную, бесконечную скважину с
шероховатыми стенками, находящуюся в упругой среде (см. рис. 1). На оси скважины расположен точечный монохроматический источник, излучающий продольные волны. Неровная поверхность скважины предполагается цилиндрически симметричной и описывается функцией r = R + n(z), где R - средний радиус скважины, n(z) - случайная функция, определяющая зависимость радиуса скважины вдоль ее оси. Шероховатость стенок
скважины а = J(n2(z)} считается малой по сравнению с длиной волны А: а/А <§ 1.
Волновое поле в скважине может быть описано в терминах скалярного потенциала смещений фу, а поле в окружающей упругой среде - в терминах скалярного ф и векторного y потенциалов, соответствующих продольной и поперечной частям поля смещений U : U = grad ф + rot y, которые удовлетворяют волновым уравнениям. В силу симметрии задачи векторный потенциал может быть описан только одной своей азимутальной компонентой y = (0, у, 0). Это означает, что рассматриваются только волны, обладающие вертикальной поляризацией.
Волновые уравнения, которым удовлетворяют указанные потенциалы, после преобразования Фурье по времени (t о ю) и по осевой координате z (z о k) сводятся к уравнениям Гельмгольца:
Mr v22V( r' k,—) =A 5( r),
( r èr ;- v2)9( r' k,—) =0 (1)
dr r drr - v2'¥( r' k'—) =0'
где Vj = Jt^-kj при |k| > — и Vj = i Jkj - k2 при
—
Щ < — , где] = I, s,/, и через с и с,, обозначены про-с1
дольная и поперечная скорости звука в упругой среде, а через Cf - скорость звука в жидкости.
Граничные условия на неровной поверхности скважины г = к + п(^) заключаются в: равенстве сил, действующих на стенку скважины снаружи и изнутри, а также нормальных к поверхности смещений упругой среды и флюида, и могут быть записаны следующим образом:
Пг(Сгг«г + С„Пг) + Пг(Сгг«г + Ъzznz) |к + п(г) = -Р,
Tr(Crrnr + Crznz) + Tz(Czrnr + Czznz)\R + n(z) = 0 (2)
z
R *■
a
\
n(z)
ufrnr + ufznz\
fr r fz z\r + n(z)
= unr + uznz
R + n( z)'
Рис. 1. Геометрия задачи.
где Cj - тензор напряжений, P - давление флюида в скважине, uf¡ и ui - компоненты вектора смещений флюида и упругой среды, где i, j = r, z, а через n и t обозначены локальные нормальный n = = (cos a, sin a) и касательный t = (-sin a, cos a) векторы к поверхности, где a - угол между вектором n и нормалью к средней поверхности (n).
Также необходимо учитывать отсутствие волн, приходящих из бесконечности r —» и особенность поля в точке r = 0, обусловленную наличием источника.
Поскольку шероховатость предполагается слабой, с/А <§ 1, граничные условия могут быть разложены в ряд в окрестности среднего радиуса скважины r = r0, и учитывая члены не выше первого порядка малости по n(z) и ее производным, граничные условия (2) после преобразования Фурье по времени (t о —) и по осевой координате z (z о к) могут быть приведены к виду (П1.12), приведенному в Приложении 1. В результате получается задача о распространении волн во флю-идозаполненной скважине с ровными стенками, но сложными граничными условиями (П1.12).
Решения уравнений (1), удовлетворяющие сингулярности источника на оси скважины и условию излучения на бесконечности r —► имеют вид:
A
ф j( r, k,—) = -— Ko (v fr ) + Ci I о (v fr ),
ф( r, k, —) = Cj K о (v ¡r ), (3)
y( r, k,—) = C3 K1 (v,r ),
где К0(у1г), К1(у!г) - соответственно, функции Макдональда нулевого и первого порядка, а Сь С2, С3 - произвольные константы.
Подставляя решения системы волновых уравнений (3) в граничные условия (П1.12), получаем систему интегральных уравнений на коэффициенты Сх, С2, С3, которую можно записать в матричном операторном виде:
¿0(к)С(к) = ¿* (к, к - к)С(к) + 0(к),
(4)
С (к) =
/ л
С\ с2
Сз
матричного оператора невозмущенной задачи ¿0(к)
¿о(к) =
4 + ^Х 2гк^Хо + ±К
V
-2 ¡к\1К 1 V'К!
¡кК\
Ц (к, к) =
/ л
¿11 ¿12 ¿13
¿21 ¿22 ¿23
V ¿31 ¿32 ¿33 у
Х ) = К£
КДуЯ) = К'
К(Ч,Я) = к;, 1}.(V/Я) = //, ] = 0,1.
Интегральное матричное уравнение (4) может быть решено с помощью метода среднего поля, который был подробно изложен, например, в предыдущей работе [10]. Поэтому в данной работе мы ограничимся только записью окончательного уравнения для средней компоненты поля коэффициентов (С):
1^0(к) - а2¿2(к)_|(С(к)) = а20*(к), (5)
где а2 - дисперсия высот шероховатостей, и введены следующие обозначения:
12 2 п
| ж щ к) ц( к, к) ц-1 (к) ¿л к, к),
где введены следующие обозначения для вектора коэффициентов:
о* = _Ц г ж щ(к)¿*(к, к)¿-1 (к)0'(к) + (0(к)),
4 п2
где в свою очередь через Щ(к') обозначен Фурье-спектр корреляционной функции шероховатости границы Щ(г): а2Ж(г - г') = (п(г)п(г')).
Решения, удовлетворяющие однородному матричному уравнению (5), соответствуют собственным модам, которые могут распространяться вдоль флюидозаполненной скважины с шероховатыми стенками. Условие существования этих мод определяется из решения дисперсионного уравнения, являющегося детерминантом матрицы в (5)
¿0(к) - а ¿2(к)] = 0.
(6)
матричных операторов возмущения ¿* (к, к), ¿х(к, к), где к = к - к'.
¿*(к' к) = 2П 1 ^П(к)¿1(к' к),
Ввиду малости второго слагаемого в уравнении (6) (аД ^ 1), его можно разложить по этому параметру и привести дисперсионное уравнение к виду
ёеШ0(к) - а2Н(к) = 0, где введены обозначения:
(7)
Н (к) = -1- Г dk^W( к) 2п
п М(к,к) аег ¿0 (к)'
(8)
Компоненты операторов приведены в Приложении 2, так же как и компоненты векторной функции источника 0(к). В приведенных выше выражениях для сокращения записи использованы следующие обозначения для модифицированных функций Бесселя и Макдональда:
М(к, к) = £ Ь21](к, к)Ш1ПСГ(¿0(к)у).
г, 1 = 1
Решение дисперсионного уравнения (7), учитывая малость второго слагаемого, также можно искать по теории возмущений, опираясь на решение невозмущенной задачи. Однако в отличие от пустой скважины [10], где существует только одна собственная мода, соответствующая волне Рэлея, во флюидозаполненной скважине на заданной частоте существует конечное число собственных мод. Соответствующие указанным модам волновые числа, являющиеся решениями дисперсионного уравнения (7), можно представить в
0
виде невозмущенного решения ki дисперсионного уравнения detZ0(k) = 0 и малой поправки Ъкг, обусловленной нали
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.