ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2012, том 447, № 3, с. 284-287
МЕХАНИКА
УДК 532.529:534.2
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ДВУХФРАКЦИОННЫХ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЯХ
© 2012 г. Академик РАН Р. И. Нигматулин, член-корреспондент РАН Д. А. Губайдуллин, Ю. В. Федоров
Поступило 18.07.2012 г.
Различные проблемы акустики смесей жидкостей с пузырьками газа или пара рассмотрены в известных монографиях [1, 2]. Исследовано распространение акустических волн в однофракци-онных [3] и двухфракционных [4] смесях жидкости с монодисперсными парогазовыми и газовыми пузырьками различных размеров с фазовыми превращениями. Модель распространения плоских волн давления малой амплитуды в смеси жидкости с пузырьками газа представлена в работе [5]. Показано, что модель работает хорошо при объемных содержаниях дисперсной фазы 1—2% и только для дорезонансных частот. В настоящей работе впервые изучается динамика слабых возмущений в двухфракционных смесях жидкости с полидисперсными газовыми пузырьками разного состава, в том числе и с очень малым объемным содержанием (а2 ~ 10-4), когда может сказываться сжимаемость несущей фазы.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Система линеаризованных интегродифферен-циальных уравнений, определяющая распространение звуковых волн в двухфракционной смеси жидкости с полидисперсными пузырьками газа, имеет вид
М + Р10 ^ = 0, д? дх
др'2
д^
+ р2о^ = 0,
д? дх
д£ж + р2о ^ = о,
д? дх
дпк + „оа дх! = о, ^ + „оь^ = о,
д? дх д? дх
рш ^ + = о,
д? дх
Институт океанологии им. П.П. Ширшова Российской Академии наук, Москва Институт механики и машиностроения Казанского научного центра Российской Академии наук, Казань
3У 1аРо\-^т) -{Чар2а) а ,
\а д?/а
-3У2ьРо{\-{ЧьРгь>ь, \Ь дИь
(1)
да' д?
= ™Ла + ™
Ка
+ 4У] _
д?
д?
™Ла _ Р2,
а
= КЛЬ + ^кь , р1
о
Р1о
кь
д?
+ 4у] ^КЪ = £ж
1 ь
Р1
^Ла =
Р2а - Р1
о п / а ЧВ '
рюС1<а 2о)
™ль =
о
Р1о
р2 ь - Р1
о ! ь ЧВ ' рюС1<а 2о)
Р1 = С1Р1
2 ,о
{н)1 = ±- [ Мо(1)Ео(1)НМ, ^,(0 = 4П1 Зр2,, Р2^ 3
3
9 = ~(У 21 - 1)('ю)(У сШ у I -1),
У/
У I =
т/
К 2
I = а, ь.
Здесь и далее нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам жидкой и газовой фаз. Штрихи обозначают возмущения параметров, 0 — начальное невозмущенное состояние. Переменные с индексом а относятся к пузырькам газа радиуса а, с индексом Ь — к пузырькам газа другого сорта радиуса Ь, х — координата, ? — время, р0, р — истинная и средняя плотность смеси, V — скорость, р — давление, п — число пузырьков в единице объема, Т — температура, у — показатель адиабаты, м> — скорость радиального движения пузырьков, а — объемное содержание, v1 — кинематическая вязкость жидкости, ю — частота возмущений, к — коэффициент температуропроводности, С — скорость звука в несущей фазе, Ио(а) и Ио(ь) — функции распределения пузырьков газа по размерам.
В работе [8] значение р =1 как будет показано
ниже, для объемных содержаний дисперсной фазы 0.5—1% лучше использовать значение в =
Исследуем решения этой системы уравнений, имеющие вид прогрессивных волн для возмущений ф' (ф' = р;, р , р 2ь, р1, т;,...»:
Ф' = Лф ехр[/(К*х -шг)], К* = К +/К**,
С _Ш (2 _-; <2>
где К* — комплексное волновое число, К** — линейный коэффициент затухания, Ср — фазовая скорость.
ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
Из условия существования у системы линейных уравнений (1) нетривиального решения вида (2) получено следующее дисперсионное соотношение:
_ _1_ + За2оа;орю (0а)а + За2оа;орю(0Ь)Ь (3) " С^ 3У2аРо - (Оа$а)а 3У2ЬРо - ^ь)Ь
2
К*
V
С, = С. 9
а;о
Нк
_ ; = к2
4к
Sk =
/ш
/ш,
^ =
С; (а кк/5
/ ш к2 Нк р оо
; + нкгк ' к = а, Ь.
Из дисперсионного соотношения (3) выведены низкочастотная и высокочастотная асимптотики линейного коэффициента затухания К**,
справедливые для частот ш и ю ^ —2" соот-
/
5,3
5,3
ветственно, где
¡и =
X/7' >.
;/(/_у)
* 7, / = а,
Здесь /,' — средние радиусы пузырьков, аналогичные таковым в [6]. При получении асимптотик пренебрегалось кинематической вязкостью жидкости V ;.
Низкочастотная асимптотика записывается следующим образом:
Се 2
Се =
К*о)(ю) =
о 2
аЮа2о(У2а - ОрШ^ + аЮа2о(У2Ь - ^Рш^ЗЛ
15 Ро У 2а К
2а
15 Ро У 2Ь К 2Ь
2
Ю ,
; , Роо(2 -У2а)а;оа2о , Роо(2 -У2Ь)аюа2оЛ /
~2 +
V
Ро У 2а РоУ 2Ь
где С — равновесная скорость звука. Видно, что в данной асимптотике характерными являются средние радиусы а53 и Ь53, ранее введенные при анализе акустики газовзвесей [6] и характеризую-
сь м/с
104г
105
/, Гц
Рис. 1. Сопоставление теории с экспериментальными данными для зависимостей относительной скорости звука от частоты возмущений с учетом акустической разгрузки (сплошная линия) и без учета акустической разгрузки (штриховая).
щие межфазный теплообмен. При распространении звуковых волн линейный коэффициент затухания прямо пропорционален квадрату частоты возмущений.
Высокочастотная асимптотика имеет вид
К**)(ю) = С, - С3 (Н; + Н2) Щ,
1 2 1 4ш2
Н _ 3а2раЮНа ^ Н _ 3а2оаЮНЬ ? Н — (С(а^);/3) а4,3 Ь4,3
Ь ^- - (Н; - (Н4 + Н5),
Нь — (С;(аЬо);/3Г;, Н3 -
о 1 и2
Н - 3ГЧ а ГЧ р;о 3роНаУ2а Н 4 — 3а 2оа;о о 2 !
р;оа4,3
о 1 и2
Н - 3гчЬ п, р;о 3роНьУ2Ь Н 5 - 3а2оа;о •
Р;оЬ4,3
СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
Данные, приведенные на рис. 1, 2, позволяют сопоставить теорию с экспериментальными данными [7] для зависимостей относительной скорости звука и линейного коэффициента затухания
от частоты возмущений , = —. Эксперименталь-
2п
ные данные 1 получены при значениях а0 =
= 1.9 -10 3, а2 = 5.8 • ;о 4, теоретическая кривая 2 — а е [1.9 • ;о-3,3 • ;о-3], а2а = 5.8 • ;о-4, а2Ь = о и без учета акустической поправки ^'Ла = о), кривая 3 — при тех же значениях, что и 2, но с учетом
286
Рис. 2. Сопоставление теории с экспериментальными данными для зависимостей линейного коэффициента затухания от частоты возмущений с учетом акустической разгрузки (сплошная линия) и без учета акустической разгрузки (штриховая).
акустической поправки. Функция распределения
пузырьков по размерам #о(а) = а . Видно, что акустическая поправка существенно влияет на поведение кривых, которые, в свою очередь, хорошо согласуются с экспериментальными данными.
В реальных экспериментах достаточно сложно получить монодисперсную пузырьковую среду, когда все пузырьки имеют один и тот же радиус. Высока вероятность наличия фракции очень маленьких пузырьков малого объемного содержания, которая оказывает, как будет показано ниже, существенное влияние на динамику распространения волн.
Рисунок 3а: экспериментальные данные 1 получены при значениях ао = 2.6 • 1о м, а2 = о.о1; кривая 2 — ао = 2.6 • 1о-3 м, а2 = о.о1; 3 — а2а = 10-2,
а е [2.6 • 1о-3,5.6 • 1о-3], а2ь = 2 • 1о-4, Ь е [6.5 • 10-4, 8.5 • 10-4], 4 — при тех же значениях, что и 3, но с модифицированной поправкой, которая будет приведена ниже.
Рисунок 3б: экспериментальные данные 1 получены при значениях ао = 2.1 • 1о м, а2 = 0.0053, кривая 2 — ао = 2.1 • 1о-3 м, а2 = о.оо53, 3 — а2а = о.оо53, а е [2.1 • 1о-3,4.1 • 1о-3], а2ь = 1о-4,
ь е [6.5 • 1о-4,8.5 • 1о-4]; 4 — при тех же значениях, что и 3, но с модифицированной поправкой.
и др.
/, Гц
Рис. 3. Сопоставление теории с экспериментальными данными для зависимостей линейного коэффициента затухания от частоты возмущений.
Функции распределения пузырьков по размерам:
Nо(a) = а2 ехрЬад, Ка = —,
а5,3
Nо(ь) = ь 2ехр(-К,ь), Кь =-3.
ь5,3
Показано, что двухфракционность полидисперсной пузырьковой жидкости приводит к появлению двух максимумов линейного коэффициента затухания, что и наблюдается в эксперименте (рис. 3а, 3б, кривые 3, 4). Экспериментальные данные показывают, что уточнение формулы для акустических поправок w\а и wЛь из системы (1) путем замены степеней объемных содержаний
пузырьков а ао и а 2о вместо в = 1 на в = 1 приводит
3 6
к улучшению теоретических и опытных значений
коэффициента затухания (рис. 3, кривые 4). Слагаемые w 'Ла и м 'ЛЬ определяются из решения задачи об акустической разгрузке сферического пузырька в несущей жидкости [8].
В заключение следует отметить возможность развития метода акустической диагностики пузырьковых сред с использованием развитой теории в условиях неполных экспериментальных данных.
Работа выполнена при финансовом содействии Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (НШ-834.2012.1) по программе Президиума РАН № 23П при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (№ 14.В37.21.0644).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. Ч. 1. 464 с.; Ч. 2. 359 с.
2. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатомиздат, 1990. 248 с.
3. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А. // ТВТ. 2010. Т. 48. №2. С. 188-192.
4. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А., Гафиятов Р.Н. // ТВТ. 2012. Т. 50. № 2. С. 269-273.
5. CommanderK.W., ProsperettiA. // J. Acoust. Soc. Amer. 1989. V. 85. № 2. P. 732.
6. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазо-капельных сред. Казань: Изд-во Казан. мат. о-ва, 1998. 153 с.
7. Silberman E. // J. Acoust. Soc. Amer. 1957. V. 29. № 6. P. 925-931.
8. Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К. // ДАН. 1989. Т. 304. № 5. С. 1077-1081.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.