ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 6, 2014
УДК 62.534 (031)
© 2014 г. С. П. Безгласный
АКТИВНАЯ ОРИЕНТАЦИЯ ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМИ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ
Рассматривается задача об одноосной и трехосной ориентациях относительно кёниговой и неинерциальной систем координат уравновешенного гиростата с моментами инерции, зависящими от времени. Аналитически в классе непрерывных функций строится по принципу обратной связи активное стабилизирующее управление и определяются условия, при которых возможна желаемая ориентация, обладающая свойством асимптотической устойчивости. Используются метод функций Ляпунова и метод предельных уравнений и предельных систем, позволяющий использовать функции Ляпунова со знакопостоянными производными. Приводится пример численного моделирования трехосной ориентации гиростата.
Пространственные движения летательных аппаратов относительно центра масс моделируются сферическими движениями твердых тел или систем тел, в частности, гиростатов. Например, движения под действием гравитационного момента на круговой орбите орбитальной станции Мир в 1999—2001 гг. и спутника Фотон-МЗ в 2007 г. относительно своих центров масс моделировалось [1] движением осесимметричного гиростата с гиростатическим моментом, направленным по его оси симметрии. Основные способы и принципы управления вращательным движением тел были обозначены уже давно ([2—7] и др.). Современными авторами исследуются задачи об устойчивости положений равновесия и стационарных движений гиростатов на орбитах, об оптимальном управлении телами, о резонансных и хаотических режимах движений, о стабилизации заданных программных движений гиростатов различной структуры ([1, 8—18]) .
Ниже исследуются возможности реализации асимптотически устойчивых одно- и трехосной ориентаций системы двух соосных тел (гиростата) переменной структуры. Под одноосной ориентацией системы понимается [7] асимптотическое совпадение заданного орта в твердом теле с желаемым ортом, фиксированным в пространственной кёниговой или неинерциальной системе координат, совершающей произвольное движение. Трехосная ориентация заключается в совпадении двух ортонормированных реперов — одного, неподвижного в теле, и второго, фиксированного относительно подвижной системы координат. В качестве гиростата переменной структуры рассматриваются два тела с моментами инерции, зависящими от времени, — носитель и ротор, допускающие относительное вращение вокруг общей оси. Задача ориентации решается активным внешним управлением по принципу обратной связи, и требуется выполнение асимптотической устойчивости по Ляпунову полученных решений. Представленные результаты получены на основе метода функций Ляпунова классической теории устойчивости [19] с применением метода предельных уравнений и предельных систем [20], который позволяет использовать функции Ляпунова со знакопостоянными, а не со знакоопределенными производными, существенно облегчая и расширяя их выбор.
Развиваются и обобщаются результаты ряда работ [7, 18, 21—23], в которых были решены следующие задачи. Методом, предложенным В.И. Зубовым [7], были [7, 21] реализованы одноосная и трехосная активная стабилизация одного твердого тела с постоянными и переменными моментами инерции соответственно. Были решены [22, 23] эти же задачи ориентации для гиростата (двух соосных тел) с постоянными моментами инерции и гиростата, только носитель которого имеет переменные моменты инерции. Построен [18] класс управлений, реализующий трехосную ориентацию гиростата переменной структуры, совершающего заданные программные движения, при более сложной структуре управления, чем управления, предлагаемые ниже.
1. Постановка задачи. Пусть О' — инерциальная система координат; О ару — система координат, произвольно движущаяся в общем случае по отношению к инерци-
Фиг. 1
альной системе координат. Гиростат представляет собой систему двух твердых тел: носитель и ротор, который вращается вокруг носителя с угловой скоростью
и02 = (0,0,8)Т, направленной по оси Oz неинерциальной системы координат Oxyz, нет
изменно связанной с носителем (индекс означает транспонирование). Угол 8 = 8(t) поворота ротора относительно носителя считаем заданной непрерывной функцией времени. OX2y2Z2 — система координат, жестко связанная с ротором таким образом, что оси Oz и Oz2 совпадают.
Предположим, что центры масс Oj и 02 носителя и ротора находятся на общей оси вращения и не меняют своих положений (OO2 = const), общий центр масс гиростата — в точке O (фиг. 1). Будем считать, что моменты инерции носителя и ротора зависят от времени и не изменяют положений центров масс обоих тел, и, как следствие — центра масс всей системы. Условие о зависимости тензора инерции тела от времени позволяет характеризовать наличие подвижных частей конструкции, перераспределение или движение масс в гиростате.
Пусть далее заданы два орта s0 и г0, причем орт s0 (орт r0) занимает неизменное положение в системе координат OaPy (в системе координат Oxyz).
Поставим согласно В.И. Зубову [7] задачу об одноосной ориентации гиростата — определить управляющий внешний момент Mc, приложенный к системе, который стабилизировал бы орт г0 в направлении s0.
Пусть заданы два взаимно перпендикулярных орта s 01 и s02, занимающих неизменное положение в системе координат OaPy, и пусть заданы два взаимно перпендикулярных орта г01 и г02, неизменно связанные с системой координат Oxyz. Положим
s03 = s01 х s02, г03 = г01 х г02
Поставим задачу о трехосной ориентации [7] — определить управляющий момент Mc, приложенный к системе, который стабилизировал бы орт r01 в направлении s 01, а орт r02 — в направлении s 02. Тогда соответственно орт r03 будет ориентирован в направлении s 03.
2. Уравнения движения гиростата. Пусть ОаРу — система координат, совершающая поступательное движение относительно неподвижной системы O' ^nZ, т.е. является кёниговой. Решим задачу об одноосной ориентации гиростата, при которой ось r0 должна быть направлена по оси s0.
Согласно теореме об изменении кинетического момента системы, уравнения движения первого тела возьмем в виде [4]
dK
^ + ю х K1 = Ml + MC + M2 (2.1)
dt
Тильда над знаком дифференцирования d означает взятие локальной производной, т.е. в подвижной системе Oxyz, ® — угловая скорость вращения носителя относительно системы координат Oxyz, Ki = I^ra — кинетический момент носителя, = Ii(t) —
его тензор инерции, M' — момент внешних сил, приложенных к носителю, MC — управляющий момент, создающийся реактивными двигателями, M2 — момент, действующий на носитель со стороны ротора.
Таким образом, уравнение движения (2.1) можно переписать следующим образом:
/1сЪ +11 ю + ю х /1ю = Ml + MC + M2 (2.2)
Точкой обозначена производная по времени t. Уравнение движения ротора в жестко связанной с носителем системе координат Oxyz имеет вид
(cos 8 - sin 8
dK2
—2 + ю2 х K2 dt
= M2 - M2; 8 =
sin 8 cos 8 0 0 0 1
K2 = I2S-1(w + w02) (2.3)
где ю2 =8 1(ю + Ю°2) — абсолютная угловая скорость ротора в жестко связанной с ним системе координат, К2 — его кинетический момент и /2 = /2(() — его тензор инерции,
й°2 = (0,0,8)Т — угловая скорость вращения ротора относительно носителя, М2 — момент внешних сил, приложенных к ротору, и —М2 — момент, крутящий ротор относительно носителя. Матрица 8 определяет тензор перехода от жестко связанной с ротором системы координат Ox2У2Z2 к жестко связанной с носителем системе координат Oxyz. Перепишем уравнение (2.3) в виде
8128-1(ю + ю02) + (8 /28-1 + 8128-1)(ю + ю02) + + (ю + ю02) х I28-1(ю + ю02) = M2 - M2 Введем обозначения
J1 = I1 + SI2S-1, J2 = S/2S-1 + 8I2S-1, /3 = Л + 812 5-1 + 5I28 -1
/. = i(í, -8128+8/28- +812¿-)
(2.4)
Из уравнений (2.2) и (2.4) получим уравнения движения всей системы относительно центра масс
J^ + Дю + J 2(ю + ю °2) + 812Ь-1ю02 + ю х 11ю + (ю + ю02) х
х 128-1(ю + ю02) = M' + MC (2.5)
Величина M' = M' + M2 характеризует воздействие внешних сил на весь гиростат. В дальнейшем будем полагать, что эти силы отсутствуют, т.е. M' = 0.
3. Ориентация относительно кёниговой системы координат. Покажем, что решения задачи об одноосной ориентации можно достичь выбором управляющего момента в виде
MC = -Бю + а(г° х s°) + Ь12Ь_1ю02 + J2ra02 + ю02 х /28-1ю02 (3.1)
а = const > 0
где Б = B(t) — симметричная (3 х 3) -матрица, подлежащая определению.
Заметим, что орт s0 вращается по отношению к системе Oxyz с угловой скоростью -ю. Следовательно, его движение можно описать уравнением
ds0 3s0 —0 = —0 - ю х s 0 dt dt
и, так как орт s0 фиксирован в подвижной системе координат, это уравнение примет вид
s0 = -ю х s0 (3.2)
Уравнения движения (2.5) при управлении (3.1) запишем следующим образом:
02 Л —1 Л —1 02 J1ta + J3ra + (ю + ю ) х 128 ю + ю х (11ю +128 ю ) = -Бю + а(г0 х s0) (3.3)
Система (3.3) имеет два положения равновесия:
1)ш = 0, s 0 = Г0; 2) ш = 0, s 0 =-Г0 (3.4)
Видно, что других решений система (3.3) на множестве (ю = 0} не имеет. Как и ранее [22, 23], выберем скалярную функцию Ляпунова в виде
V = 1(ЮТТ1Ю + а(г0 - s0)2)
Так как матрица Jx симметричная, производная по времени функции V запишется следующим образом:
— = wTJ 1сЬ +1 wT(J3 + 8128_1)w - а(г0 - s0)Тs0 dt 2
и в силу уравнений (3.2) и (3.3) после раскрытия скобок и приведения подобных будет иметь вид
dv Т Т Т Т Т л_1
— = -ю Бю + аи (г0 х s0) - ю J4ra - ю (о х /1ю)- ю (ю х 125 ю) -dt
Т 02 л _1 Т л _1 02 Т Т
— ю (ю х 128 ю) - ю (ю х 128 ю ) + аг0 (ю х s 0) -а s 0(ю х s 0)
В правой части этого равенства сумма второго и предпоследнего слагаемых будет нулевой, а пятое, седьмое и последнее слагаемые тождественно равны нулю в силу
свойств смешанного произведения входящих в них векторов. Шестое слагаемое — некоторая квадратичная форма, которую можно записать в матричном виде -га ТС га, где С = (Су) — симметричная матрица с элементами, определяемыми по формулам:
Cl1 = ®22(l2zx cos 8 - 12zy sin 5) + ©f^yy sin 5 - I2yX COS 5)
2zy + 2yy 1 5 - 1 2yx '
C22 = «32(12xx sin 5 +12xy cos 5) - ю°2(^ sin5 + ^ cos 5)
02 02
c33 = «1 12yz - «2 12xz
2ci2 = 2C21 = -«?2(12zx cos 5 -12zy sin 5) + «22(l2z
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.