ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 4, с. 558-573
УДК 519.651
АЛГОРИТМ СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
© 2015 г. Г. А. Кириченко*, В. И. Шмойлов**
(* 347928 Таганрог, ГСП-17А, Некрасовский пер., 44, ЮФУТК; ** 344006Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41, Южный научн. центр РАН) e-mail: vt_GAK@mail.ru, shmoylov40@at.infotectt. ru Поступила в редакцию 23.04.2013 г.
Рассматривается определение сходимости непрерывных дробей, отличное от традиционного. Новый метод суммирования используется при определении значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей и рядов. Метод суммирования применим не только к обыкновенным непрерывным дробям, но и к непрерывным дробям иных классов, например к непрерывным дробям Хессенберга, что позволило построить оригинальный алгоритм нахождения нулей полиномов n-й степени. Предложенный r/ф-алгоритм используется также при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Библ. 12. Фиг. 4. Табл. 8.
Ключевые слова: алгебраические уравнения высоких степеней, расходящиеся непрерывные дроби, бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей.
DOI: 10.7868/S0044466915040146
ВВЕДЕНИЕ
Непрерывные дроби в большинстве случаев дают гораздо более общие представления о трансцендентных функциях, чем классические степенные ряды (см. [1]). Непрерывные дроби зачастую могут быть с большим эффектом использованы для ускорения сходимости рядов. Более того, преобразуя расходящиеся ряды в соответствующие непрерывные дроби, нередко можно просуммировать, т.е. найти значения сумм расходящихся рядов. Известно, что непрерывные дроби тесно связаны с аппроксимациями Паде, которые, как отмечается в [2], стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твердого тела и др. Поэтому существенные результаты, полученные в теории непрерывных дробей, в частности в вопросах сходимости, могут быть использованы и в аппроксимациях Паде.
Бесконечной непрерывной дробью, или цепной дробью, называют выражение вида
Ьо +-1-,
0 * а2
Ь1 +-2-,
b2 +: a,
• + -
n
Ьп +:
где а1 и Ь , I = 1, 2,..., — в общем случае независимые переменные.
Часто непрерывную дробь записывают в компактном виде в форме Гершеля:
ь + ах а! ап
0 Ь + Ь2 +... + Ьп +... .
Непрерывная дробь называется сходящейся, если последовательность ее подходящих дробей имеет конечный предел. Непрерывная дробь расходится, если последовательность ее подходящих дробей предела не имеет (см. [3]).
В статье будет рассмотрено несколько задач из разных разделов вычислительной математики, решенных при помощи так называемого г/ф -алгоритма — нового метода суммирования расходящихся непрерывных дробей.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В [4] предложено отличное от традиционного толкование сходимости непрерывных дробей. Для установления значений сумм непрерывных дробей будем использовать г / ф-алгоритм.
Непрерывная дробь сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число
I = г0в%', если существуют пределы
lim
ш / fti = (1Л)
i=1
п lim ^ = |Фо|, (1.2)
где P¡/Q¡ — значения i-й подходящей дроби из совокупности, включающей n подходящих дробей, kn — число отрицательных подходящих дробей из n подходящих дробей.
Этот способ выходит за рамки традиционных методов суммирования, так как позволяет за последовательностью вещественных подходящих дробей усмотреть некое комплексное число, которое, собственно, и представлено этой непрерывной дробью. Признаком комплексности такой расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены знаков ее подходящих дробей, причем эти перемены знаков происходят сколь угодно много раз. Другими словами, комплексная единица e¡ устанавливается из "поведения" подходящих дробей непрерывной дроби. Параметры же комплексного числа, т.е. его модуль r0 и аргумент ф0, могут быть определены, в частности, так называемым r/ф-алгоритмом, т.е. формулами (1.1) и (1.2).
В случае непрерывных дробей, сходящихся в классическом смысле, аргумент ф0 примет значения 0 или п. Если ф0 = 0, то значение сходящейся непрерывной дроби будет совпадать со значением модуля r0:
i00
Z = roe = Го.
Если ф0 = я, то значение сходящейся непрерывной дроби будет отрицательным числом:
in
z = roe = -Го.
Предложенный r/ф-алгоритм дает возможность устанавливать значения расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей, а также решать множество других задач из различных разделов вычислительной математики.
n
n
n^uj
im -im
e m + e m
2. ПРИМЕНЕНИЕ r/ф-АЛГОРИТМА ДЛЯ СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ
НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ
На основании формулы Эйлера
cos ф =
2
можно записать дроби:
im 0 1
е = 2cosф —-,
im
е
¿9 ^ 1 е = 2cosф--i ,
2cosф-е9
ещ = — i (2.1)
2со8ф-
2со8ф-
e
Запишем подходящие дроби непрерывной дроби (2.1):
P1 , sin 2m
— = 2cos9 =--,
Qi sin ф
P2 ~ 1 sin 3m
— = 2cos9--=--,
Q2 2cos9 sin29
1
Pn 0 1
— = 2cos9--
Qn 2cos9-
1
2cos9
1
sin (n + 1)ф sin Пф
(2.2)
2cosф - .
1
При n ^ да можно прийти к непрерывной дроби
2cos9 -
1
1
2cos9~ 2cos9"
2cosф
1
-2cos9"
(2.3)
где звездочка означает, что это равенство не есть равенство в традиционном понимании. Смысл "равенства" (2.3) будет разъяснен ниже, после чего к "звездочке" прибегать не будем, чтобы не загромождать записи комплексных чисел непрерывными дробями с вещественными элементами.
Используя непрерывную дробь (2.3), мы можем восстановить комплексное число вщ, которое "представлено" этой бесконечной непрерывной дробью. Изобразим графически несколько значений первых подходящих дробей непрерывной дроби (2.3). Используя выражение (2.2) для подходящих дробей, запишем
P1 _ sin 2ф Q1 sin ф '
P2 _ sin39 Q2 sin 2ф'
P > 0, Q1
Pl Q2
> 0,
Очевидно, с ростом номера п угол (п + 1)ф станет больше угла п :
Qn
sin(n + 1)ф sin Нф
n + 1
Qn
< 0.
Этот момент может быть зафиксирован, так как подходящая дробь Рп^п примет отрицательное значение. Таким образом, перемещение радиус-вектора от угла ф до угла (п + 1)ф, несколько превышающего значение п, дает возможность, пусть и приближенно, определить аргумент комплексного числа вщ, представленного непрерывной дробью (2.1). Продолжая наблюдение за зна-
-2-4-
(a)
„/0.2
-2 -4
(б)
i0.2
........Hill..111111111111
Ln ал тг^гчтолспг^гчтол
Фиг. 1. Распределение значений подходящих непрерывных дробей (2.5) и (2.6).
чениями этих подходящих дробей, запишем формулу, по которой можно определить аргумент ф0
комплексного числа е
"Ро.
Фо
_пк„ + ф
(2.4)
где кп — количество подходящих дробей, имеющих отрицательное значение из общего числа п подходящих дробей разложения (2.3), ф — некоторый угол, причем ф < ф0.
Если п ^ да, то формула (2.4) примет вид
ф0 = п lim—.
п^да П
Рассмотренная выше процедура позволяет установить, однако, не значение аргумента комплексного числа е'ф0, а модуль этого аргумента.
Знак аргумента комплексного числа еЩа определяется из динамики распределения значений подходящих дробей (2.3) на "периоде". Эти правила определения знака установлены после "калибровки" на тестовых непрерывных дробях, имеющих комплексные значения (см. [4]).
На фиг. 1 показано распределение значений подходящих дробей P„/Q„ разложений (2.5) и (2.6) в зависимости от номера n.
2cos0.2 -■
1
1
1
2 cos 0.2 - 2 cos 0.2 -... - 2 cos 0.2
sin (n + 1)0.2 sin n0.2
1
1
1
sin n0.2
2cos0.2 - 2cos0.2 -... - 2cos0.2 sin (n + 1)0.2
(2.5)
(2.6)
Из непрерывной дроби (2.3), представляющей комплексное число е'ф, можно получить, помимо аргумента, модуль этого комплексного числа, равный единице.
В табл. 1 приведены результаты суммирования при помощи г/ф-алгоритма "расходящейся" непрерывной дроби
1 + .V15 = 2e'arctgVl5 = 1 _ 4 4 4
2 1 2 = е = 1 _ 1 _... _ 1 _....
(2.7)
В первой колонке таблицы даны номера п подходящих дробей разложения. Номера подходящих дробей составляют степень 2. Значения подходящих дробей с этими номерами приведены в соседней колонке 2. Как и следовало ожидать, значения подходящих дробей [Р„/0„} с ростом п не стремятся к какому-либо пределу. Для чисел же, расположенных в колонке 3, напротив, стремление к пределу можно без труда обнаружить, что значения асимптотически приближаются к 2, т.е. к модулю комплексного числа. Даже беглого взгляда на колонки 6 и 7 достаточно, чтобы убедиться, что с ростом количества подходящих дробей разложения (2.7) все более точно устанавливается значение аргумента искомого комплексного числа.
При вычислении последовательностей подходящих дробей использован Д-алгоритм, предложенный в [5].
На фиг. 2 показаны значения подходящих дробей непрерывной дроби (2.7).
n
Таблица 1. Определение значения расходящейся цепной дроби (2.7) при г0 = 2.0, ф0 = 1.318116071652...
Номер звена дроби Значение подходящей дроби Модуль комплексного числа гп Погрешность £г = \г0 — гп\ шт ег Аргумент комплексного числа фп Погрешность £Ф = |ф0 - Фп\ шт Еф
1 2 3 4 5 6 7 8
2 -3.0000000000 1.732050807568 0.267949192431 т 1.570796326794 0.252680255142 т
4 -0.7142857142 1.495348781221 0.504651218778 1.570796326794 0.252680255142
8 1.4369747899 1.901623404084 0.098376595915 1.178097245096 0.140018826556
16 -1.0326336812 1.893923277888 0.106076722111 1.374446785945 0.056330714292 т
32 0.9570674702 1.954777493792 0.045222506207 1.276272015520 0.041844056131
64 -3.3737052603 1.992211007792 0.007788992207 1.325359400733 0.007243329080 т
128 -0.9528199343 1.985483211714 0.014516788285 1.325359400733 0.007243329080
256 1.0641835576 1.995010880870 0.004989119129 1.313087554430 0.005028517222
512 -2.5412946875 1.998634135542 0.001365864457 1.319223477581 0.001107405928 т
1024 -0.4041335913 1.996749737389 0.003250262610 1.319223477581 0.001107405928
2048 2.1217417851 1.999829743244 0.000170256755 1.317689496793 0.000426574859
4096 0.1547065652 1.998758806916 0.001241193083 1.317689496793 0.000426574859
8192 5.7575173443 2.000006649905 0.000006649905 т 1.318072991990 0.000043079662
16384 2.7721264678 1.999990952659 0.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.