РАСПЛАВ Ы
1 • 20139
УДК 541.123.7;669.017.3
© 2013 г. М. К. Жекамухов1, Ф. Б. Жолаева2
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ТОЛЩИНОЙ ЖИДКОЙ ПРОСЛОЙКИ И СДАВЛИВАЮЩИМ УСИЛИЕМ ПРИ КОНТАКТНОМ ПЛАВЛЕНИИ ТЕЛ В СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
Рассматривается задача о стационарном течении вязкой жидкости между твердыми телами цилиндрической формы, образующими эвтектическую пару, при контактном их плавлении в стационарном режиме. Получена аналитическая формула, выражающая зависимость радиальной составляющей скорости течения от цилиндрических координат. Установлена связь между толщиной жидкой прослойки между контактирующими телами и сдавливающим усилием в условиях стационарного режима контактного плавления. Найдена зависимость скорости контактного плавления от величины сдавливающих усилий и от площади поверхности контакта.
Ключевые слова', эвтектическая пара, кинематическая вязкость жидкости, контактное плавление, диффузионный режим, коэффициенты диффузии, объемные концентрации, кристалл, расплав.
Стационарный режим контактного плавления реализуется в тех случаях, когда кон-тактирующиеся кристаллы А и В сдавливаются постоянным внешним усилием, приложенным к наружным торцам кристаллов. При этом обеспечивается постоянство толщины слоя расплава между кристаллами за счет постепенного и равномерного выдавливания расплава из зоны плавления, причем каждому внешнему сдавливающему усилию соответствует определенное значение толщины жидкой прослойки.
Цель данной работы — рассчитать поле скоростей течения вязкой жидкости между контактирующимися телами в процессе контактного плавления в стационарном режиме и установить соотношение между величиной сдавливающих усилий и толщиной слоя жидкости между телами, имеющими цилиндрическую форму.
Течение расплава между контактирующимися телами можно рассматривать как стационарное течение вязкой жидкости между параллельными круглыми пластинками, расстояние h между которыми будем считать очень маленьким (см. рисунок).
Средние значения скорости между пластинками настолько малы, чтобы можно было считать число Рейнольдса Re = uh/v (и — средняя скорость, V — кинематическая вязкость жидкости) малым: Re ^ 1. Будем далее считать внешние силы отсутствующими, а течение жидкости — обладающим осевой симметрией. Эти требования хорошо выполняются при контактном плавлении в стационарном режиме, когда расплав между двумя контактирующими металлическими телами выдавливается из зоны плавления с постоянной скоростью.
Будем предполагать, что пластинки расположены горизонтально, а ось симметрии пластинок совпадает с осью z, направленной вертикально вверх.
^екатиЬоуа'й'таП.ги.
22Ьо1аеуаГайта1@та11.ги.
z
R
Схематическое изображение параллельных круглых пластинок.
Система уравнений, описывающих стационарные течения вязкой жидкости в цилиндрической системе координат, имеет вид [1]
+ v
dyr + du0 dur dr
fd 2 d ur
dr
■ d9
1 d 2ur r2 de2
+ и,
dur "dz
2
d и
= Fr -1 — + p dr
2 du0
dz
_+! du
2 r dr
r de
du0 u0 du0 ur—- + ——- + и dr r de
j
du- , uru- _ F 1 dP +
z--1--_ F-----+
dz r p r de
+ v
Vue +1 d 2u- + d 2u- + 1 du- + 2 du
dr
r2 de2
duz dr
u0 duz + ——- + u.
dz du
л
r dr r de r 2
2
d uz
dur
de
du
dz
z _ F -1 dP + v
p dz
dz.2
± d4
r2 de2
2
d uz
1 duz
dz2 r dr
(1)
+ lSoe + ^ur = (2)
dr r 59 dz r
Здесь r, 9, z — цилиндрические координаты; ur — составляющая скорости, направленная по радиусу — вектору; ие — нормальная к нему составляющая скорости; uz — составляющая скорости, направленная по оси z; F, Fe, Fz — соответствующие составляющие внешней силы, отнесенные к единице массы; р — плотность; P — давление; v — кинематический коэффициент вязкости; (1) — уравнения движения жидкости, (2) — уравнение непрерывности, которое выражает закон сохранения массы.
Поскольку число Рейнольдса Re < 1, то в уравнениях (1) можно отбросить левые части в силу малости сил инерции. Далее, в силу того, что течение обладает осевой симметрией, все величины, входящие в уравнения (1),(2), не зависят от угла 9: 5/59 = 0. Кроме того, вертикальная составляющая скорости uz пренебрежимо мала по сравнению с радиальной и касательной оставляющими ur и ие, следовательно, можно положить uz = 0. По условию задачи внешние силы отсутствуют: Fr = Fe = Fz = 0.
При этих условиях система уравнений (1) и (2) существенно упрощается и принимает вид
dP
— = Ц
dr
д vr
dr2
2
d и
dz
_+! du.
2 r dr
\
0 = ц
d u9 + d u9 + 15u0
dr2
dz2 r dr r
(3)
(4)
h
д^ + = 0, (5) дг г
где ц = pv — динамический коэффициент вязкости жидкости.
Ввиду малости толщины h слоя жидкости, изменение радиальной составляющей скорости иг по направлению оси oz будет происходить гораздо быстрее, чем изменение указанной величины в направлении оси г. Это означает, что порядок производной д2vr/дz2 велик по сравнению с порядком производной д2иг/дг2. Тогда, пренебрегая в скобках в (3) этим слагаемым, получаем
дР
— = Ц
дг
Гд\ + 1 dUr I (7)
dz2 r дг r2 '
2 2 du^ d u0
То же самое имеет место и в уравнении (4): —^ ^ —2^, следовательно, можем записать
dr dz
d 2и9 + 1du0 и0 „ (8)
"ТТ + ---2 = (8)
dz2 r dr r
Таким образом, уравнения относительно ur и ие являются независимыми. Прежде чем приступить к интегрированию уравнения (7), установим одно важно соотношение между средним по высоте значением радиальной скорости ur(r) и скоростями u1 и u2 контактного плавления кристаллов.
Выделим в слое жидкости элементарный объем цилиндра с радиусом r и высотой h. Количество жидкости, вытекающей из этого объема через боковую поверхность в единицу времени равно
q- = 2nrkUr (r) Pa +Pb = nrhUr (r)(pA +Pb),
где ur = - f ur (r, z) dz — средняя по толщине скорость течения жидкости; pA, pB — h J0
плотности кристаллов, (pA + pB)/2 — средняя плотность расплава (мы пренебрегаем разницей между плотностью кристалла и плотностью расплава).
С другой стороны, в условиях стационарного течения такое же количество жидкости поступает в рассматриваемый элементарный объем через нижнее и верхнее его основания в результате плавления тел:
q2 = nr 2(р a«i +Pb«2)-
Приравнивая друг к другу оба потока q1 и q2, получаем
_ , . r U1pa + u2pB /n4
U r (r) = --fA-^. (9)
h (Pa + Pb)
Таким образом, среднее по высоте значение радиальной скорости пропорционально расстоянию до оси г: ur(r) ~ r.
Заметим, что соотношение (9) получено на основе закона сохранения массы, следовательно, надобность в уравнении непрерывности (8) отпадает.
Поскольку среднее по z значение ur пропорционально r, то естественно, что значение ur(r, г) нужно искать в виде
и г (r, z) = rf(z),
(10)
где /(г) — новая неизвестная функция, зависящая только от г. При такой форме задания иг разность 1ди — Щ- в скобках в уравнении (7) автоматически обращаются в
г дг г нуль, и мы получаем
дР ^ V
— = • (11)
дг ¿г
Поскольку давление Р зависит только от г, то из уравнения (11) следует, что вторая производная с12//йг: должна быть постоянной:
й2/^г.2 = с, (12)
где с — пока неизвестная постоянная.
Решение уравнения (7) должно удовлетворять граничным условиям: иг = 0 при г = 0 и г = к. Следовательно, и функция /(г) должна удовлетворять тем же условиям:
/ (г) = 0 при г = 0 и г = к. (13)
Решение уравнения (12), удовлетворяющее граничным условиям (13), имеет вид
/ (г) = 2 (г2 - кг). (14)
Подставляя значение /(г) в (10), получаем
иг = |(г2 - кг) • (15)
Для определения постоянной с вычисляем среднее значение скорости иг(Г, г):
к 2
иг (г) = 1 \ иг (г, г )йг = -скГ. (16)
к 12
о
Сравнивая выражения (9) и (16), находим
_6
к
Формула (15) теперь принимает вид
и г (г, г) = ^ ("1 + "2 )(кг - г2), 0 < г < к (18)
Вернемся теперь к уравнению (11). Его решение должно удовлетворять начальному условию:
Р = Р0 при г = о, (19)
где Р0 — величина сдавливающего усилия, приходящегося на единицу площади. Интегрируя уравнение (11) при начальных условиях (19), получаем
Р (г) = Р0 - ^("1 + "2)г2. к
Отсюда видно, что давление, необходимое для выдавливания расплава из зоны контактного плавления, возрастает пропорционально 1/к3, что физически вполне объяснимо: при уменьшении толщины слоя жидкости резко возрастают силы трения, для преодоления которых требуются большие усилия.
с = - — ("1 + "2 )• (17)
Как уже говорилось выше, скорости и1 и и2 контактного плавления зависят от толщины к, а последняя — от величины сдавливающих усилий. Для установления связи между иь и2 и величиной к воспользуемся законом сохранения энергии.
Как известно[1], количество диссепирующейся энергии Е, отнесенной к единице времени и единице объема, в общем виде определяется выражением
е = ц (2е2 + 2Е2 + 2Е2 + е2 + е2 + е2).
(20)
Здесь б1, б2, б3, 101, 102, 103 — составляющие тензора скоростей деформации:
е = А- ди | и дИх , из дИ
И ддх ИИ дд2 ИИз ддз ' 0 = А. дЦ! + дЦз и2 дИ2 из дИ
Из ддз И2 дд2 И2И3 ддз И2И3 дд2'
(21)
где д1, д2, д3 — обобщенные координаты; и1, и2, и3 — составляющие скорости на оси координат; Н1, Н2, Н3 — коэффициенты Ламе. Выражения для б2, б3, В2, 93 получаются из предыдущих циклической перестановкой.
В случае цилиндрической системы координат имеем д1 = г1, д2 = 9, д3 = г,
и>1 =иг, «2 =и0, =и Иг = 1, И0 = г, Иг = 1.
В нашем случае составляющие скорости и2 = ие = 0, и3 = иг = 0. Тогда из (11) получаем
£1 =•
диг
е2 =иг, £з = о, е1 = о, 02 = —, 0з = 0.
дг
дг г
Подставив эти данные в (10), будем иметь
Е = ц
ди,
+ 2
+
ди,
дг / \ г ! V дг Воспользовавшись формулой (18), получим
£1 = е2 = ^з(«1 + «2))кг - г2); 02 = р-(«1 + «2)(к -2г).
При этом выражение (20) принимает вид
Е = ^ («1 + «2)2 4 (кг - г2) + г2 (к - 2г)2
(23)
(24)
Количество Q диссипируемой энергии в единицу времени в объеме, занятом течением жидкости между двумя круглыми пластинками, находим интегрированием выражения (24) по объему, занятому жидкостью:
Кк кК
О = \\Е2%гйгйг = ^ («1 + «2 )2 И 4 (кг - г2) + г2 (к - 2г)2
о о
о о
гйгйг =
злцК к
з (". + "2)2 I1 + ^ |.
4
к
Поскольку отношение — < 1, то отсюда получаем К
О = 3ПЦ3К ("1 + "2 )• к
В случае стационарного течения жидкости количество Q диссипируемой энергии в единицу времени равно работе, со
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.