МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
АГЕНТ-ОРИЕНТИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ ЗАМКНУТОГО ОДНОТОВАРНОГО РЫНКА*
© 2014 г. М.М. Вороновицкий
(Москва)
В работе сформулирована агент-ориентированная модель замкнутого рынка, т.е. рынка, на котором в каждый момент времени имеется одно и то же количество товара и одно и то же количество денег. Участники этого рынка в каждый момент времени могут быть продавцами или покупателями товара или не участвовать в торговле. Однако в следующий момент покупатель может превратиться в продавца или перестать участвовать в торговле (аналогичная ситуация возможна как для продавца, так и для того, кто в данный момент не вовлечен в торговлю). Используя только собственную информацию о результатах торговли в предыдущий момент времени, участники торговли меняют свой статус и назначают новые цены. Математическая модель такого рынка была реализована в виде компьютерной программы, с помощью которой исследованы основные свойства рассматриваемой модели замкнутого рынка.
Ключевые слова: математическая модель, замкнутый рынок, однотоварный рынок, динамика цен, траектория.
Классификация JEL: C51, D01.
1. ВВЕДЕНИЕ
Торговля активами на бирже является примером рынка, каждый участник которого в разные моменты времени может быть или покупателем, или продавцом, или не участвовать в торговле. Цены на активы на этом рынке зависят от спроса и предложения на них. Процесс купли-продажи регламентируется некоторыми правилами и нормами, а решения, принимаемые участниками, определяют несколько логически связанных обменов, направленных на извлечение прибыли за счет разницы в ценах на активы на этом рынке в разные моменты времени. Огромное значение рынков активов в функционировании экономической системы является причиной большого интереса к ним со стороны науки.
Первой из немногих работ, в которых поведение автономных участников рынка активов моделируется развивающимся во времени случайным процессом, была статья Ричарда Тополя (Topol, 1991). Автор формально представляет финансовый рынок как торговлю единственным активом, поэтому в модели рассматриваются не полностью не зависимые друг от друга торговцы или представительные агенты, а индивидуальные инвесторы (продавцы или покупатели), внедренные в рынок, где может существовать коллективное мнение.
Математический вопрос состоит в том, чтобы описать наблюдаемые биржевые цены посредством ненаблюдаемого микроэкономического процесса, отражающего динамику индивидуального поведения, т.е. процесса установления предлагаемых и запрашиваемых цен, которые являются переменными модели. Предполагается, что каждый участник рынка в разные моменты времени может быть или продавцом, или покупателем. Согласно предположению Р. Тополя, в сознании каждого участника есть цена, ниже которой он не согласен продать имеющиеся у него активы, и есть цена, выше которой он не согласен заплатить за единицу актива при покупке. Кроме того, он знает цену, определенную на основе своего информационного множества, и "агент-эффективную цену", обусловленную фундаментальной ценностью (fundamental value). Эти цены
* Работа выполнена в Институте проблем рынка РАН при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-06-00500).
различны для разных агентов, а для одного агента они отличаются и в разные моменты времени, и являются переменными динамической модели. Набор их значений в последовательные моменты времени - траектория модели. Рыночные цены получаются при предположении, что в данный момент времени встречаются два агента, торгуются и, если они одновременно согласны на какую-то цену, между ними происходит обмен. Формальные правила корректировки своих цен агентом при использовании цен, предлагаемых другими агентами, и результаты сделок составляют правила перехода от состояния в данный момент времени к состоянию в следующий момент времени. Вследствие неопределенности выбора участников и благодаря случайному характеру их встреч и торговли между ними поведение участников биржевых торгов моделируется случайным процессом. Вместо начального состояния модели присутствует начальное распределение вероятностей каждого из возможных состояний. По этой же причине в качестве траектории системы мы имеем в каждый момент времени распределение вероятностей на множестве возможных состояний системы. Чтобы исследовать эту модель, Р. Тополь использует довольно непростой математический аппарат: теорию случайных процессов (Пуассоновских) и уравнения Фокер-Планка. Анализ модели показывает, что некоторое распределение вероятностей, при котором стадное поведение (подражание, увлечение) оказывается наиболее вероятным и стационарным для случайного процесса, представляющего динамику этой модели.
Существенно в работе Р. Тополя то, что он исследовал повышенную изменчивость цен на достаточно коротких промежутках времени, когда внешние условия почти не меняются (это выражается в малых изменениях фундаментальной цены), но при этом наблюдается значительное изменение цен на бирже, что он объясняет влиянием коллективного поведения участников, точнее - их стадным поведением (когда участники при выборе решения руководствуются не собственной информацией, а выбором, который сделали другие), "увлечением" или "заражением". Главная цель работы Р. Тополя состояла в том, чтобы показать возможность стадного поведения на бирже, т.е. поведения, когда выбор участников определяется не собственной информацией, а известной каждому участнику информацией о поведении других участников.
Работы (Bikhandany, Hirsheifer, Welch, 1992; Banerjee, 1992) были посвящены объяснению, согласно теории информационных каскадов, стадного поведения при последовательном принятии решения участниками, расположенными в линейном порядке (BHW-модель). Эта теория оказала большое влияние на исследование поведения участников финансового рынка. В то время как в работе Р. Тополя рассматривалось взаимодействие участника рынка с несколькими другими участниками, с которыми он сталкивается в процессе торговли, теория информационных каскадов предполагает его взаимодействие с участником, принявшим решение до него, и влияние его выбора только на участника, принимающего решение после него. Поэтому в определенном смысле непосредственное приложение теории информационных каскадов к объяснению стадного поведения на финансовых рынках может показаться шагом назад. Попытки применить эту модель к изучению финансового рынка проводились, например, в работе (Avery, Zemsky, 1998), в которой сформулированная и исследованная модель поведения участников финансового рынка сохраняет основные черты BHW-модели при добавлении к ней ценового механизма. В этой модели участники рынка взаимодействуют поочередно с так называемым рыночным оператором, регулирующим цены. Главное предположение авторов относительно участников рынка состоит в том, что выбор участников является рациональным, поэтому характер поведения рынка в целом определяется степенью полноты и определенности информации, поступающей к его участникам (в BHW-модели это сигнал, получаемый участником). В моделях биржи М. Киприани и А. Гуарино (Cipriani, Guarino, 2001; Cipriani, Guarino, 2006) также используются разновидности модели последовательного принятия решения.
Кроме того, в последние годы широко распространяются попытки применять для анализа и объяснения стадного поведения на фондовом рынке методы теоретической физики (см., например, (Cai, Zhou, Yang et al., 2006; Kim K., Yoon, Kim K.Y., 2004), в которых предприняты попытки объяснить некоторые свойства динамики биржевых цен).
Современное развитие вычислительной техники позволяет рассматривать как наиболее перспективный подход к формулировке и исследованию математических моделей коллективного поведения агент-ориентированные модели (АОМ). Такой подход описан в работах В.Л. Макарова, А.Р. Бахтизина и А. Кирмана (Макаров, 2012, Бахтизин, 2008; Kirman, 2011).
Этот метод моделирования динамики системы основывается на формальном описании алгоритма выбора решения отдельным агентом. АОМ - компьютерное моделирование системы как коллектива автономных взаимодействующих существ. Идея состоит в определении природы участвующих агентов (т.е. правил поведения и взаимодействия), а затем - в реализации компьютерной модели динамики всей системы и проведении необходимых экспериментов с моделью. Компьютерное моделирование обучения показывает, как индивид, применяя простые правила принятия решения, выбирает из них те, которые работают лучше всего. Используя этот подход, экспериментатор видит то, каким будет результат взаимодействий между агентами.
Вероятно, первая значительная агент-ориентированная модель биржи была представлена и исследована в работе Б. ЛеБарона, Б. Артура и Р. Палмера (LeBaron et al., 1999). Это так называемая модель искусственной биржи Санта Фе (Santa Fe Artificial Stock Market).
Компьютерная модель демонстрировала динамику рынка, включая его эволюцию, основанную на процессе обучения участников. Рассматривался рынок с фиксированным числом участников и двумя активами: 1) рискованным, для которого дивиденд определяется некоторым случайным процессом; 2) свободным от риска с постоянной нормой роста актива. Участник рынка в каждый момент принимает решение о продаже или покупке каждого актива, исходя из желания повысить свою полезность, которая характеризуется отвращением к риску. Рыночный оператор назначает цену, уравнивая спрос и предложение. При принятии решения каждый участник учитывает имеющееся у него количество активов и свой прогноз цен, которые будут на рынке в следующий момент. Прогноз участника возникает как результат применения некоторого набора правил в соответствии с имеющейся у каждого участника информацией о прошлом и прогноза на следующий момент. В результате сравнения прогноза с реализовавшимся в следующий момент состоянием этот набор правил корректируется, т.е. происходит как бы обучение участников рынка. Авторы (LeBaron et al., 1999) исследовали свойства реализованной компьютерной модели, в частности установление равновесия на рынке при различных началь
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.