научная статья по теме ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТЯХ С ПОЛИДИСПЕРСНЫМИ ПАРОГАЗОВЫМИ И ГАЗОВЫМИ ПУЗЫРЬКАМИ Физика

Текст научной статьи на тему «ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТЯХ С ПОЛИДИСПЕРСНЫМИ ПАРОГАЗОВЫМИ И ГАЗОВЫМИ ПУЗЫРЬКАМИ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2015

УДК 532.529:534.2

ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТЯХ С ПОЛИДИСПЕРСНЫМИ ПАРОГАЗОВЫМИ И ГАЗОВЫМИ ПУЗЫРЬКАМИ

© 2015 г. Д. А. ГУБАЙДУЛЛИН, Ю. В. ФЕДОРОВ

Казанский научный центр РАН, Институт механики и машиностроения, Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань e-mail:gubajdullin@mail.knc.ru, kopperfildd@ya.ru

Поступила в редакцию 13.05.2014 г.

Представлена математическая модель, определяющая распространение звуковых волн в двухфракционной смеси жидкости с полидисперсными парогазовыми и газовыми пузырьками с учетом фазовых превращений. Записана система интегро-дифференциальных уравнений возмущенного движения двухфазной смеси, получено дисперсионное соотношение, найдена равновесная скорость звука. Показано, что с увеличением концентрации пара равновесная скорость звука уменьшается. Представлено сравнение теории с существующими экспериментальными данными для фазовой скорости в воде с пузырьками пара и в смеси фреона с пузырьками пара.

Ключевые слова: звуковые волны, пузырьковая жидкость, дисперсионное соотношение, мас-сообмен.

Известно, что присутствие пузырьков пара или газа в жидкости существенно меняет ее акустические свойства. Имеется значительное количество работ, посвященных теоретическому исследованию распространения гармонических возмущений в таких смесях. Различные проблемы акустики смесей жидкостей с пузырьками газа или пара рассмотрены в известных монографиях [1, 2]. Описанию основных особенностей двухфазных сред пузырьковой структуры посвящена работа [3]. Здесь приведен обзор результатов исследований распространения волн в жидкостях с пузырьками постоянной массы и работ по волновой динамике жидкостей, содержащих пузырьки пара или растворимого газа. В [4] для смеси жидкости с газовыми пузырьками получена дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз в случае плоских волн, показана необходимость учета сжимаемости несущей фазы для задач акустики пузырьковых жидкостей.

Задача о распространении малых возмущений в жидкости с полидисперсными пузырьками газа в той или иной постановке исследована в [5—9], а с монодисперсными пузырьками пара — в [10—13].

Результаты экспериментальных измерений скорости звука в смеси воды с пузырьками пара приведены в [14] и в смеси фреона с пузырьками пара — в [15]. Сравнение эксперимента и теории проведено в [12, 13].

В работе [16] рассмотрены парогазовые пузырьки, совершающие малые радиальные колебания в жидкости под действием акустического поля. Показано, что капиллярные эффекты и фазовые переходы в совокупности приводят к новой резонансной частоте мелких паровых пузырьков, отличной от резонансной частоты Миннаэрта. В [17] получено дисперсионное соотношение, определяющее распространение гармонических возмущений в двухфазных смесях жидкости с пузырьками пара и газа для

сферических и цилиндрических волн. Показано сильное влияние концентрации пара в пузырьках на затухание импульса давления. В [18, 19] исследовано распространение акустических волн в двухфракционных смесях жидкости с монодисперсными парогазовыми и газовыми пузырьками различных размеров и разного состава с фазовыми превращениями.

В настоящей работе приводится обобщение модели [18] на случай полидисперсных фракций дисперсной фазы.

1. Основные уравнения. В системе координат, связанной с невозмущенной средой, линеаризованные уравнения сохранения массы, количества пузырей, импульса, энергии и пульсационного движения имеют вид [18], обобщенный на случай полидисперсных фракций дисперсной фазы с использованием описанной ранее процедуры [20]

dpi +р dU = Р20 /byz - ку\

дt 10 dx 1 -kyo\ тт Ia

dpy + dui = P20 /kh—ky\

dt dx 1 - kyo\ т m f a

dp2a dui = Pao /kyz - ky\ dp2b +P^ doi = 0

dt dx 1 - kyo\ т m ' dt dx

M + naQ M = 0, M + „b dUl = 0

d t dx dt dx

P10 W + M = 0 д t dx

VR = mJr^H) + mj, ma = mb = ^ (1.1)

dt \ TT1a / \ TT1b L P10 P10

ЛГТ71 a >~\ t Ь >~\ • mi mi

dRa = a20 dP2a + a - T>a dTb = a20 dP2b + b - T>b dt Pa0c2a dt TT2a dt pW dt TT2b

/Tj a - Tl\ + / Tj a - T2a\ = - l0 / kys - ky\ \ TT1a f \ TT2a f 1 - kV0 \ Tm j

\ TT1b lb \ TT2b lb da = + mka 1 /kh-k^

dt a 3 1 - ky0\ T m /a' w» = + WRa , wb = WAb + WR b

WA» = P2a -aP11/3, wAb = P2b -bP11/3

p°A(a20)' P°0C1(a20)'

drb ¥ = Wb

Г dWSi + 4Vl w _ P2a - Pi r dWRb + 4vi , _ a - Pi ra~--+-wR a _-, rb—--+-wR b _-

dt ra Po dt rb P°

g PlO b PlO

В качестве уравнений состояния будут использоваться следующие линеаризованные соотношения [21]

Pl = Ci2p1°, ^ = + ARakV + T2a, = Pl + T2b (1.2)

p0 p2a T0 p0 p°b T0

'0

Условие насыщенности пара на поверхности раздела фаз примем в виде [21]

Тм = Ekfc + Gp2a (1.3)

То Po

Введен следующий линейный оператор осреднения hj = -j J N0(rj)go(rj)hdrj, р2о = J N0(rj)go(rj)drj

P20 &rj &rj

/ \ 4 3 о 4 r min maxn / • go(rj) = 3P2j, Ar, = [rj , rj ], (j = а b)

Параметры межфазного взаимодействия в соответствии с работой [21] записываются следующим образом

_ _ 2cp1P2jrj _ _ 2c2jp2jrj2 , . _ b _ _ ^

Xnj _ ™ 1 ' XT2j _ ™-Ö-' ^J _ а'Ь'' Tm _ MI, n

3Nu1A1 3Nu2jA2j 3Sh1.D1

Rvо - Д?о e _ rvoRßo G _ ^ Rvо R2a Л2я R2a

-2а - куо^го + кв0Кв0 > - Р^> кв0 - > + кв0 - 1

р20 р20

_ Р10 а Ь ,

а10 - _~ , а10 + а 20 + а 20 - 1 Р10

с2а = + кв0срва , ^2а = + кв0^ва, С2Ь = СрвЬ

ООО а о

р2а - кУ0рУ0 + кв0рв0> р2а - а20р2а

Здесь и далее нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам жидкой и дисперсной фазы, V и в — относятся к паровому и газовому компонентам дисперсной фазы, £ — к поверхности раздела фаз. Штрихи обозначают возмущения параметров, 0 — начальное невозмущенное состояние. Переменные с индексом а относятся к парогазовым пузырькам радиуса га, с индексом Ь — к пузырькам газа радиуса гЬ, х — координата, I — время, р°, р — истинная и средняя плотность смеси, и1 — скорость, р — давление, п — число пузырьков в единице объема, ™ — скорость радиального движения пузырьков, а — объемное содержание, А — коэффициент теплопроводности, с — удельная теплоемкость, Ми — число Нуссельта, к — массовая концентрация компоненты дисперсной фазы, -V и -в — паровая и газовая постоянные, — безразмерный коэффициент массообмена или число Шервуда, 10 — удельная теплота парообразования, D1 — коэф-

фициент диффузии, №(га) и N (гь) — функции распределения пузырьков разных газов по размерам.

2. Дисперсионное соотношение. Исследуем решения ф' = {и', р1, р\, 'а •••} системы уравнений (1.1—1.3), имеющие вид прогрессивных волн

Ф' = А„ ехр['(К*х - ю?)]

(2.1)

Здесь К * = К + IК **, Ср = ю/К, ' = -1, где К *

комплексное волновое число,

К ** — линейный коэффициент затухания, Cp — фазовая скорость.

Подставляя решение в виде (2.1) в систему уравнений (1.1—1.3) и после некоторых математических действий, проводимых аналогично в работе [8], можно свести к промежуточной системе уравнений

С г, а о ь о Л о а о ь о

К - 3а20р10 - 3а20р10 I А + 3а20р10 А + 3а20р10 д _ о

г^ С I р1 С р2а С р2Ь

Яа Ль ) Яа Ль

К = ■

а10

С1 )

ю

Ъ =

Н] рю

1 + V;

, 4vl ,

к1 =~Т - 0 =

С1(а220)1/3

-АкУ =

_ I АкУ1 - АкУ

т т

Атул - А-

-АТ1 = ШаГ™а -ЛП) + ТУЬ —'Т1

1&%Т1а

АтуЬ — Ат

ттпь

АТ 2а =

а 20 а АТЪ а - АТ2а

- Ар2а

р20с2а

'®ТТ 2а

ь

А _ а 20 А

АТ 2Ь = ь Ар2Ь

р20с2Ь

А АТЫ - АТ 2ь АР2ь

I+ с2а \ '®тТ1а /а

i атеЬ - АТ1

ср1

гютпь

+ С2ь

1 ^ а Р0; Ар2а 3 ^а

V Яь Р0; Ар2ь 3 Яь

;ютт 2ь

АТХ а - АТ2а

АТ£ ь - АТ2ь

'ЮХт2ь I ь (

к I АкУ1 - АкУ

к60 \ Ш

= 0

V

Ар1

Т 2а

АТ2ь

' Т0

АЯа + I АкУ = 0

АТЪ а _ Т7Л ,ГА

-0 Р0

р2а

а

Поскольку параметры жидкой фазы не зависят от радиуса пузырьков, справедливы следующие тождества

(АЛ)] - А<ь V1 = и1> Р\, Р1

Следовательно, чтобы вынести неизвестные амплитуды Лр2., Л.... из-под знака оператора осреднения (...)., нужно выразить их через амплитуды параметров жидкой фазы Лц 1 = иь Рl, Р1).

Таким образом, исключая неизвестные амплитуды и из условия существования у линейной системы уравнений нетривиального решения вида (2.1), получено следующее дисперсионное соотношение

2 = X + 3аа р 6а(Н8д + Нзи + Н) -П„ (1 - Н+ 2Ь) + С2 2 1 + ^ + 2Ъ

+ 3аЪ р ШН8Ъ + Н3Ъ + Н9а) - ~ (1 - Н4Ъ + ) (2 2)

2 1 + ^а + гъ

Н7уН2у Н2.

Н9] = НЦ + НЪ] + Н7], =—--Н4у, б/ = —

НИ + Н6. ТТ / Ца\ , з /

П. =~ ^ ^, Н1а = ЗТ^а^-—3-

Ни = 3Т0 (^М , Н2а = СрХУ1а , Н2Ъ = Ср1 ('Д \^Ъ'2Н Ъ

У = {12а)а у = К (11а)а (^1а)а

1

Нза = 3ШпТо\ ( ^ -^М У,а ^^

г2а/ а \^аг2а/а \^аг2а/а) /ЮТт1 .

Нзъ = -ЗтъТ

Н4а ^ ^ (1 - ^^

Н4Ъ = тъ {Нъ)ъ, Н5а = УъМьБ^

ЕТ0 \ '2а

Н5Ъ = (М^ъ)ъ, Н6а = У1аМ4а)а "

ЕТ0\ '2а

^2а/ а

Н6Ъ = (М4ъ}ъ, Н7а = №з£а)а - таУ1а ^

Н7Ъ = (М^ъ, Н8а = -(М^ + таУ2а (М*,)

а

а

3Т0 Т0

н8ь = - <ь, Ма = — - 70 - <2а I 1 - ^ I + 6-0 <2а

1 1 . 6—0

Яа р0 Ра0С2а ^ <2а) р0 ь

М2а = 6Т0?3а + ^ <2а , М1Ъ = 3—0 - 70

р0

Р20

Яь р0 Р20С2ь

- Г,

Ъ г

Л/Г а 20 * т '0 Ъ 3а

М 2ь =~^Пь, Ьа =--+ Ла-

Р20 к60 < 2а

Мик

,, 670 „

МЪа = Ша-0 ?1а - Ш,

р0 <2а

М4а = М,а -

?3аМ-1а <2а

;ют„

М3ь = -Шь

М1ь?1ь ?2ь '

М4ь = М2ь -

ЬьМи ?2ь

L2a = 1 -

Ла < ш

ЕТ0 <2а

<21 =

1

1 - '

1(ЙХт 2}

<3у - ср1<1 у - с2/2у, -

Д-а + 1-Ша I —0

кв0

Выделим отдельно случай кУ0 = 1, к60 = 0, когда в жидкости имеются не парогазовые, а чисто паровые пузырьки. В этом случае, в дисперсионном соотношении (2.2) изменятся следующие величины

А- = 1, Уа =

V л Ша - 1

(<Ш/<2а1а

У2а =■

Е {¡0 + Т)(1 - Ша )<3а/<2а> а

(1 - Ш°)Т0

6 = 1

(¡0 + —0(1 - Шд )?3а/<2а>а

Поскольку величина E в выражениях сокращается, можно принять Е = 1. Выражение для равновесной скорости звука Се в двухфракционной смеси жидкости с полидисперсными парогазовыми и газовыми пузырьками получено из дисперсионного соотношения (2.2) при предельном переходе ю ^ 0, и имеет следующий вид

Се =

( \-1/2 + Р10 + ^2

С/ р0

^4

(2.3)

= к60Ш1(Е—0(а 20 + а 20) + 6Ла а20)

^2 = Ша'0(1 - 6)(а20 + а20)/ср1

^3 =

к6 0 р0 ср1

^ + Е(а а0 +а ь0)

70

+ Щь_

о о

^р2а р2ь

ш1 = 1 + "Ша + ^^, = ^к + ш1ЕТ0к60

<-р1

Ср1

В случае, когда паровая составляющая отсутствует, т.е. кУ0 ^ 0, 10 ^ 0, равновесная скорость звука (2.3) совпадает с полученным ранее в [8] выражением Ce.

Фиг. 1. Зависимости фазовой скорос

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»