РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 59, № 11, с. 1102-1110
АНТЕННО-ФИДЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
УДК 621.396.67
АБЕРРАЦИИ ЭЙКОНАЛА В ПЛАНАРНЫХ ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ АНТЕННАХ
© 2014 г. А. С. Венецкий, В. А. Калошин
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 125009 Москва, ул. Моховая 11, стр. 7 E-mail: AVenetsky@yandex.ru Поступила в редакцию 17.02.2014 г.
Приведен вывод формулы, описывающей распределение эйконала на главном зеркале в двухмерной двухзеркальной системе при произвольном направлении смещения источника из фокуса, при этом второй фокус системы находится на бесконечности; формула учитывает четыре члена разложения эйконала по степеням величины смещения источника. Проведен анализ точности данной формулы путем сравнения результатов расчета эйконала в двухмерной системе Шварцшильда при ее использовании и результатов точного геометрооптического расчета. Получены формулы фокальной кривой, угла наклона фазового фронта и аберраций в произвольной двухзеркальной телескопической системе. С использованием полученной формулы проведен анализ и минимизация аберраций в двухмерной системе Шварцшильда.
DOI: 10.7868/S003384941410009X
ВВЕДЕНИЕ
Двумерные двухзеркальные системы (ДДЗС) являются моделью планарных двухзеркальных антенн (ПДЗА), которые применяются в качестве многолучевых антенн с веерной диаграммой направленности, облучающих систем многозеркальных антенн, а также диаграммообразующих систем антенных решеток. Для построения таких систем могут использоваться различные конструкции: симметричная двухэтажная с двумя 90-градусными изломами [1], одноэтажная офсетная [2], симметричная трехэтажная с двумя 180-градусным разворотами [3]. Отметим, что только две последние конструкции являются, по существу, планарными и могут быть выполнены с использованием соответствующих технологий.
Симметричные двухзеркальные системы обеспечивают, как известно, больший угол обзора по сравнению с офсетными [4]. Формирование многолучевой диаграммы в ПДЗА реализуется с использованием решетки облучателей. Использование многоэтажной конструкции в симметричных ПДЗА позволяет избежать взаимного затенения зеркал, а также их затенения решеткой облучателей. Отклонение лучей от оси в ПДЗА обеспечивается за счет выноса облучателей из фокуса системы, что приводит к возникновению аберраций эйконала в апертуре главного зеркала, фазовым искажениям и падению коэффициента использования поверхности (КИП) апертуры.
В случае небольших смещений источника из фокуса системы для вычисления распределения эйконала в апертуре главного зеркала можно воспользоваться известной формулой для трех первых членов разложения эйконала в апертуре осе-симметричной двухзеркальной системы по степеням величины этого смещения [5]. Однако при увеличении величины смещения и, соответственно, угла зрения системы, точность этой формулы падает и оказывается недостаточной для анализа и минимизации аберраций в широкоугольных системах. В работе [3] для этих целей была использована численная методика трассировки лучей.
В данной работе приведен вывод формулы для четырех членов разложения эйконала на поверхности главного зеркала ДДЗС с произвольными образующими по степеням величин поперечного и продольного смещения источника из фокуса системы. Показано, что формула позволяет вычислять и минимизировать аберрации эйконала при достаточно больших (до 100 град) углах зрения системы.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим ДДЗС с вынесенным из фокуса источником, вид которой в плоскости (Х2) показан на рис. 1а, 1б.
При расположении источника в фокусе О системы в апертуре главного зеркала формируется синфазный фронт. Предположим, что только
(а)
(б)
Рис. 1. Двухзеркальная система двух типов: 1-го, зафокальная (а) и 2-го, предфокальная (б).
один луч, выходящий из источника под углом а попадает в заданную точку В апертуры, т.е. обеспечивается взаимно-однозначное соответствие между каждой точкой апертуры В и углом а выхода луча из источника О, которое описывается функциями отображения
R = \XB\ = R(a), а = a(R). (1)
Пусть точка О1 с координатами (—Sx, — SZ) — положение смещенного источника. Предположим, что при смещении источника в точку О1 взаимнооднозначное соответствие точек апертуры и множества выходящих из О1 лучей сохраняется. При этом всегда существует луч, соединяющий точку Ох и точку В. Оптический путь (эйконал) вдоль этого луча равен сумме длин двух отрезков
Ф(В01) = \ВЩ + \т\. (2)
Будем искать разложение функции Ф в ряд по степеням Sx и SZ.
2. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЙКОНАЛА ПО СТЕПЕНЯМ ВЕЛИЧИНЫ СМЕЩЕНИЯ ИСТОЧНИКА
Пусть в системе координат XZ с центром в фокусе О точка В имеет координаты (ХВ, ZB). Тогда другие точки будут иметь координаты: В(ХВ, ZB),
Р(хр, zp), Рх(хР + Дх, гР + Дг), 0Х(-ЪХ, 0(0, 0). При этом 1В = Р(ХВ), гР=/(хР), где Z= Р(Х) и г = =/(х) — уравнения образующих большого и малого зеркал соответственно.
Выражение для эйконала (2) представим в виде
Ф(ВОу) = ^(хР + Ах - Хв)2 + (гР + Аг -Т,)2 +
+ л! (хР + Ах + 8 х )2 + (гр + Аг + 8 х)1.
С точностью до членов четвертого порядка малости по Дх, можно записать
Дг = /Р Дх + /р- Дх2 + /р- Дх3. (4)
2 6
Здесь и далее /Р = /'(хР), /Р = /"(хР), /Р" = /"'(хР) (дифференцирование по х).
Величины Дх, Дг, входящие в (3), являются неизвестными. Заменяя в выражении (3) Дг отрезком ряда (4), разложим выражение для эйконала (3) в ряд по Дх, ограничиваясь членами третьего порядка малости. Каждое из двух слагаемых в формуле (2) можно представить в виде
\ВРХ\ = й + £Х1Дх + ^Х2Дх2 + £Х3Дх3, 1Щ = Л + ОлДх + ОпДх2 + 0х зДх3.
1104 Здесь
SX1 = ux + Uzf Р, SX 2 = 2
Qxi =p (X P + f pf p) + 5 X
1 . 2
~(uz - Uxfp) + uj_p d
P - (Xp + f f ) ^
p \ ! P2 J
+
+ 5 5
&+(xp+f Pf p) cos2a
+
+ C125X + D125Z + E5 x5 z ,
Qx 2 = Z-2P
1 + f P2 + f Pf P - i2(Xp + f pf p f P
+ C21S X + D21§ z ,
A = p2 + 2xp 5 x + 2fp 5 z + §X + §Z, л/A = p + sin a5X - cos a5Z +
+ — (§X cos2 a + 5 Z sin2 a + 5 X 5 Z sin 2a) + 2P
+—Ц- (- 5X cos2 a sin a + 5X5Z cos a(1 - 3 sin2 a) -2p2
2 2 3 2 \
-5 X 5 Z sin a(1 - 3cos a) + 5 Z sin a cos a),
где C12 =--2 cos a-(sin ю cos a + 2 sin a cos ю),
2p cos(ю - a)
D12 =--^-x
2p cos(w - a) x (2cos a sin (со - a) + (1 - 3cos2 a) sin w),
C21 = — sin a cos a-
cos ю
2p2 cos2(ю - a)
2p
x (sin a cos ю + 2cos a sin ю),
f" 2 D21 - — sin a +
2p
cosЮ / i • • \
+--^-^-(cos a cos ю - 2sin a sin ю),
2p2 cos2(ю - a)
E = ■
1
p cos(® - a)
3 .
где верхний знак соответствует системе 1-го типа, нижний — системе 2-го типа.
Суммируя полученные для слагаемых эйконала в (2) выражения и приводя подобные члены, можно записать
Ф(Б0х) = л/2 + й + С1Дх + С2Дх2 + С3Дх3, (5)
где
C1 - SX1 + QX1 -
= C118 X + DnS Z + C128X + D128Z + E8 X 8 Z,
C2 = SX 2 + QX 2 = C20 + C218 X + D21^ Z,
C3 = SX3 + QX3 = -^cos юcos(® - a)fp"
fp' cos Ю 2pdcos(® - a)
(d sin a - p sin2P) -
2
sin юcos ю
2cos (ю-a)
1
J___1
,2 2 d P J
sin a
C20 - '
C11 - _ ( xp + f pf P I 2
P V ' p2
D11 = £+(Xp + f pf p) ^,
2
cos Ю
2cos2(®-a)^ d p
— + - I - cos юcos(® - a)f f .
x (cos a cos(® - a) + sin a sin(® - a) - -sin юsin 2a),
p = \OP\ , d = , ю — угол между лучом, падающим на субрефлектор в точке Р, и нормалью в этой точке, в — угол между лучом, падающим на главное зеркало в точке В, и нормалью в этой точке. Для углов ю и в справедливы соотношения
+ ,1 dp 1 . (|Д(а)| + р sin aVa
tg ю = ±—-, ю = - arcsin I1-!—--l± —,
p d а 2 v d J 2
2p = 2ю + а,
Используя принцип Ферма, неизвестную величину Лх можно найти из уравнения, выражающего условие экстремума эйконала на истинной траектории
дФ/дДх = 0, (6)
которое будет иметь вид
С! + 2С2Дх + 3С3Дх2 = 0. (7)
Следуя методике, изложенной в [5], представим Лх в следующем виде:
Дх = ^8 х + ^8 г + ^Зх + + в8 х 8 г, (8)
подставим его в (5), приведем подобные члены и приравняем нулю члены первого и второго порядка малости по 8Х, Ьг. В результате получаем систему уравнений для определения коэффициентов а1, Ь1, а2, Ь2, е:
Сп + 2С20^1 = 0, Бп + Х^А = 0, С12 + 2С20^2 + 2С21Ъ1 + 3СзЙ12 = 0, А2 + 2С1,Ъ1 + 2ВпЪх + 3СзЪ2 = 0, Е + 2С20в + 2С21Ъ1 + 2Б21а1 + 6С3а1Ъ1 = 0.
Р
Р
Решая систему относительно а1, Ь1, а2, Ь2, е, по- выражается через производную функции отобра-
лучаем
a, = -
b = -
C11 _ d cos a cos(ro - a)
2C20 R'(a) cos ю D11 _ d sin a cos(ro - a)
2C
20
R'(a) cos ю
a2 =--— (C12 + 2C21b + 3C3a2),
2C
20
bi = — (D12 + 2D2ibi + 3C3ai2),
2C
20
e = —
-(E + 2C21b1 + 2D21a1 + 6C3a1b1).
Ф(В01) = p + d + 5 X sin a cos ф-5 Z cos a +
;2 2 с с с 2
+ 5x_cos a +
2 L1 2L[ 2L1
+ W153X cos ф + W25 X 5 Z + W35 X52Z cos ф + W45Z,
5X cos2 a 5X5Z . 0 5Z -2 /m
X-sin2acosф + ^-sin a+ (9)
где ± = 1
Xb< 0,
L1 P
R'(a)
жения:
= X(((a)-p-d), 2Ki = RM^P,
cos ю pd cos p R(a)d
откуда с учетом формулы для кривизны
K p =
71/J
можно получить
/р = -
cos ю
= /'Р' cos (ю - а)
-(R(a) -р- d). (10)
2С20
Подставляя выражение для Дх с найденными коэффициентами в выражение для эйконала (5) и используя формулу для эйконала из работы [5], учитывающую члены второй степени малости по Ъх, Ъ2, можно получить следующее выражение для эйконала с точностью до третьей степени малости по Ъх, 8Z включительно:
2pd cos (ю - a)
Продифференцируем обе части соотношения (10) по параметру а. Для левой части, используя соотношение р' = р tg ю, можно записать
d/p _ d/p dx _ /... d(p sin a) _ /... cos(co - a) da dx da da cos ю
При дифференцировании правой части (10) используем соотношения
в = - arctg
(dZ) (dX',
откуда
, ф = 0 при XB > 0, ф = п при
dp = _ Z'X dX = _K^RXa) = R _P,
da 1 + (Z'x)2 da cos p 2d
ш' = d (p + a) = -L(R-p + d),
da\ 2) 2d
d = -p' - dZB = -p tg ю + R' tg p. da
2 12 W1 = a1(C12 + a1C21 + a1 C3)--т cos a sin a,
2p2
W2 = a1(E + a1D21 + 2b1C21) + b1C12 + 3a12b1C3 +
+—^cos a(1 - 3sin2 a), 2p2
W3 = b1(E + b1C21 + 2a1D21) + a1D12 + 3a1b12C3 -
—^-sin a(1 - 3cos2 a), 2p2
W4 = b1(D12 + b1D21 + b12C3) + -^-sin2 a cos a.
2p2
Приведенные для W1-4 выражения не содержат коэффициенты a2, b2, e, т.е. члены разложения эйконала третьей степени малости по SX, Sz зависят только от a1,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.