ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2013
УДК 534.23
© 2012 г. Косарев О.И.
АКТИВНОЕ ГАШЕНИЕ ВТОРИЧНОГО ПОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ К ОБОЛОЧКЕ ВЫНУЖДАЮЩИХ СИЛ
Рассмотрена задача гашения вторичного поля упругой цилиндрической оболочки в дальней зоне путем приложения к оболочке вынуждающих сил.
Рассмотрим упругую цилиндрическую оболочку, погруженную в безграничное пространство жидкости. Из некоторой точки пространства на оболочку падает зондирующее падающее поле от внешнего источника звукового излучения. Под действием этого поля возбуждаются вынужденные колебания оболочки, создающие рассеянное поле. Это рассеянное, или вторичное поле состоит из поля, отраженного от абсолютно твердого и излученного поля, вызванного упругими колебаниями оболочки. К оболочке дополнительно приложены вынуждающие распределенные силы, создаваемые, например, вибраторами. Вторичное звуковое поле регистрируется приемным устройством, расположенным в произвольной точке наблюдения в дальней зоне. Требуется определить вынуждающие силы, способные погасить вторичное поле оболочки в дальней зоне, и тем самым сделать ее акустически "не видимой".
Подобная задача решена в работе [1], но частично, так как в ней вынуждающие силы определяли из условия гашения рассеянного поля на небольшом расстоянии от оболочки. Было показано, что для гашения рассеянного поля с использованием вынуждающих сил необходимо проводить факторизацию поля, т.е. выделять из полного поля его составляющие (падающее и рассеянное поля).
В настоящей статье эта же задача, в отличие от [1], решена из условия гашения вторичного поля в дальней зоне для случая бистатического наблюдения (точки падения и наблюдения не совпадают).
Цилиндрическая оболочка имеет радиус а и длину Ь. Окружающая оболочку жидкость характеризуется скоростью звука с и плотностью р. По краям оболочка продолжена абсолютно жестким экраном (цилиндрами того же радиуса), т.е. принята модель "оболочка в экране".
Введена цилиндрическая система координат г, г, ф с началом координат в точке О. Ось Ог совмещена с продольной осью симметрии оболочки; г — радиальная координата, отсчитываемая от оси оболочки до произвольной точки пространства; ф — окружная координата. На цилиндрическую оболочку из произвольной точки пространства М под углом у падает звуковая волна от внешнего источника (рис. 1). Введена сферическая система координат Я, 9, а, где Я — расстояние от произвольной точки наблюдения N до начала координат точки О. Углы падения у и наблюдения 9 отсчитыва-ются от положительного направления оси Ог, окружные углы ф и а отсчитываются в плоскости, перпендикулярной оси Ог (рис. 2).
M
Рис. 1
Давление звукового поля р(И) в точке наблюдения N можно вычислить с помощью интегральной формулы Кирхгофа (Гельмгольца—Гюйгенса) [2]
'(^ = in Ik (A - dúg{ n> A)
G(N, A) = [ eXP {~ÍkRi)], R1 = N A, Ri
ds,
(1)
где s — площадь поверхности цилиндра; i — мнимая единица; к = ю/с — волновое число; ю — угловая частота; p(A) — давление жидкости на поверхности цилиндрической оболочки, равное сумме давлений падающего p0 и рассеянного ps полей в точке A. Зависимость параметров от времени t принята в виде exp(irat) и далее опущена.
Представляет интерес давление в точке наблюдения N (рис. 2), значительно удаленной от оболочки, т.е. при больших R и 9. B этом случае при вычислении интеграла (1) величину R1 — расстояние между точками N и A, можно заменить приближенным значением (приближение Фраунгофера) [2]. На рис. 2 обозначено Rz = Rcos9, R2 = Rsin9, R3 = R2sin в, R4 = R2cos p. Определим R1 по сферическим координатам точки N(R, 9, а) и цилиндрическим координатам точки A(a, z, ф). Вектор AN и n — нормаль к поверхности оболочки в точке A, определяются их проекциями в декартовой системе координат X, y, z
AN = { R sin 9 cos а - a cos ф, R sin 9 sin а - a sin ф, R cos 9 - z }, n = { a cos ф, a sin ф, 0 }.
Искомое расстояние определяется выражением
2 2 2 2 2 R1 = (AN) = (R sin 9 cos а - a cosф) + (R sin 9 sin а - a sin ф) + (R cos 9 - z) .
Рис. 2
В результате преобразований получим
R1 = R
2 2"
1 2z c os 6 + a sin 6 cos ( ф - a ) + a + z
R
R
r I 2z cos 6 + a sin 6 cos ( ф - a )
' v - R '
Используя разложение радикала в степенной ряд (1 — %)1/2 = 1 — 1/2% получим R1 « R - zcos6 - a sin 6 cos (ф - a). (2)
С учетом (2) и соотношения nR
cos(nR1) = . . . 1 . = sin6cos(ф - a) In R1
d
определим входящие в (1) выражения —G(N, A) и G(N, A). В результате получим
dn
- -ikR
d иг e .1 • r\ / \ ikzcos9 ikasin9cos(m - a)
— G(N, A) = -iksin6 cos(ф - a)e e ,
dn R
-ikR
s^/tlt e ikzcos9 ika sin9 cos(m - a)
G(N, A) = -^-e e .
После подстановки этих выражений в (1) получим Р(N) = ^ JJ[-Р(z' ф)'ksin6cos(ф - a) + ^ x exp [ ikzcos 6 + ika sin 6 cos (ф - a)] ds, где ds = 2nadфdz. 12
При интегрировании выражения (3) по окружной координате используем соотношения [3]
да
iu cos ш m т , \
= ^ Emi Jm(P) C0SтФ ,
e ' v m\
: 0
да
iu cosm . m 7-' / \
C0sфб = -l ^ Emi Jm(Ц) C0smФ,
m = 0
где sm = 1 при m = 0, sm = 2 при m > 0 и интеграл
2п
J cos т(ф - a) cos na da = am cos m ф,
0
где стт = п при и = m Ф 0, am = 2п при и = m = 0.
В приведенных соотношениях, в цилиндрической функции Бесселя /m(p.) и ее производной фигурирует окружная гармоника m. Зависимость величин давления р и ее производной др/дп от окружного угла ф также определяется множителем вида cos пф (и = m). Для вычисления свертки в (3) умножим р и др/дп на cos na, так как далее будем пользоваться гармоникой п, то интегрировать необходимо по углу a (гармоника п введена для удобства, чтобы не путать ее с гармоникой m).
В результате интегрирования членов, зависящих от угловой координаты a, в первом слагаемом (3) с учетом v = ak получим
2
п
iksin 9 a J cos (ф - a) elkasme C0s (ш a) cos n ada = ^ v sin 9EmimJ'm (v sin 9)n cos тф.
0
Соответственно, во втором слагаемом (3) получим
2
п
Г ika sin9 cos(m - a) 1 m r t • rw
a e cos n a da = a Emi Jm(v sin 9)n cos m ф.
0
Далее для упрощения формул сомножитель cos тф опускаем (он может быть введен в конечные выражения), используем гармонику n и каждую гармонику будем рассматривать отдельно. В результате интегрирования по окружной координате с учетом проведенных преобразований и обозначения ц = v sin 9 давление в точке наблюдения N
e e ле, Р (N) = - -
-ikR inn/2 г да L
4nR
- kasin9Jn(ц) Jp(z)eikzcos9dz + aJn(^) Jlne^™9dz
0
Используя граничные условия
dp = |рю2 W(z^), 0 < z < L, dn lo, z < 0, z > L,
(4)
с учетом выражения полного поля p(z) = Po + ps и обозначения i = emn/2, получим
m
да
p (N) = - -
ikR ,n
e i ле,
4 nR
ikR ,n
e i ле,
4 nR
ikR ,n
e i ле,
- ЦКПJ(Po + Ps)e'kíc°s*dz + flJn(Ю Jp®2 We'kzc0s0dz
-3 0
L
(-Ц • J'n+ Ps) + aJn(^)P®2 W) Je'kZC°S&dZ
4 nR
ikR ,n
e i ле.
í
Po + Ps -
2L
flJn(ц)рю W\ ( ' ikzcos0
4 nR
ц-К (ц)
L
J
dz
-ц • J'n (Ц)(Ро + Ps - Z2W) Je"
ikzcos 0
dz
0
где
рю /п(кasin9)
^2 = -;-•
(к 9) 1п (кasin 9)
Для определения входящих в (5) выражений рассеянного полярв и перемещения Ж, возбуждаемых падающим полем р0 и силами /а, воспользуемся уравнениями вынужденных колебаний оболочки.
Падающая плоская звуковая волна, разложенная в ряд по цилиндрическим функциям Бесселя, [4]
. ikzcos V n г • ч
p0 = A0e у Eni Jn(krsinу)cosиф.
(6)
I = 0
Рассеянное поле представим в виде
Ane
ikzcosV 4
У ВпнИ\ krsin 9) cos n ф,
(7)
n=0
где H,2 (krsin 9) — функция Ганкеля второго рода.
Считая, что взаимодействие оболочки с жидкостью происходит только по радиальной координате Ж, представим уравнение вынужденных колебаний цилиндрической оболочки в виде[1]
(L (у) + ю* E)
( \
U
V =
v W J
0 0
(P0 + Ps + fa )
v q J
(8)
где U, V, W — продольные, касательные и радиальные перемещения при колебаниях поверхности оболочки; элементы матрицы L(y) являются функциями фазы падающего поля у = ka cos у
L11 = -Y2 - ^ - blY2, L12 = iYn = -L21, L13 = + i—Y3, 2 2 a
L
эи
0
0
30
yj
s
¿22 = - ^(1 + 482)у2 - n2(l + é2 + 2^2 + 52 + ^,
a
L
23
"32
-n
i г. Z2b2 2 2 2 2 Z2b2 a2
1 + b2 + + (2 - ц)5 y + n 15 + -L-2 + —
L
4 a2
2 2,2 0Z2b, 4 ai
33
1 - b2 - n -2 - 5 (-Y - n ) - 2^-2 + Y -1, L31 = =
q =
Eh
ю* =
22 ю a
(1 - Ц ) a
p* (1 - Ц ) 52 = h
Ea
ah bx, z\ — параметры стрингеров; a2, b2, z2 — параметры шпангоутов; h — толщина стенки оболочки; E — модуль упругости; ц — коэффициент Пуассона; р* — плотность материала; E — единичная матрица; ю = 2nf; f — частота.
После приведения системы уравнений (8) к третьему уравнению (относительно W) его можно представить в виде
-aq(y)-
W = a (Pq + Ps + fa ),
q
-^1(7)-!
где А:(у) — минор и А0(у) — определитель матрицы левой части уравнения (8)
А,
L11 + ю*
-L
12
т
L22 + ю*
, aq = |L(y) + ю* e|
Приложенные к поверхности оболочки 5 распределенные вынуждающие силы ^ = ¥а/$ имеют размерность давления. Уравнение движения оболочки в жидкости при совместном действии на нее падающего поля, рассеянного поля и вынуждающих сил
ZW = Pq + ps + fa,
где 2 представляет собой механический импеданс сухой оболочки 2 = -
а
(9)
•aq (Y)' la 1 (y).
Используя уравнение движения (9) и граничное условие на границе оболочки с жидкостью, определим рассеянное поле и его связь с вынуждающими силами. Согласно принятой договоренности, в выражениях (6) и (7) опустим суммирование по окружным гармоникам п и ограничимся рассмотрением функций давления для одной гармоники п
pQ = ÄEni"Jn( krsin у), где A = ÄQexp (ikz cos y), ps = ABnHn( krsin 9).
(10)
Здесь и ниже Hn(kr sin 9) — функция Ганкеля второго рода (индекс (2) для упрощения записи опускаем), зависимость параметров от cos иф также опускаем. Штрихи над функциями Бесселя и Ганкеля обозначают их производные.
Неизвестные коэффициенты Bn найдем из граничного условия (4)
д (Pq + P s)
д r
рю W,
a
a
« i i 2
(ksiny)Asn; Jn(kasiny) + A(ksin9)BnHn(kasin9) = рю W,
B = _ n( ksin y )Jn(ka sin y ) + р Ю2 W
B„ = ^ i + .
n n (ksin9)H'n(kasin9) A(ksin9)Hn(kasin9)
После подстановки Bn в формулу (10) определим рассеянное поле
2
nA (k sin y) Jn (kasin
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.