Автоматика и телемеханика, № 9, 2009
РЛСЯ 02.30.Yy
© 2009 г. А.Г. АЛЕКСАНДРОВ, д-р физ.-мат. наук (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ НЕГРУБОСТИ1
Исследуются системы с малыми запасами устойчивости по фазе и модулю (негрубые системы). Получены условия для корней и коэффициентов характеристических полиномов разомкнутой и замкнутой негрубой системы. Используя эти условия найдены границы областей размещения полюсов модального управления, обеспечивающего грубость системы.
1. Введение
В исследованиях по анализу устойчивости систем управления при параметрических возмущениях можно выделить два направления.
В первом направлении, которому посвящена эта работа, используются запасы устойчивости по фазе (ф) и модулю (Ь) [1], которые определяются на основе параметрически невозмущенной системы. Запасы устойчивости, которые могут быть определены экспериментально, как правило, проверяются при проектировании и испытаниях систем управления [2]. Малые их значения по сравнению с допустимыми (ф ^ 45°,Ь ^ 2) являются признаком того, что система может потерять устойчивость при малых отклонениях параметров объекта от расчетных значений.
Во втором направлении возмущения описываются заданным множеством возможных значений параметров объекта управления, и если система сохраняет устойчивость при всех параметрах из этого множества, то она называется робастно устойчивой. Часто это множество описывается интервалами возможных значений параметров и ищутся оценки границ этих интервалов. Большое число работ и, в частности, монографии [3-4] посвящены этому направлению. Однако ответ на вопрос, является ли система робастно устойчивой, сталкивается с серьезными трудностями.
На качественном уровне связь этих направлений выражается в том, что малые запасы устойчивости по сравнению с допустимыми являются признаком того, что интервалы робастной устойчивости пренебрежимо малы по сравнению с номинальными значениями параметров.
В этой работе рассматриваются системы, запасы устойчивости которых меньше допустимых. Такие системы называются негрубыми. Задача состоит в том, чтобы найти соотношения для корней и коэффициентов характеристических полиномов разомкнутой и замкнутой негрубой системы. Полученные соотношения названы алгебраическими условиями негрубости. Для них найдены границы областей размещения полюсов модального управления, обеспечивающего грубость системы.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-08-01177 и проект № 05-01-00114).
2. Постановка задачи
Рассмотрим асимптотически устойчивую систему, описываемую уравнениями
(1) у{п) + dn-iy{n-l) + ... + doy = кт и{т) + ... + к0 и, т<п,
(2) и{пс) + 5пс-1 и{п*—1) + ... + дои = гтаy{m) + ... + roу, тс < пс,
где y(t) - измеряемый выход объекта (1), и(~Ъ) - управление, формируемое регулятором (2), коэффициенты системы имеют вид
di = di + Adi, hj = hj + Ahj, др = др + Адр,
W)
Arq, г = 0, n — 1, j = 0, то, p=0,nc, q = 0,mc
где di, kj, gv, rq (i = 0,n —1, j = 0, то, p = 0,nc, q = 0,mc) - известные числа, называемые номинальными (расчетными) значениями коэффициентов системы, Adi, Akj, Адр, Аrq, г = 0, п — 1, j = 0,то, р = 0,пс, q = 0,тс - неизвестные числа (параметрические возмущения).
Параметрически невозмущенная система записывается как
(4) d(s)y = к(,з)и,
(5) д(.)и = r(s)y,
п-1 т пс тс
где d(s) = sп + disi, h(s) = hisi, g(s) = gisi, r(s) = risi, s - символ диф-i=0 i=0 i=0 i=0 ференцирования либо символ преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях. Ее характеристический полином записывается как
(6) ф(s) = d(s)g(s) - h(s)r(s) = sп + ф,
п3 — 1
s.
o
Характеристический полином разомкнутой системы, являющийся произведением характеристических полиномов объекта (4) и регулятора (5), имеет вид
п+пс—1
(7) ф)= d(s)g(s) = s^ + ]Т Vi si
i=o
а соответствующая передаточная функция разомкнутой системы записывается как к(.з) г(.з)
(8) w(s) = -
d(s) g(s)'
Предполагается, что числитель и знаменатель этой функции не имеют общих корней.
Запасы по фазе и модулю определяются по передаточной функции (8). Их допустимые значения (в частности, ^ = 45°, Ь = 2) получены эмпирически на основе многолетнего опыта проектирования и эксплуатации систем автоматического управления. Они являются неким постулатом теории автоматического управления. Передаточная функция возвратной разности системы
(9) «(*) = [1 + Цз)] - ^
V(s)
служит для определения радиуса (г) запасов устойчивости системы:
(10) г2 = М v(—jш)v(jш).
Радиус запасов устойчивости является обобщением понятий запасов устойчивости по фазе и модулю. Так, если г = 0,75, то запас по фазе ф = 42°, запас по модулю Ь = 1,75. При г = 1 ф = 60°, Ь = 2.
Заметим, что выражение (10) дает также "радиус запасов устойчивости" неустойчивой системы, и поэтому далее при использовании этого выражения подразумеваются только асимптотически устойчивые системы.
Определение 1. Система (1), (2) называется негрубой, если для ее радиуса запасов устойчивости выполняется неравенство
(11) г<г*,
где г* = 0,75, и грубой, когда
(12) г ^ г*.
Неравенство (11) является частотным условием негрубости, так как для его проверки необходимы частотные характеристики системы.
Условия для корней и коэффициентов полиномов ^(в) и ф(в), при которых выполняются неравенства (11), будем называть алгебраическими условиями негрубости. Задача состоит в том, чтобы найти такие условия.
3. Условия негрубости системы
Запишем характеристические полиномы (6), (7) как
а 1 Й1+Й2
(13) ф(в) = + вг) (в2 + + в?), вг > 0, ¿ = 01+1,01+02,
¿=1 г=а1 +1
О! + 2а2 = П + Пс,
аз аз+а4
(14) -ф(в) = П +2СгРгв+Р1), Рг > « = «3 + 1, а3 + а4,
¿=1 ¿=аз + 1
«3 + 2а4 = п8,
где г = а\ + 1, а\ + аг, и ] = аз + 1, аз + а4 - декременты затухания, абсолютные значения которых меньше единицы.
Корни этих полиномов, обозначаемые как г = 1, п + пс и pj, ] = 1,п3, имеют вид
— в¿, 1 — 1,О1,
(15) За1+2г_1 = ~ ~ ) $а1+г,За1+2г =
= (-Са1+г +3^ ) 1+г, г =
Рг = Рг 7 г = 1,«3,
(16) Раз + 2г-1 = ("Саз+г ~ 3 1 ~ Са3+г ) Раз+г , Ра3+2г =
= ("Саз +г +3\] 1 - Саз+г ) Раз+г, г = 1,а4.
Нетрудно видеть, что
^ |5а1+2г-1 | = |5а1+2г| = ка1+г|, (г = 1,а2),
|Ра.3+2г-1 | = |Ра3+2г| = \Pa3+i |, « = 1,в4.
Сформируем с учетом выражений (13)—(17) самосопряженную функцию возвратной разности
Ф(-Зш)Ф(Зш)
(18)
аз о3+а4
П(ш2 + рЬ п [ш4 - Ш - 2фш2 + р4]
¿=1 ¿=аз + 1
а1 а1+а2
П(ш2 + «2) П Ш - 2«2(1 - + «4]
¿=1 ¿=а1+1
Рассмотрим системы, у которых степень полинома ф(з) удовлетворяет неравенству
(19) п8 < п + пс.
Такие системы возникают при равенстве коэффициентов при старших степенях полиномов ¿(.з)д(.з) и к(.з)г(.з) выражения для характеристического полинома системы, которые взаимно уничтожаются, что приводит к неравенству (19).
Утверждение 1. Если для степеней характеристических полиномов выполняется неравенство (19), то система (1), (2) является негрубой: г = 0.
Доказательство. При условии (19) из выражения (18) следует, что при ш = те
(20) = 0
и поэтому г = 0.
Далее будем полагать
(21) па = п + пс.
Ниже приводятся утверждения 2-5, которые дают достаточные условия негрубости. Это означает, что если ни одно из них не выполняется, то нельзя сделать заключение о грубости или негрубости системы.
Утверждение 2. Если произведение квадратов модулей корней замкнутой системы в г*2 раз меньше аналогичного произведения корней разомкнутой системы:
аз аз + а4 а1 а1+а2
(22) Пр2 П ^¿14 <г*2П.2 П I*I4'
¿=1 ¿=аз + 1 ¿=1 ¿=а1 +1
то система (1), (2) является негрубой: г < г*.
Доказательство. При ш = 0 функция (18) принимает значение
аз аз+а4
Пр2 П р4 (23) К.О)!2^;1 т;;:1 , П«2 П «4
¿=1 ¿=а1 +1
которое с учетом равенств (17) доказывает утверждение.
Рассмотрим полиномы с комплексными корнями, входящими в числитель функции (18),
(24) Ф(Ш2) = (и,4 - 2р2з+,(1 - 2С23+>2 , г = —А. Каждый из этих полиномов достигает минимума на частотах
(25) ^=Раз+{( 1-2С2з+^)1/2, г=Т^1. В частности, на частоте —1
аз аз+а4
< + 1^аз + 1(1 - Са2з + 1) П (-12 + Р?) П (^ - ^К1 - 2С2Н + р!)
(26) КМ)|2 =-^-^--■
П(-2 + *2) П (-!-2*2(1 -2®-2+Ф
г=1 г=а\ +1
Из этого выражения следует, что всегда существует число С**з+1 такое, что 1^(^011)1 < г*. Аналогично находим числа Са3+г> г = 2, а4. Таким образом доказано следующее.
Утверждение 3. Если характеристические полиномы системы не имеют общих комплексных корней:
(27) Piфsk, к = а\ + 1, а\ + а2, ¿ = аз + 1,аз + а4
и для декрементов затухания замкнутой системы выполняется хотя бы одно из
неравенств
(28) Саз-и < Саз-И> «е1,а4,
то система (1), (2) является негрубой: г < г*.
Пусть характеристический полином разомкнутой системы содержит доминирующий коэффициент, который определяется следующим образом.
Определение 2. Коэффициент / <Е О,п3 называется доминирующим, ес-
ли
,оп, /ео,п8, 0<»7<1,
(29) 1 1
где фг и rфi, г = 1,п3 - коэффициенты полиномов = и = .
о о
Введем понятие степени доминирования.
Для этого запишем самосопряженные характеристические полиномы.
п3 п3
(30) а(ш2) = ф(-ош)ф(ош) = ^ а2р-2р, Ь(ш2) = ф(-3-)ф(з-) = ^2 Ь2р-2р,
р=0 р=0
где
(31) а2р = ]Г(-1у+^-, Ь2р = ^2(-1У+Р<Рт, ар = {г,з:г+з = 2р, =
ар ар
Введем числа
п3 п3
(32) Са = ^2 а2р, сь = ^2 Ъ2р.
оо
Определение 3. Число
(33) Pf = -, / е o,ns сь
называется степенью доминирования коэффициента ipj, / <G 0,ns.
Утверждение 4. Если для степени доминирования коэффициента ipf, f G О, ns характеристического полинома разомкнутой системы выполняется неравенство
(34) р}<г*\ /6 0 ,п3,
то система является негрубой: г < г*.
Доказательство. Самосопряженная функция возвратной разности с учетом выражений (30) принимает вид
(35) v(-ju)v(ju)
Y^ a2pи2р Ф{~3и)ф{зш) = р=о_
<p(-ju)<p(ju>) g hp0j2p'
p=0
При ш = 1 получим равенство
(36) Ч-ЪХЪ') = -•
сь
Из определения 3 и неравенства (34) следует
(37) Ч-Ъ'МЪ') = Р! <г*2.
Поэтому г2 < г*2 и, таким образом, утверждение доказано.
Рассмотрим теперь случай, когда характеристический полином разомкнутой системы содержит доминирующий корень.
Утверждение 5. Если корн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.