научная статья по теме АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТОРИЧЕСКИХ КОМПАКТИФИКАЦИЙ Математика

Текст научной статьи на тему «АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТОРИЧЕСКИХ КОМПАКТИФИКАЦИЙ»

ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2013, No 4, с. 66-71

КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА -

УДК 004.92+004.94

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТОРИЧЕСКИХ КОМПАКТИФИКАЦИЙ

© 2013 г. A.A. Кытманов, A.B. Щуплев

Сибирский федеральный университет 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79 E-mail: aakytm@gmail.com, alexey.shchuplev@gmail.com Поступила в редакцию 25.08.2012

Приводится алгоритм компьютерной алгебры, вычисляющий параметры торической компактифи-кации C", в которую может быть вложено заданное гладкое торическое многообразие в виде "остова бесконечности". Такая компактификация аффинного пространства обобщает известное разложение Pn = Cn U P^ 1. Описывается реализация алгоритма в системе компьютерной алгебры Maple.

1. ВВЕДЕНИЕ

Известно, что комплексное проективное пространство Рп может быть представлено в виде компактификации афинного пространства Сп путем "подклейки" к нему проективного пространства Рп-1 на бесконечности. Гладкие тори-ческие многообразия, являющиеся, в свою очередь, обобщениями проективных пространств, также можно рассматривать как объекты, получаемые при компактификации афинного пространства подклейкой к нему бесконечно удаленных торических гиперповерхностей. Причем такая конструкция оказывается полезной при построении новых интегральных представлений и вычетов.

В свою очередь, торические многообразия кодируются веерами (наборами многогранных конусов) в Мп, являющимися достаточно простыми комбинаторными объектами. Рассматриваемые нами компактные торические многообразия полностью определяются по своим одномерным образующим - векторам и списком наборов векторов, задающих конусы максимальной размерности.

В статье приведен алгоритм, который по вееру £ торического многообразия X^ строит веер £ объемлющего многообразия Х^, так что Х^

есть пересечение всех бесконечно удаленных то-ричских гиперповерхностей в Х^.

Данный алгоритм был реализован в системе компьютерной алгебры Maple 12, результаты вычисления рассмотрены на примерах, приведенных в последнем параграфе.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

Широко известное представление проективного пространства Pn+1 = Cn+1 U Pn как аффинного пространства Cn+1 с "подклеенным" на бесконечности проективным пространством на единицу меньшей размерности Pn может быть проинтерпретировано следующим образом. Пусть l - прямая в Cn+1; ее замыкание I в Pn+i пересекает бесконечно удаленное проективное пространство Pn = Cn+1 \ {0}/ ~ в точке [l],

l

ния эквивалентности Таким образом, понятие проективного пространства неразрывно связано с теорией линейной (одномерной) перспективы.

Такая интерпретация проективного пространства является частным случаем более общего факта теории торических многообразий: гладкое симплициальное торическое многообразие может быть вложено в объемлющее торическое многообразие подобным образом, позволяющим говорить о многомерной перспективе.

Точнее, пусть полный веер £ в Rn содержит по крайней мере один простой n-мерный конус (то есть конус, минимальные целочисленные об-

разующие которого являются базисом Мп), тогда верна следующая

Теорема 1 (А. Щуплев, А. Цих, А. Ижер, [1]). Пусть Е - симплициальный полный веер в Мп с й образующими. Тогда существует й-мерное силтлициальное компактное, торическое многообразие

Х£ = С и (XI и ■ ■ ■ и Хг)

и набор бесконечно удаленных торических гиперповерхностей Х",..., Хг таких, что их пересечение Х1 П ■ ■ ■ П Хг изоморфно X£. Более того, для любой точки £ € С \ 2(Е) С Х^ замыкание С ■ ( ее орбиты в Х^ пересекает, этот "остов бесконечности" Х1,..., Хг в единственной точке, соостветствующей £ относительно действия С на С \ 2(Е).

Проиллюстрируем это утверждение примером вложения Р1 х Р1 в

Р2 х Р2 = С4 и (Х1 и Х2)

в виде пересечения гиперповерхностей: Х1 = х Р2 и Х2 = Р2 х Веер Е, соответству-Р1 х Р1

рис. 1), а множество 2(Е) = Е13 и Е24, где Е13 = 1С1 = Сэ = 0} и Е24 = (С2 = С4 = 0}. Вза-

С4

жено на рис. 2.

Рис. 1.

Доказательство. Построим по данному вееру Е веер Е в и, таким образом, соответствующее торическое многообразие

Рис. 2.

Без потери общности мы можем предполагать, что простой конус в Е, упомянутый в теореме, порожден базисом у = е1,..., уп = еп пространства 2п С Мп. Рассмотрим в 2й = 2п+г следующие й + г векторы:

Е1 = (е1, 0"), Еп+1 = (0', е?), Еп+1 = (^п+1, -е"),

Еп = (еп, 0''), Еп+г = (0', еГ'), (1) (^п+г, -еГ'),

где (е1,..., еГ') обозначает базис пространства Мг, а 0', 0'' - нейтральные эле менты 2п и соответственно. Эти п + 2г различных векторов порождают = Мп+Г как векторное пространство; они будут порождать одномерные кой Е

описать как эти одномерные конусы порождают

й Е

Пусть I := {1,..., п} и 3 := {п+1,..., п+г}. Определим й-мерпый конус веера Х^ в три этапа:

• выберем п-мерный конус а = (-ит1, ) веера Е и разобьем множество индексов {т1,..., тп} на два подмножества

К := {т1,..., тп}П1, Ь := {т1,..., тп}П3;

ние 3 \ Ь на два непересекающихся подмножества получив упорядоченное разбиение {ф, 5} о£ 3 \ Ь;

• определим й-мерный конус как

£ = (-к, ёь, ёд, г^, ёь). £

всех таких ^-мерных конусов £ со всеми их гранями. Верно следующее утверждение [1].

£

полным симплициальным веером в Мп+г; более

того, если все конусы £ простые, то и все ко-£

Сравним действия групп О и (£ на С \ 2( £ ) и С^+г \ 2( £), соответственно. Заметим, что каждое соотношение

+-----+ = 0

между образующими г1,..., веера £ определяет соотношение

£1 +-----+ + Дп+1 £¿+1 +-----+ Дп+г = 0

между образующими

£ = £, г = 1, . . . , П,

= £-*+?, 3 = 1,..., г, £к, к = п + 1,..., й

£

шетки соотношений между г1,..., состоит из векторов

д1 = (дш..., = р1 ф д1 е ф = (^п,..., М = рг ф дг е ф

то в качестве базиса соотношений между

£1,..., £(|+г можно взять векторы Д1 = р1 ф д1 ф д1,

Тогда действия групп, фигурирующие в определениях многообразий Xg и Xg, связаны между собой:

G = (Ap, Aq) = (Ap1... Ap1,..., A?n ... Apn,

A?1... А?Г,..., A?1 ...Aqr),

G = (Ap, Aq, Aq).

Рассмотрим теперь координатную карту U — Cd многообразия Xg, соответствующую конусу (ё/, ё/), с локальными коордипатами Z = (Zi,..., Cd)- В однородных координатах £ многообразия Xg эта карта определена условием

£d+i = 0,..., £d+r = 0,

а каждый класс в U имеет представителя вида (а, 1,..., 1) в Cd+r \ Z(ё).

Пусть а £ Cd \ Z( £ ) С U С Xg, тогда для любого фиксированного g = (Ap, Aq) £ G и соответствующего ему ё = (Ap, Aq, Aq) £ G получаем g ■ а = [(g ■ а, 1,..., 1)]G =

[ё ■ (а, A-q)]ö = [(а, A-q)]ö,

где [■] обозначает класс элемента относительно действия группы, указанной в нижнем индексе. То, что A-q = (A-1,..., A-1), означает, что

lim g ■ а = lim [(а, A-q])]G = [(а, 0,..., 0)]G.

Ai^TO G G

Ar ^TO

Обозначая

Ai^TO Ar ^TO

= рг ф дг ф дг.

Заметим, что векторы д1,..., дг можно выбрать так, что они образуют единичную матрицу. Свяжем с каждой одномерной образующей £

образом

£? <—> , 3 = ^ ..., ^

ёп+.? <—> £d+j, j = 1,..., г.

X? = = 0}, 3 = 1,..., г,

мы получим, что замыкание орбиты О ■ а точки а е С \ 2 ( £ ) пересекает

Х1 П ■ ■ ■ П хг = {<^+1 = ■ ■ ■ = С^+г = 0}

в единственной точке [(а, 0,..., 0)]с = ([а]с, 0,..., 0), соответствующей классу [а] с е Х^. С другой стороны, каждая точка а е С \ 2( £ ) естественным образом соответствует единственной точке (а, 0,..., 0) е С^+г \ 2( £), так что имеется изоморфизм

ХЕ ~ Х1 П ■ ■ ■ П Хг.

Геометрическая конструкция, приведенная в теореме, оказывается полезной при построении новых интегральных представлений и новых конструкций вычета ([2], [3]).

3. АЛГОРИТМ

Алгоритм BigVariety (vec_lisi, cone^list) Input: Список векторов - одномерных образующих заданного торического многообразия vec_list, список индексов векторов, порождающих конусы максимальной размерности заданного торического многообразия cone_lisi. Output: Список векторов - одномерных образующих объемлющего торического многообразия, в которое вкладывается заданное, список индексов векторов, порождающих конусы максимальной размерности объемлющего торического многообразия

Шаг 1. Построение одномерных образующих, for i torn 1 to n do

добавить в vec_lisij (d — n) нулей end do

for i torn n + 1 to d do

ej := пустой вектор ei := добавить в ej (i — 1) нулей ej := добавить в ei элемент 1 ei := добавить в ej (d — i) нулей end do

for i torn n + 1 to d do

Vj := добавить в vec_lisij (d — n) нулей Vj := Vj - ej end do

Шаг 2. Построение конусов максимальной размерности. I := {1,...,n} J := {n + 1,...,d}

for i torn 1 to число элементов в cone_lisi do К := пересечение cone_lisij и I L := пересечение cone^lis^ и J QS := Split (J \ L)

for j torn 1 to число элементов в QS do KLQS := добавить в KLQS список элементов [К, L, QSj ] end do end do

for i torn 1 to число элемен тов в KLQS do

EV := добавить в EV список элементов [(KLQSj)i U (KLQSj)2 U (KLQSj)s,

(KLQSi)2 U (KLQS^]

end do

CL := пустой список

for ^m 1 to число элементов в EV do

cone := пустой список

for j torn 1 to чисто элементов в (EV)2 do cone := добавить в cone элемент ((EVi)2)j +

d — n

end do

CL := добавить в CL элемент [(EVi)i, cone] end do

ret urn ([list of e^ to of г^], CL)

Вспомогательная процедура Split (set) получает на входе множество и выдает множество всех его разбиений на два подмножества, то есть список всех пар подмножеств Si, S2 таких, что Si U S2 = sei.

Split := procedure (sei)

S set

nS for i torn 1 to n do

ti := список элемептов [Si, set \ Si] end do

ti

end procedure

4. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА

Описанный алгоритм был реализован в системе компьютерной алгебры Maple 12. Полный код программы доступен по адресу

http ://aakytmanov.professorj ournal.ru/ c/document_library/get_file?p_l_id= 44865&folderId=172750&name=DLFE-28130.txt

Приведем пример задания входных данных программы.

Для торического многообразия с веером, заданным одномерными образующими

vi = (1,0),V2 = (0,1),гз = (—1, —1),

и двумерными конусами (конусами максимальной размерности), порожденными

(vi,V2), (г2,гз), (v3,vi),

основная процедура BigVariety будет использовать следующие входные данные

BigVarietyC[[1,0],[0,1],[-1,-1]],

[[1,2],[2,3],[3,1]]).

Компьютерная реализация алгоритма была протестирована на четырех примерах,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»