ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2015, том 51, № 3, с. 64-80
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
АГЕНТ-ОРИЕНТИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ ЗАМКНУТОГО ОДНОТОВАРНОГО РЫНКА ПРИ РАЦИОНАЛЬНОМ ПРЕДПОЧТЕНИИ УЧАСТНИКОВ*
© 2015 г. М.М. Вороновицкий
(Москва)
В работе сформулирована и исследована модель однотоварного рынка с неизменными количеством денег и товара. В каждый момент времени каждый участник может иметь только один из трех статусов: продавец, покупатель или не участвовать в торговле. Используя лишь информацию о результатах своей торговли в предыдущий момент времени, участники меняют статусы и назначают новые цены. В данной модели рассматривается только рациональное поведение участников и принят более реалистичный механизм рыночной торговли, чем в (Вороновицкий, 2014). Цель исследования - выделить эффекты рационального поведения участников рынка. Основным результатом является сходимость траектории системы к стационарному множеству состояний равновесных, в среднем за некоторый промежуток времени, со средней ценой торговли, близкой к некоторой константе.
Ключевые слова: математическая модель, замкнутый рынок, однотоварный рынок, динамика цен, траектория, стационарное множество, стационарное состояние, рациональный выбор.
Классификация JEL: C51, D01.
1. ВВЕДЕНИЕ
В современном механизме экономического регулирования огромную роль играют рынки, участники которых могут быть в одни моменты времени покупателями, а в другие - продавцами этого же товара или совсем не участвовать в торговле. Примером подобных рынков являются фондовые биржи. Решения, принимаемые их участниками, определяют несколько логически связанных обменов, направленных на извлечение прибыли за счет разницы в ценах в разные моменты времени. Важная роль таких рынков в функционировании экономики является причиной большого интереса к их исследованию. Особенно большой интерес представляет исследование динамики подобных систем и описание окрестностей равновесных или стационарных состояний.
Скорее всего, первой работой, в которой поведение автономных участников рынка активов моделируется случайным процессом, является статья Ричарда Тополя (Topol, 1991). В ней рассматривается модель финансового рынка, на котором предлагается лишь один актив. Взаимодействие между участниками осуществляется посредством торговли, причем в зависимости от своего положения на рынке каждый участник может быть продавцом или покупателем, характеризующимся в данный момент времени собственной ценой (продажи и покупки), основанной, кроме информации о предыдущей торговле, также на оценке данным агентом фундаментальной ценности (fundamental value) - "агент-эффективной цене". В каждый момент времени, согласно предположению автора, встречаются какие-то два участника, торгуются, и, если они согласны на некоторую цену, имеет место торговля по этой цене. Правила корректировки агентом своих цен с использованием результатов сделок составляют алгоритм перехода от состояния в данный
* Работа выполнена в Институте проблем рынка РАН и при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 14-06-00110).
момент времени к состоянию в следующий момент времени. Вследствие неопределенности при выборе решения участниками и из-за случайного характера их встреч и торговли поведение участников биржевых торгов моделируется непростым случайным процессом. Анализ модели показывает, что некоторое распределение вероятностей, при котором стадное поведение (подражание, увлечение) оказывается наиболее вероятным, является стационарным для случайного процесса. представляющего динамику этой модели. Главный результат работы Р. Тополя состоит в том, что он показал возможность стадного поведения на бирже, т.е. поведения, когда выбор участников определяется не собственной информацией, а известной каждому участнику информацией о поведении других участников. Немало работ, связанных с исследованием поведения участников биржи, посвящено изучению стадного поведения. Работы (Bikhandany, Hirsheifer, Welch 1992; Banerjee, 1992), в которых была предложена теория информационных каскадов (BHW-модель), стали стимулом для многих попыток использовать эту теорию для изучения финансового рынка (например, работа (Avery, Zemsky, 1998)) и моделирования работы биржи (например, работы Киприани и Гуарино (Cipriani, Guarino, 2001; Cipriani, Gale, Guarino, 2006; Hunter, Wu, 2014)).
В последние годы предпринимались попытки использовать методы теоретической физики для объяснения особенностей процессов, протекающих на биржах (см., например, работы (Kim K., Yoon, Kim Y., 2004; Chen, Liao, 2005; Wei, Huang, Hui, 2013)).
По нашему мнению, наиболее перспективным является подход к исследованию динамики рынка, основанный на формальном описании алгоритма выбора решения отдельным его участником и правил взаимодействия участников, при последующем изучении траектории системы, а также стационарных состояний или стационарных множеств. Этот подход находится в рамках более общей теории агент-ориентированных моделей, представленной в работах (Макаров, 2012; Бахтизин, 2008; Kirman, 2011).
В работе ЛеБарона, Брайена Артура и Ричарда Палмера (LeBaron, Brian, Palmer, 1999) была разработана и исследована агент-ориентированная модель, известная под названием модель "искусственной биржи Санта Фе" (Santa Fe Artificial Stock Market), которая демонстрирует динамику рынка, связанную с процессом обучения участников и индивидуальной оценкой агентами текущего состояния рынка. К сожалению, эта модель трудно поддается аналитическому исследованию, поскольку алгоритмы выбора поведения и взаимодействия участников рынка, может быть, излишне полно имитируют черты реального поведения участников биржи.
Подходу, заключающемуся в исследовании агент-ориентированных моделей, соответствует исследование последовательно усложняющихся моделей, начиная с тех, которые отражают только основные, по нашему мнению, черты рыночного механизма и поведения участников. Изучение таких агент-ориентированных моделей позволяет отразить в модели основные логически оправданные черты взаимодействия агентов и принятия ими решений. Более ранним источником нашего подхода к изучению моделей рынка являются работы И.М. Гельфанда, М.Л. Цетлина и их сотрудников (Цетлин, 1969), в которых изучалось коллективное поведение автоматов. Идеи этих работ были использованы в формулировке и исследовании моделей незамкнутого однотоварно-го рынка, где рынок представлен как система взаимодействующих автоматов (Вороновицкий, 1974). На незамкнутом рынке на протяжении всего рассматриваемого времени каждый участник является либо только продавцом, либо только покупателем. Цены, запрашиваемые продавцами, или цены, предлагаемые покупателями, как и запасы товара или денег в каждый момент времени, являются переменными модели. Обмены происходят в результате договоренности между каждой парой встретившихся продавцов и покупателей.
Автор доказал, что траектория при любом начальном состоянии за конечное время приходит в окрестность стационарного состояния системы, характеризующегося равновесием спроса и предложения на рынке. Исследованный с помощью этой модели рынок не был замкнутым - в каждую единицу времени на него поступало и с него уходило некоторое количество товара и денег. К сожалению, построить модель замкнутого рынка, отражающего, может быть, краткосрочную, но реальную ситуацию на бирже, оказалось непросто. Тем не менее, в конце концов, удалось сформулировать агент-ориентированную модель замкнутого рынка, т.е. однотоварного рынка, на котором в каждый момент времени имеется не изменяющееся со временем количество товара и также постоянное количество денег (Вороновицкий, 2014).
Участники этого рынка в каждый момент времени могут быть продавцами, покупателями товара или не участвовать в торговле. При этом в следующий момент покупатель может стать или продавцом, или не участвовать в торговле (стать ожидающим). То же относится к продавцам и ожидающим. Используя только собственную информацию о результатах торговли в предыдущий момент времени, участники торговли меняют свой статус и назначают новые цены. Механизм взаимодействия участников в этой модели - тот же, что и в модели незамкнутого однотоварного рынка (Вороновицкий, 1974): в каждое мгновение продавец, согласный продать по наибольшей цене, торгует с покупателем, требующим за товар наименьшую цену. Но выбор требуемой цены продавцами и покупателями здесь, естественно, иной. Кроме того, прогноз средней цены на рынке в следующий момент побуждает покупателей иногда менять свой статус, т.е. становиться в следующий момент продавцами или в течение нескольких моментов времени вообще отказаться от участия в торговле. То же самое относится и к покупателю.
В работе сформулирован простой алгоритм выбора участником в следующий момент времени своей цены и своего статуса (продавец, покупатель, ожидающий). При этом агент использует только собственную информацию о результате торговли в данный момент времени и лишь незначительную часть информации о состоянии рынка в целом, а именно - средние цены товара за несколько предшествовавших моментов времени.
Существуют различные варианты этого алгоритма: рациональный, рискованный и противоположный рациональному выбор статуса и цены (таким, например, является выбор, осуществляемый при стадном поведении участника). Рискованное решение участника включает в себя отклонение от рационального выбора, при котором положение участника может оказаться в следующий момент как лучше, так и хуже, чем при рациональном выборе. Иррациональное решение включает в себя алогичный выбор. В статье высказаны лишь некоторые гипотезы о характере поведения траектории системы, поскольку аналитического изучения хотя бы некоторых свойств траектории модели провести не удалось. Математическая модель была реализована в виде компьютерной программы, с помощью которой исследованы некоторые свойства представленного в таком виде простейшего замкнутого рынка. Основной результат этой работы - построена формализованная модель взаимодействия между участниками и механиз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.