АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 2, с. 191-195
НЕЛИНЕЙНАЯ ^^^^^^^^^^^^^^ АКУСТИКА
УДК 534 222
АКУСТО-МИКРО-ФЛЮИДИКА: КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ И ВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ОБЪЕМЕ ЖИДКОЙ КАПЛИ
© 2015 г. П. В. Лебедев-Степанов1, 7, О. В. Руденко2, 3, 4, 5, 6
Центр фотохимии РАН E-mail: petrls@mail.ru
2Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Физический факультет
119991ГСП-1, Москва, Ленинские горы E-mail: rudenko@acs366.phys.msu.ru 3Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН 4Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН 5School of Engineering, Blekinge Institute of Technology, Karlskrona, 37179 Sweden 6Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского 7Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Поступила в редакцию 30.09.2014 г.
Рассчитано поле радиационных сил в цилиндрическом жидком слое на твердой подложке, формирующееся в результате воздействия на жидкость капиллярной волны, распространяющейся от оси вдоль свободной поверхности. Изучена структура акустических течений, возбуждаемых радиационными силами. Обсуждено воздействие течений на частицы малого размера и возможности формирования упорядоченных структур из этих частиц.
Ключевые слова: акусто-микро-флюидика, капиллярные волны, радиационные силы, нелинейность, акустические течения, жидкая капля, испарение, структуры наночастиц.
DOI: 10.7868/S0320791915020094
ВВЕДЕНИЕ
В работе исследуются медленные вихревые течения в тонком цилиндрическом слое вязкой жидкости. Течения порождаются капиллярными волнами на свободной поверхности слоя, которые, в свою очередь, инициируются колебаниями индентора или вибрациями подложки. Эффект аналогичен акустическим течениям, возникающим в поле ультразвуковых волн [1]. Это явление в настоящее время хорошо изучено и находит приложения в ряде технологий. В частности, биомедицинским приложениям акустических течений посвящен обзор [2].
Течения внутри тонких слоев и капель жидкости используются в нанотехнологиях для формирования упорядоченных структур наночастиц [3, 4]. В связи с этими приложениями в работе [5] рассчитано течение в слое, возбуждаемое поверхностными волнами, бегущими вдоль границы раздела твердое тело—жидкость.
Авторами был также проведен анализ генерации течений капиллярными волнами в тонком плоском слое [6]. Постановка задачи и схема ее решения в работе [6] аналогичны описанным в настоящей статье, однако принятая здесь цилин-
дрическая геометрия задачи значительно усложняет расчеты по сравнению с расчетами работы [6]. Вместе с тем, цилиндрическая форма капли позволяет при ее высыхании создавать кольцевые структуры частиц, которые могут использоваться как зонные пластинки для фокусировки волн и формирования бесселевых волновых пучков.
КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ И РАДИАЦИОННЫЕ СИЛЫ
Рассмотрим слой жидкости в виде кругового цилиндра радиуса Я, высотой образующей Н. Жидкость занимает область 0 < г < Я, -Н < г < 0 и расположена на верхней поверхности которой горизонтальной пластины (это плоскость г = -Н). Полярные координаты введены так, как показано на рис. 1.
Оба типа движения — и волна, и медленное течение — могут быть описаны системой уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости:
— + (иУ)и = + vДu, Шуи = 0. (1) д? р
191
4*
192
ЛЕБЕДЕВ-СТЕПАНОВ, РУДЕНКО
ной поверхности, где давление на жидкость формируется силами поверхностного натяжения искривленной границы, таково:
др
дг
+ а
д ы7
1 д<
■ + -дг2 г дг
Л
= 0.
(8)
г=0
Рис. 1. Слой жидкости на подложке и привязанная к нему полярная система координат. Капиллярные волны на свободной поверхности показаны штриховой линией.
Здесь и — скорость, р — давление, р — плотность, V — кинематическая вязкость жидкости. Разделим в уравнениях (1) быстрое колебательное движение и медленное течение, для чего положим [1] и = и' + и, р = р + Р. (2)
Штрихом помечены осциллирующие составляющие. Для периодических колебаний считаем, что значения, средние по периоду, равны нулю:
(и) = { Р) = 0. (3)
Подставляя (2) в систему уравнений (1) и проводя усреднение, получим систему уравнений для медленного течения:
— + (иу)и = + vДU + Г, Шуи = 0. (4) дг р
Здесь
Г = ((и' V) и') (5)
— "радиационная сила", вызывающая течение благодаря наличию капиллярных волн на свободной поверхности жидкости.
Вычитая из каждого уравнения системы (1) соответствующее ему уравнение системы (4), придем к уравнениям для капиллярных волн:
^ = --Р + vДu', ШУи' = 0. (6)
дг р
Волны считаются слабыми, и поэтому нелинейные члены в системе (6) опущены.
Решение простейшей задачи для свободных цилиндрически-симметричных капиллярных волн на поверхности невязкой жидкости проводится по аналогии с решением для плоских волн [7]. Результат для гармонических во времени колебаний (однородных по полярному углу ф) таков:
и'г = /р0к11 (кг )еИ (к (г + Н ))ехр (-/юг), юр
Здесь а — коэффициент поверхностного натяжения. Подстановка решения (7) в граничное условие (8) приводит к дисперсионному соотношению
ю
(9)
= - к ЧИ (кН), Р
которое связывает частоту колебаний ю и волновое число к. Если радиус слоя вдоль поверхности пластины ограничен стенкой г = Я, соответствующие граничные условия иг (г = 0) = иг (г = Я) = 0 приводят к появлению набора дискретных мод кЯ = |п, п = 1, 2, 3, ... . Здесь |п — корни уравнения
11 (кЯ) = 0. Соответствующий набор собственных частот таков:
-I (ЯЬ (- 4 )■
(10)
Для очень тонкого слоя получается простая формула:
ст Н ^
».-. 1Р Н (Щ
Если подложка вибрирует в вертикальном направлении, на поверхности капли могут возбуждаться все моды, однако наиболее заметными окажутся те, добротность которых выше. Например, действие вязкости сильнее проявится для высоких частот, поэтому лучше будут возбуждаться низкочастотные моды. Если выбрать частоту вибрации близкой к одной из собственных частот юп, можно селективно возбудить только одну моду с волновым числом кп = ц „ /Я.
Возбуждение цилиндрически-симметричных волн в капле может производиться различными способами. Это может быть стержневой индентор в виде тонкой вертикальной иглы, которая касается центра капли и колеблется ортогонально ее поверхности. Это могут быть вибрации твердой подложки, приводящие к неустойчивости поверхности капли. Конкретные механизмы неустойчивости и возбуждения волн под действием вибраций рассмотрены в ряде работ (см., например, статьи [8, 9] и приведенную в них библиографию). В частности, хорошо изучено параметрическое возбуждение "фарадеевских волн" на поверхности колеблющегося жидкого полупространства [8], когда выделенных частот (11) не возникает. При этом наименьшее пороговое значение амплитуды колебаний соответствует частоте ю/2 основной субгармоники.
и\ = -/рк10 (кг^ (к(г + Н))ехр(-/юг), (7) юр
Р = РоЛ (кг )еИ (к (г + Н))ехр (-/юг).
Видно, что граничное условие и\ (г = -Н, г) = 0, соответствующее непроницаемому для жидкости дну, выполняется. Граничное условие на свобод-
г
АКУСТО-МИКРО-ФЛЮИДИКА
193
Зная поле скоростей капиллярных волн, можно по формуле (5) рассчитать радиационную силу. Выражения для радиальной и аксиальной проекций силы таковы:
Г = к
^ ] / (кг)
/0 (кг )-
/1 (кг)_,_ 2
кг
еИ2 (к (г + Н))
(12)
Г = ■
' Рак уЮр
+[/о (кг) + /2 (кг)] (к (г + Н)) еИ (к (г + Н)).
РАСЧЕТ АКУСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
Следующий шаг — это расчет вихревого течения, вызванного радиационной силой (12). Запишем систему (4) в проекциях на оси координат:
ди = -1 дР + v (и - ^, + Гг, д? р дг
(13)
и = -1 дР + уд + г, ,
р дг
^ (Ц) + Ц = 0.
гдг дг
Здесь использовано обозначение
д = [ 1-д (г ^)+41.
^г дг\ дг) дг )
Гидродинамические числа Рейнольдса предполагаются малыми, поэтому конвективный член в уравнении движения (4) опущен.
Введем функцию тока Т, через которую компоненты скорости выразим следующим образом:
П =-1д*, иг = 1
г дг
г дг
(14)
При этом уравнение непрерывности (третье уравнение в системе (13)) тождественно удовлетворяется. Ротор скорости течения имеет единственную ненулевую проекцию на ось полярного угла ф:
(ГС1 и) =дЦг v дг дг
1 (д 2¥ + д1х¥ 1 <Э¥
г \дг дг г дг
(15)
д (гс1 и) =
дг ^
V'Ц13 (г д)- 1 +
дг Vг дЛ дг) г дг
д(1д( д\ , д2 V1
1
г дг
1- II-1 (16)
дг у 1 дг( дг/ дг2)(1 дг / ( ) Вычислим ротор радиационной силы, присутствующий в этом уравнении, используя выражения (12):
(гс1 г) = дГ^= 0.
(17)
ф дг дг
Нулевое значение ротора означает, что радиационная сила (12), вычисленная на основе решения (7) для капиллярных волн на поверхности невязкой жидкости, не войдет в уравнение (16) для функции тока. Форма "вынужденного" и "свободного" течений будет одинаковой. Однако, определив скорость потока, нужно будет связать ее с характерным значением радиационной силы.
Рассчитаем установившееся "свободное" течение, которое описывается однородным уравнением 4-го порядка, следующим из (16):
1д г дг
д 1х¥ + д 1х¥
1
г дг
= 0. (18)
Кдг дг г дг )\дг дг Запишем решение уравнения (18) в форме, удобной для того чтобы удовлетворить нужным граничным условиям:
С0Рг/! (вг)[8И (в (г + Н)) + + Св (г + Н)еИ (в (г + Н))+ (19)
+ С2в (г + Н (в (г + Н))]. Компоненты скорости, согласно (14), имеют вид
и г =-С0р2/1 (X )[еИ (I) + + С1 (еИ (I) + I бИ (I)) + + С2 ( (I) + I еИ (I))], (20)
иг = С0Р2/0 (X)Х
X [ (I) + СI еИ (I) + С! бИ (I)].
Здесь для упрощения записи формул принято обозначение
X = рг, I = р (г + Н). (21)
Константы определим из граничных условий:
' ' ,-0 = 0, " (22)
Пг1г--Н Uг\z-0 Пг1г-0 = и^-вН = 0, Пг1г--Н = -0 =
Теперь применим операцию ротора к обеим частям уравнения движения (4), чтобы исключить давление Р. Заменяя ротор скорости на лапласиан функции тока, придем к уравнению
Первые два условия соответствуют "не протеканию" жидкости через дно и свободную поверхность, третье — "прилипанию" горизонтальной компоненты к дну из-за вязкости. Определив константы, запишем выражения для компонент скорости течения:
2
194 z/H
0
ЛЕБЕДЕВ-СТЕПАНОВ, РУДЕНКО
Uz/Uo
Рис. 2. Линии тока для разных значений константы С (уравнение (24)) при Р = 2п/3.
Рис. 3. Вертикальная компонента скорости течения Ц/Ц) (уравнение (23)) при Р = 2п/3.
U
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.