ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 5, с. 387-397
= ТОКАМАКИ
УДК 533.9
АЛЬФВЕНО-ДРЕЙФОВАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ ТОКАМАКА
© 2004 г. Р. В. Шурыгин
РНЦ "Курчатовский институт" Поступила в редакцию 07.07.2003 г.
Изучается поведение турбулентных потоков в окрестности резонансной точки т/п = ^(хге8) в плоском слое пристеночной плазмы токамака на основе численного анализа нелинейных МГД-уравне-ний в рамках 4-х полевой электромагнитной модели. Из расчетов следует, что с ростом температуры электронов на краю плазмы турбулентный поток частиц сначала уменьшается, проходит через минимум, а затем возрастает. Появление минимума обязано стабилизирующему действию дрейфовой скорости электронов (Уу0 ~ йТе0/йл) в уравнении для продольной компоненты магнитного потенциала. Показано, что при больших величинах тороидального магнитного поля турбулентные переносы проявляют гиро-бомовский скейлинг, который при уменьшении поля плавно переходит в бо-мовский.
1. ВВЕДЕНИЕ
Получение разумных оценок транспортных потоков на краю плазмы токамака - одна из актуальных задач в проблеме УТС. Она диктуется потребностями как теории, так и необходимостью разрешения инженерно-технологических вопросов, возникающих при проектировании установок будущего. Для решения указанной задачи одним из наиболее мощных инструментов является численное моделирование турбулентной динамики плазмы. Интенсивными усилиями многих групп теоретиков в последние годы созданы численные коды, способные адекватно моделировать сложные физические процессы, протекающие в плазме токамака. Первоначально моделирование было основано на решении МГД-уравнений в рамках электростатического приближения, справедливом при в <§ 1, в котором флуктуациями магнитного поля в плазме прене-брегалось. В этом случае возможно получение разумных величин аномального переноса, однако не удается описать такие феномены как Ь - Н-пе-реход, образование магнитных островов, когерентные автоколебания на краю плазмы и ряд других явлений. Из анализа результатов расчетов последних лет стало ясно, что для реалистического описания поведения турбулентной плазмы требуется учет магнитных флуктуаций. Из теории [1] известно, что роль электромагнитных эффектов становится существенной, когда параметр вм = вМ/те), в = 4%ИТ/Б2 становится больше единицы. Например, для параметров низкотемпературной пристеночной плазмы: N = 4 х 1013 см-3, Т = 150 эВ и В = 2 Тл величина вм = 1107, что означает необходимость учета флуктуаций магнитного поля.
В данной работе приводятся численные расчеты характеристик турбулентной динамики плазмы в плоском пристеночном слое токамака. Расчеты сделаны на основе решения нелинейных квазидвумерных редуцированных уравнений Брагинского с учетом электромагнитной динамики электронов и нелинейной модификации параллельного оператора за счет флуктуаций магнитного поля (эффект магнитного флаттера). В работе изучаются зависимости турбулентных потоков от температуры "пьедестала" плазмы. Показано, что с ростом температуры турбулентный поток частиц сначала уменьшается до тех пор, пока плазма находится в электростатическом режиме и затем с переходом в область электромагнитного режима начинает расти. В то же время турбулентный поток тепла с ростом температуры монотонно увеличивается.
Проведенные расчеты зависимости турбулентных переносов от величины тороидального магнитного поля показали, что в рассматриваемой области параметров пристстеночная турбулентность проявляет при высоких величинах тороидального магнитного поля В0 гиро-бомовский скейлинг, который при уменьшении поля плавно переходит в скейлинг Бома. Приведены также расчеты скейлингов турбулентных переносов от величины магнитного шира и исследована роль зонального магнитного поля Ву0. Расчеты проведены на основе численного кода, который представляет электромагнитную версию кода, рассмотренного в [2].
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В [3] недавно проведен вывод редуцированных двухжидкостных уравнений Брагинского. Ис-
пользуя эти результаты в предположении Т. <§ Те и пренебрегая продольной скоростью ионов щ = 0 где г* = и термотоком, получим следующую систему 4-х полевых {ф, п, Те, А} нелинейных МГД-уравнений, т ^
описывающих поведение низкотемпературной п = — плазмы в пристеночном плоском слое токамака:
'Э W
т 1 ^ + УЕ ■ — W У =
вV,,/,, 2 дРе . пг
= --""---¡--^ + тпц1А1 W,
с Я0 ду
дП + Уе • — п = ^ + 2ПС-д- + 0±А±п, д г Е е Яо В ду ± ±
дТе „ Л
+ УЕ • —Те) = ^^
д г Е е) еп
+2Т М+*АТ'+V||(X||V|T• ) •
1дА = - п^ + Ъь
с дг
еп
11, = _4ПW = ВВ— ■(п—^•
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Б = Бед + ЬШгЬ• ЬШгЬ = —А Х ег•
Бел = В0
1 --
Я,
ег + —Г-е у
г Я (X) у_
(6)
нитного полей
„ = с [ Б X — ф ] А =
, ' Е = 2 , А± =
+
В
д X д у
Р^ «с
, Р^ = ЮТ, У* =
еВ
, Юс е = - ,
т. 'е т1ес
, \е, - частота электрон-ионных соударе-
е по
ний, х* - ширина расчетного слоя. Значения нормировочных величин для плотности и электронной температуры принимались равными п* = 1013 см3, Т* = 100 эВ. После процедуры нормализации и
выделения из нелинейного конвективного члена нулевых гармоник (см. ниже) система (1)-(5) преобразуется к виду
ВМ = - Ъ } _ Цуо д^
В г 11 Р ду
+ р( N о иу о)" дФ-
_ Я в др + Ц±А±W •
^ = _ V/_Чу>д» + N 0ддф + Вг 11 р ду 0 ду
+ gвN о|- + •
и у о д Т , дф
(7)
(8)
ВТ = _ Тео Ъ 1___
вг N0 Ъ| 1 р ду +Те0 ду
+ Т, +
При выводе (1)-(5) считалось, что магнитное поле токамака в декартовой системе координат (х, у, г) имеет вид
+ ЯвТео дф + V, |(Х| ЪТ) + х±А±Т,
Здесь Беч - равновесное магнитное поле токама- Здесь ка, я - коэффициент запаса устойчивости, £ = г/Я0 г - малый и Я0 - большой радиусы токамака. В уравнениях (1)-(6) п(х, у, г), Те(х, у, г), ф(х, у, г), А(х, у, г) - плотность, электронная температура, электростатический и векторный потенциалы, описывающие колебания электрического и маг-
одА „ , V,,р
% = п1 _ _ •
/ = А± А, W = р2—(N 0—ф) •
В = д- + {ф}, {А, в} = ег—А X — В,
(9)
(10) (11)
Р
Р^
х * 3.16Юе;
2 х* р = 4Пп * Т *
Я
в
по
Юс
', Р = Те0п + N0T. Отметим, что безраз-
0у
с радиальным электрическим полем соотношени-
сЕх дфо
Р -д— ; ионным давлением в силу
ем иу0 = -во У
о*
V, , = Ь ■ —, |!±, Въ , , - диссипативные коэффици- мерная полоидальная скорость ионов и0у связана енты.
Систему (1)-(5) удобно привести к безразмерному виду, используя следующее преобразование переменных:
г —- г/г*, (х, у) —► (х/х*, у/х*), ф —► еф/Т*, п —- п/п*, Т —- Те /Т*, А —- А /А*,
А* = вдх*Р, я, , —► ,/(п*Т*У*), ку —► кух*,
предположения Т. < Те в данных расчетах прене-брегается.
В работе используется квазиспектральный подход, основанный на методе Галеркина. Все зависимости / = {п, ф, Т, А} выбирались в виде суммы спиральных волн с одной спиральностью, то есть
2
2
f(x, У, z, t) - У fky, kz (x, i)exp[i(kyy - где kz /ky - const. В этом случае, как известно, решение трехмерной задачи сводится к решению двухмерной. Перейдем к новой винтовой переменной kz
Y —► y - — z и будем считать, что для любой из
Ky
вышеуказанных функций f справедливо разложение в ряд Фурье
f (x, Y, t) = f о (x, t) +
M
3No ^ ЭГ _ _ !h+dX = Do
э2 N о
д x
д Teo d( Q + q„) x +-""- = Xo
dt
dx
dT
д x2
д U
yo дП _
эТ + "д! =
д2 и
д x
yo _ v U
2 vNEQUyo'
д B
yo
д t
д x2
д дв
" дxno дx
yo
(13)
(14)
(15)
(16)
Для коэффициентов диффузии 00 и теплопроводности х0 использовались неоклассические величины в режиме плато. Величина \"пео рассчитывалась по формуле
3/2 ,1 , , 1 3/2 '
£ (1+ V *)( 1+ £ V* )
V * =
qRVt,
3/2
£ v;,
V||f = V||o f - pao^, + Pfo"^-PI A, f }.
(17)
резонансной точке кг /ку = £/#(хге8), представить выражение для У||0 / в виде
V|| o f =
д/ + f
q( x)дy дz L = q"Ro
: X (x xres)
_ rq
f
(18)
q
С учетом второго члена из (17) формула для Уц принимает вид
(12)
+ X [/т(х, ^п(ткуоУ) + /ст(х, г)ео8(тку0У)].
т = 1
Здесь ку0 = т^/а, а - малый радиус токамака, т0 - минимальный номер моды. Подставляя (12) в систему (7)-(11), получим систему уравнений для полоидальных гармоник {/8т, /Ст}.
Уравнения для для нулевых гармоник (обычно называемыми фоновыми величинами) /0 = иу0, Те0, А0} нетрудно получить, проводя усреднение уравнений (7)-(10) по У и добавляя в правые части необходимые диссипативные и источнико-вые члены. В результате имеем:
V = 4 + f«A.f}, ,
= р
дА
д Y'
(19)
где
У|| = - J* (x - xres) + Byo,
Byo = -Р Ao. (20)
Принимая во внимание (19), уравнение (10) запишем как
дА
+ Vyod4 + {ф, А }--1 { Р, А }
р д Y
No
(21)
noJ - у"д?(ф - Р/No)'
из [4].
Оператор дифференцирования в продольном направлении с учетом нулевых гармоник можно записать как
"> ду+в / о-1
Наличие волн одной спиральности позволяет для тонкого плоского слоя, используя разложение в
Ууо = и у 0+ УуОе, УуОе — -р(к< N'0 + Т'е«). (21а)
Заметим, что входящая в уравнение индукции скорость Уу0, соответствует полоидальной скорости электронов и представляет сумму полоидальных скоростей ионов и дрейфа электронов. Чтобы убедиться в этом, достаточно вычислить диамагнитный ток ]у из уравнения равновесия j х В = = с—ре (напомним, что р, = 0). Вычисления дают
• = ( - ) = с Сре
]у — еп( и ¡у иеу) = В с1х
После процедуры нормализации из полученного равенства следует соотношение (21а) с Уу0 =
= иеу/у^, иу0 = Щу/у^ и УуВе = - N ср0 , Ре0 = N0Te0.
Из (20) следует, что к хорошо известному члену ~Ах/Ь5, ответственному за стабилизацию неустойчивости широм магнитного поля, добавляется член, связанный с магнитным полем Ву0, возникающим за счет генерации нулевой гармоники векторного потенциала А0(х, г). Как будет показано ниже, наличие этого члена в формуле (20) для уц приводит к росту турбулентных потоков.
Выражения для турбулентных потоков, входящих в уравнения (13)-(16), имеют следующий вид:
поток частиц Г = <пУх )У + {Ъх1)У,
поток тепла 2 — (ТУх) У + (ЪХЛ) У,
5
s
Р
v=
v neo
поток импульса П = р<VxVY)Y— jep<bxbY)Y, поток продольного теплового потока
2, dTe
?!! = -Х||
YI |<bxTY)Y + <b2)Yd0-<bx{A, T})
поток продольной компоненты векторного
потенциала ГА = в A ----- (р/N0- ф)
д У / y
Угловые скобки означают по периодической
коор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.