ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2013, № 1, с. 26-35
УДК 550.34
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА СИНТЕТИЧЕСКИХ СЕЙСМОГРАММ В СЛОИСТОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ МАТРИЧНОГО ИМПЕДАНСА © 2013 г. В. М. Павлов
Камчатский филиал Геофизической службы РАН, г.Петропавловск-Камчатский
E-mail: pvm@emsd.ru Поступила в редакцию 10.05.2012 г.
Предлагается новый алгоритм расчета полных синтетических сейсмограмм от точечного источника, являющегося суммой простой силы и диполя с произвольным тензором сейсмического момента в плоскопараллельной среде, состоящей из однородных упругих изотропных слоев. Следуя идее работы [Алексеев, Михайленко, 1978], вводится искусственная цилиндрическая граница, на которой формулируются граничные условия. Для такой видоизмененной задачи приводится и обосновывается точное представление решения (смещения и напряжения на горизонтальной площадке) в частотной области. Неизвестные коэффициенты, зависящие от глубины, образуют вектор движения-напряжения, компоненты которого удовлетворяют известной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система решается методом, предложенным ранее автором [2009] с применением матричного импеданса и пропагатора для вектора движения. По отношению к исходной задаче отражения от искусственной границы являются шумом, который в определенной степени может быть подавлен за счет достаточно большого расстояния до этой границы, а также наличия чисто мнимой добавки к частоте. Алгоритм не имеет ограничений на толщину слоев, применим при любых частотах, и позволяет, в частности, рассчитывать статическое смещение.
DOI: 10.7868/S0002333713010109
ВВЕДЕНИЕ
В статье приводится полуаналитический алгоритм расчета полных синтетических сейсмограмм, порожденных точечным источником являющимся суммой простой силы и диполя общего вида. Диполь характеризуется произвольным тензором сейсмического момента (ТСМ). Источник расположен в слоисто однородном упругом изотропном полупространстве.
Следуя идее работы [Алексеев, Михайленко, 1978], вводится искусственная цилиндрическая граница, на которой задаются определенные условия. Это позволяет получить представления для смещения и напряжения на горизонтальной плоскости в частотной области в виде рядов по дискретным волновым числам. Неизвестные коэффициенты образуют вектор движения-напряжения, компоненты которого удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Действие источника учитывается через скачки смещений и напряжений на горизонтальной границе, проходящей через источник. Эта система решается с помощью техники матричного импеданса, изложенной в работах автора [Pavlov, 2002; Павлов, 2009].
Хотя в статье [Павлов, 2009] случай простой силы фактически рассмотрен, явные выражения для решения в виде сумм по дискретным волновым числам не приведены. Поэтому в данной статье наряду с источником типа "двойной диполь" одновременно (в качестве слагаемого) рассматривается источник типа "простая сила", и для решения при таком комбинированном источнике приводятся явные формулы.
Наиболее близким аналогом алгоритма, изложенного в данной статье, является алгоритм, предложенный Фатьяновым [Фатьянов, 1990]. Основное отличие подхода, реализованного в данной работе (и статьях [Pavlov, 2002; Павлов, 2009]) заключается в том, что в работе [Фатьянов, 1990] используются потенциалы и аналог матричного импеданса — матрица переводящая вектор потенциалов в вектор производных по глубине от него, тогда как в данной работе потенциалы не привлекаются. Алгоритм принципиально отличается от других, существующих в настоящее время [Аки, Ричардс, 1983; Bouchon, 2003; Hisada, 1995; Kennett, 1983; Muller, 1985; Olson et al., 1984; Panza et al., 2001; Saikia, 1994; O'Toole, Woodhouse, 2012] (ссылки не претендуют на полноту).
Краткое изложение алгоритма приведено в заметке [Павлов, 2011].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим горизонтально слоистую среду, состоящую из полупространства (слой бесконечной толщины) и лежащей на нем пачки слоев. Слои считаются однородными и изотропными и изначально упругими; введение поглощения может быть осуществлено через фактор добротности при переходе к комплексным скоростям, зависящим от частоты [Аки, Ричардс, 1983]. Ниже используется декартова система координат с началом в "эпицентре" и осями: х — на север, у — на восток, г — вниз. А также связанная с ней цилиндрическая система координат г, ф, г.
Полагаем, что источник точечный по пространству и импульсный по времени (дельта-функция). В приложениях представляет интерес сейсмограммы от ступенчатой функции по времени (функция Хевисайда). Для получения смещений от такой функции сейсмограммы от импульсного источника следует проинтегрировать по времени (интеграл от нуля до текущего момента времени).
Рассмотрение будем вести в частотной области. С учетом того, что преобразование Фурье от дельта-функции равно единице, смещение и = = и (г, ф, г, ю) удовлетворяет уравнению динамической теории упругости с правой частью, не зависящей от частоты ю
-рю2и -цДи - + и) = I, (1а)
где Г — объемная плотность силы с компонентами
= ГДх -ду (Ыц8(х - , {1, у = 1,2,3) (1б)
(предполагается суммирование по повторяющимся индексам); £, = (0, 0, г5), г5 — глубина источника; ду — компонента градиента V = (дх, ду, дг); 8(-) — дельта-функция Дирака, ¥-1 — компоненты силы, Му — компоненты ТСМ; р — плотность, X и ц — параметры Ламе. В выражение (1б) для плотности силы входит простая сила и член, соответствующий диполю общего вида, что позволяет рассматривать эти два источника одновременно.
Должны быть выполнены также следующие условия.
Внешняя граница свободна от напряжений:
T(x, y,0) = 0,
(2)
где Т = (стхг, стуг, стгг)т (Т обозначает транспонирование) — вектор (столбец) напряжения на горизонтальной плоскости; стхг, ауг, агг — компоненты тензора напряжений. Закон Гука для этого вектора запишем в виде
T = zu + Vuz) + XV • ue
(3)
В начальный момент времени (до включения источника) среда покоится.
Ниже мы полагаем, что слой, содержащий источник, разбивается на два горизонтальной границей, проходящей через точку источника. Уравнение (1а) будет рассматриваться как однородное, а действие объемной силы будем учитывать, введя условия на скачки векторов смещения и напряжения на границе источника г = zs.
Условия на границе источника z = zs, (zs > 0)(см., также, [Hudson, 1969]):
[u] = N:5(x)5(y), [T] = (-F + N 23 x + N35 y) 5(x)8(y),
(4)
где
N1 = 1 ((ге1 + ЫУ£ 2) + 7-^- Ыгге з, | А + 2||
N2 = (ыхх - X Ыя) в1 + Ыухе2 + (Ы^ - Ыхг) ез,
Nз = Ыхуе! + (Ыуу - х Ы„) е2 + (Ы^ - Ыуг) е3;
X = к(к + 2ц)-1,
е, (/ = 1, 2, 3) — /-тый столбец единичной матрицы 3-го порядка. Мхх, Му, ... — декартовы компоненты ТСМ. Квадратные скобки обозначают скачок: [и] = и(г5 + 0) — и(г5 — 0). Значения упругих параметров относятся к слою содержащему источник.
Условия (4) получаются из формул (1) и (3). Скачки величин и и дги порождают дельта-функцию 8(г — г^) и ее производную 8'(г — г^) в производных дги и д2 и, а именно (см., например, [Владимиров, 1988]):
д ги ^ [и]8(г - г,) и 52и ^ [и]8'(г - г,) + [5ги]8(г - г,).
Сравнивая левую и правую части формулы (1а), содержащие дельта-функцию по г и ее производную, сразу приходим к первой формуле (4), а затем, используя соотношение для скачков, которое следует из формулы (3), получаем вторую формулу (4).
Из формулы (4) видим, что источник типа "диполь общего вида" в отличие от случая источника типа "простая сила" порождает скачок как для вектора напряжения, так и для вектора смещения.
Для дальнейшего использования уравнения (1а) (однородное) и (3) запишем в виде системы [Павлов, 2009]
На границах разрыва свойств среды смещения и напряжения непрерывны.
5гu = AoT -V2uz -X(V2 • u)eг,
(5)
дzT = -Ю2ри - |Д0 V2 (V2 • u) + + ^v2 X V2 X u(2) - xV{Tz - (V2 • T)eг
где
1
да да
х w0m)d0m)/w0m)+1 XX Wim)d nm)/
|m|>1 т=-да n=1
w
(m).
;(9)
T = 1S w 0^
|m|>1
/w0m) + f SS W^/
m=-m n=1
wlm).(10)
(Для частного случая источника "простая сила" представление, аналогичное (9), приведено в статье [Olson et al., 1984].)
В формулах (9), (10) использованы обозначения:
w(m) _ Н-1(e • ) w(-m) _ w (m)*
w0 - e r (er + ie^ w0 - w0 ,
m > 1, (11)
звездочка — комплексное сопряжение; er, ev — орты цилиндрической системы координат:
er = cos ф e1 + sin ф e2, e„ = - sin ф e1 + cos ф e2;
(m) Wo
п2Н , ,
=, (m > 1),
m
w
(m) - íL[/m_1(kim)a)]2;
j (m)
кП — дискретные волновые числа — определяют-
(6) ся формулой
kf) =^, (n = 1,2,...) a
Am)
(12)
А 0 = \ + V 2 = (5 *, 5,, 0);
X л 4(А + и) (2) / п\т х = ; 0 = ; и = (и» «у °) ;
X + 2ц (А + 2ц)
eг = (0, 0, 1)т; точка между векторами обозначает скалярное произведение, а крестик — векторное произведение.
Необходимо найти решение этой системы при сформулированных выше условиях.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ
Пусть смещения u = u(x, ю) и напряжения T = = T(x, ю) удовлетворяют системе уравнений (5), (6). Предположим, что на множестве С = {г = а, 0 < ф < 2я, 0 < г < да}(С — искусственная цилиндрическая граница) выполнены условия
(Ухи)г1 = (V-и)|с = и,\с = 0, (7)
тогда
(Ух Т) г|с = 0, (V- Т )| с = 0, с = 0, (8)
и имеют место представления (доказательство дано в Приложении А)
»
— ненулевые корни функции Бесселя Jm(x),
i i-mi i imi
причем kn = kn так как
J_m(x) = (-1)mJm(x);
W(m) /г-w^m c<m т» m\
,- n = (Tn, Sn, Rn) — матрица, составленная из векторов-столбцов Tnm, Sm, R
» m
Tnm = k_1V x (7nmez), Sm = k-lVYnm, (k = k(),
Rm = -Y,mez, Ynm = e'J&n^r). Для матриц Wnm) выполнено соотношение
w(-m) = (- 1)m wnm)*.
(13)
(14)
Базисные функции приведенных представлений —
Т™, Б^, Ит, №0т) — либо алгебраически ортогональны, либо ортогональны в смысле произведения (в подынтегральном выражении используется матричное умножение; одна или обе переменные могут быть матрицами)
(u, v)a = JJ v*Tudxdy,
(15)
причем
(W0m), W0n))a = 2П5m
w
(m)
,0 , (К, Ч))а = 2п5т(Ъкуит)1
(8(у — символ Кронекера; I — 3 х 3 единичная матрица).
В статье [Павлов, 2009] для простой силы фактически использованы представления (9), (10), в которых в первых суммах удержано два члена, соответствующие значени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.