ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 12, с. 1074-1083
НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
УДК 533.951.3
АЛЬФВЕНОВСКАЯ ИОННО-ЦИКЛОТРОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЙ ЛОВУШКЕ С НАКЛОННОЙ ИНЖЕКЦИЕЙ БЫСТРЫХ АТОМОВ
© 2014 г. Ю. А. Цидулко, И. С. Черноштанов
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, Новосибирск, Россия
e-mail: cherivn@ngs.ru Поступила в редакцию 03.06.2014 г.
Исследуются условия возникновения альфвеновской ионно-циклотронной неустойчивости и пространственная структура неустойчивых мод в открытой аксиально-симметричной ловушке с наклонной инжекцией быстрых атомов. Показано, что основной вклад в неустойчивость вносит инверсная заселенность ионов в области пространства скоростей, куда производится инжекция. С помощью аппроксимации функции распределения быстрых ионов, полученной из приближенного решения уравнения Фоккера—Планка, в рамках ВКБ-приближения построены зависимости порога неустойчивости по от геометрических параметров, параметров инжекции и мишенной плазмы. Продемонстрирован существенный рост границы устойчивости при уменьшении радиуса горячей плазмы до размеров сравнимых с ларморовским радиусом быстрых ионов. Показано, что поле возмущения в окрестности оси и в периферийной плазме может вращаться в противоположные стороны, что важно для интерпретации экспериментальных данных.
DOI: 10.7868/S0367292114120075
1. ВВЕДЕНИЕ
Альфвеновская ионно-циклотронная неустойчивость (АИЦН) может развиваться в замаг-ниченной плазме с анизотропным распределением ионов и приводит к генерации циркулярно поляризованных волн с частотой порядка ионной циклотронной, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля. Большое число теоретических работ посвящено изучению порога развития АИЦН в случае бимаксвелловской плазмы [1—3], который соответствует поперечной инжекции нейтральных пучков [4, 5] либо мощному ИЦР-нагреву [6]. Случай с наклонной инжекци-ей ионов в пренебрежении поперечной неоднородностью и с использованием модельных функций распределения ионов рассматривался в [7, 8].
В настоящей работе численно исследуется граница АИЦН в неоднородной в продольном и поперечном направлениях плазме с плещущимися ионами в ВКБ-приближении и строится пространственное распределение возмущения полей. Равновесная функция распределения ионов, близкая к той, что реализуется в эксперименте [9] (геометрия эксперимента приведена в [10]), находится в результате аппроксимации решения приближенного уравнения Фоккера—Планка. Краткое изложение используемых подходов было представлено в [11]. По сравнению с [11], в дан-
ной работе детально изложена и уточнена методика вычислений, подробнее изучена зависимость границы устойчивости от параметров задачи, а также рассмотрено поведение возмущений в периферийной плазме.
План изложения следующий. Предварительные простые оценки, определяемые условием наличия инверсной заселенности, приведены в разд. 2. В разд. 3 описана используемая аппроксимация функции распределения ионов и дисперсионного соотношения. В разд. 4 представлена процедура построения усредненной поправки Перлстейна—Берка [3] для учета влияния поперечной неоднородности и описаны некоторые детали ВКБ-решений. Результаты численного поиска границы устойчивости в зависимости от геометрических параметров, параметров инжекции и мишенной плазмы представлены в разд. 5. Поведение возмущений полей в периферийной плазме обсуждается в разд. 6.
2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
В простейшем случае с к± = 0 антиэрмитова часть поперечной диэлектрической проницаемости пропорциональна интегралу
Рис. 1. Пример изолиний функции распределения (сплошные линии) и возмущенных траекторий ионов (жирные черточки). Вертикальные штрих-пунктирные линии — примеры резонансных линий для разных значений частоты. Области инжекции условно обозначены кружками.
JdvV (d + Q d V Jt■)
(1)
Vj=(®-o ci)/k, |
и определяется ионами со скоростями, удовлетворяющими условию циклотронного резонанса k\V\\ = ю- П ci. Здесь ю и k\ \ суть частота и продольный волновой вектор возмущения, Qci и шpi — ионная циклотронная и плазменная частоты, f — функция распределения ионов. Примеры двух резонансных линий, соответствующих двум различным значениям частоты возмущения, показаны на рис. 1 вертикальными линиями. В случае отсутствия возмущения траектории любого иона на плоскости (V\ ,V_l ) соответствует одна точка. При наличии возмущения ионы смещаются на плоскости (V| ,У±) вдоль дуг окружностей, показанных на рис. 1 жирными черточками. Наклон смещений легко найти из условия сохранения энергии
частицы V22 + (V\ - ю / k\ \ )2 = const в системе отсчета волны, где электрическое поле возмущения обращается в нуль (комбинация производных в скобках выражения (1) есть как раз производная вдоль смещения). Вклад резонансных ионов оказывается дестабилизирующим лишь при инверсной заселенности их траекторий, когда движение
в направлении роста энергии частицы ~V\ 2 + V± соответствует увеличению значения невозмущенной функции распределения (на рис. 1 из четырех показанных траекторий три дестабилизирующих и только верхняя правая стабилизирующая). Интегральный вклад в антиэрмитову часть диэлектрической проницаемости оказывается стабилизирующим для всех резонансных линий, подобных правой вертикальной линии на рис. 1,
поскольку из-за множителя Vj2 вклад стабилизи-
рующих траекторий превышает вклад дестабилизирующих. Только для резонансных линий, расположенных левее точки инжекции, суммарный вклад резонансных частиц оказывается дестабилизирующим (левая резонансная линия на рис. 1). В этой области дц/ > 0 для любой поперечной скорости, и поэтому интеграл от первого члена в скобках выражения (1) может превышать всегда отрицательный вклад второго слагаемого. Таким образом, существует простое приближенное соотношение между параметрами волны и инжекции |©-П ci| « kV j, где Vi inj - продольная скорость инжектируемых частиц. Отметим, что уменьшение питч-угла инжекции уменьшает дестабилизирующий вклад первого слагаемого в (1) (поскольку уменьшает поперечные скорости, при которых функция распределения заметно отлична от нуля) и, таким образом, способствует подавлению АИЦН.
Нерезонансные частицы дают основной вклад в эрмитову часть диэлектрической проницаемости, который можно грубо оценить как вклад холодной плазмы, что приводит к соотношениям
ш ~ кЦА и Qci/ю-1 ~ cotöVßl, где ß± есть отношение поперечного давления плазмы к давлению магнитного поля, 0 — питч-угол инжектируемых частиц и VA — альфвеновская скорость. Эти оценки в сокращенном виде приведены в [11].
Отметим, что аналогичный анализ возможности инверсной заселенности в случае бимаксвел-ловской плазмы с продольным и поперечным давлениями p < pL приводит к известному [1, 2] неравенству Re(w) < Qci(1 - py /p±), ограничивающему частоту неустойчивости.
Возможность интегральной инверсной заселенности траекторий резонансных ионов — необ-
о
ходимое, но недостаточное условие развития неустойчивости. В случае неоднородной плазмы область генерации волны должна быть больше или порядка длины волны возмущения, а отдаваемая резонансными частицами энергия должна превосходить энергию, уносимую уходящими волнами [11]. Количественному анализу необходимых и достаточных условий возбуждения неустойчивости в рамках ВКБ-приближения посвящены следующие разделы.
3. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ДИСПЕРСИОННОГО СООТНОШЕНИЯ
В качестве невозмущенной функции распределения быстрых ионов используется стационарное решение приближенного уравнения Фокке-ра—Планка,
1 д
f ___
dt т dV2 dV
(v3 + V3f
sin 290 д f f
dY2
+ S, (2)
T ex
G(X, Y) =
H (1 - X)
exp[-(Y - Y,)2/w2(X)] x (3)
w(X)
:((3/2 + Xc3/2 f^-1,
где H (x) — функция Хэвисайда, Rm — пробочное отношение ловушки, V¡nj = 2Einj ¡m¡ — скорость, определяемая энергией инжекции, 0О и 58 — питч-угол и полуширина углового разброса инжекции, 7о = sin2 0о, Xc = V2¡V2 и
w(X) = sin20(
2 Пе in
3 nc
fi + X3/2,v3/2 ^
2 /X3
1 + X,
3/2
+ 802
где Y = sin2 Q/R, 9 - питч-угол, R = B/B(z = 0) -текущее пробочное отношение вдоль баунс-тра-
ектории, тd = 3m¡T^2¡4^2nmeAe4ne — время торможения на электронах, тех — время потерь ионов за счет перезарядки на атомарных пучках,
т0 = m2V 3/2тсАе 4ne — время углового рассеяния на
ионах, Vc = (9nme2n,2 /16m2ne2)1/6A/2Te /me — скорость, при которой время торможения на холодных ионах сравнивается с торможением на электронах, ne и nc — плотности электронов и холодных ионов в центре ловушки, S — источник, определяемый инжекцией. Переменные в (2) связаны с
интегралами движения ионов: E = m,V /2 и ц i = YEi /B0. Поэтому решение уравнения (2), выраженное через интегралы движения, дает функцию распределения в любой точке баунс-траекто-рии. В отличие от точного уравнения, в уравнении (2) пренебрегается диффузией по энергии и членом с первой производной по углу. Кроме того, вместо коэффициентов торможения и угловой диффузии, усредненных по баунс траектории, используются коэффициенты, не зависящие от Y. Это позволяет найти несложное решение, обращающееся в нуль на границе конуса потерь:
f. = (G(V2/V2j,Y) - G(V2/Vjl/Rm - Y)) X X H(Y - 1/Rm),
есть эффективная угловая ширина распределения. Решение уравнения (2) с граничными условиями / = 0 при V ^ да, Y = I/Rm и dy.fi = 0 при Y = 1 представимо в виде сходящегося ряда, аналогичного ряду, используемому в [12]. (Последнее граничное условие означает отсутствие диффузионных потоков в рамках уравнения (2) через границу с нефизической областью У > 1.) Члены ряда представляют собой функцию О и ее многократные отражения от границ У = 1/и У = 1, взятые с чередующимися знаками. (Функция
0(У2обращающаяся в нуль при У = ±да, является решением (2) с источником
- ^)ехр[—У - У0)2/(80sin20o)2]. Решение (3) представляет собой сумму первых двух членов этого ряда. Оно обращается в нуль на границе конуса потерь и является четной функцией продольной скорости. Отличие (3) от полной суммы
/ -80"\
ряда экспоненциально мало (~е ) при значениях энергии, сравнимых с энергией инжекции, а при малых значениях энергии является величиной порядка погрешности, возникающе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.