ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 6, 2004
АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ В МАШИНОСТРОЕНИИ
УДК 62-50
© 2004 г. Крутько П.Д., Науменко М.Г.
АЛГОРИТМЫ АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ГОЛОНОМНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Синтезированы алгоритмы управления движения многосвязных нелинейных динамических систем. Структура алгоритмов определена непосредственно по нелинейным классическим уравнениям Лагранжа. Выполнены исследования динамики управляемых процессов и показано, что предлагаемые алгоритмы придают системам естественные свойства адаптивности. Теоретические выводы иллюстрируются результатами математического моделирования динамики управляемого манипулятора.
Задачи аналитического проектирования алгоритмического обеспечения систем управления движением сложных технических объектов сохраняют свою актуальность. В [1] развита теория синтеза алгоритмов управления многосвязными нелинейными системами. Эта теория, основанная на концепциях обратных задач динамики, позволяет определить структуру алгоритмов управления непосредственно по нелинейным классическим уравнениям Лагранжа. В теоретических исследованиях [1, 2] показано, что предлагаемые алгоритмы нетрадиционной структуры придают системами естественные свойства адаптивности. Теоретически доказано, что алгоритмы обладают декомпозирующими свойствами: в асимптотике нелинейная система уравнений распадается на независимые подсистемы (уравнения), структура которых идентична структуре эталонных моделей. В силу этого можно синтезировать алгоритмы управления по сепаратным моделям, описывающим изолированные движения системы по степеням свободы.
В настоящей статье изложена общая схема синтеза алгоритмов адаптивного управления применительно к математической модели управляемого движения в форме уравнений Лагранжа. Исследована задача управления пространственной конфигурацией манипулятора в цилиндрической системе координат. Структура алгоритмов управления синтезируется методом обратных задач динамики в сочетании с минимизацией локального функционала, характеризующего энергию ускорения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей. Минимизация функционала осуществляется алгоритмически в процессе функционирования системы. Определение структуры алгоритмов управления не связано с необходимостью применения процедур оптимизации в традиционном понимании. Уравнения алгоритмов управления выписываются в явной форме по уравнениям движения управляемого объекта и эталонных моделей.
Уравнения движения управляемой системы. Управляемую механическую систему будем представлять в виде открытой (разомкнутой) кинематической цепи, звенья которой соединены между собой кинематическими парами вращательного и поступательного типа [2, 3]. Все элементы конструкции системы обладают абсолютной жесткостью, а кинематические пары и механизмы передачи движения - идеальны, без трения.
Принятые допущения соответствуют голономной механической системе с идеальными связями. В обобщенных координатах ¿1, ..., ¿п ее движение подчиняется дифференциальным уравнениям Лагранжа
|(дЬ + Р,, , = 1, 2, ..., п, (1)
где Ь = Ь(с, с1) - функция Лагранжа; - обобщенные силы, развиваемые движителями в кинематических парах по каждой степени свободы.
Уравнения (1) содержат неопределенные внешние возмущения Р., = Р/с, ¿1), о которых известно, что
|Р5| < Р. < Ё, , = 1, 2,..., п. (2)
Следуя [3], будем считать, что при выполнении условий (2) ресурс движителей по мощности достаточен для парирования возмущений Р, и осуществления требуемых движений системы. Далее будем опускать Р, в уравнениях динамики.
Выполняя соответствующие преобразования в (1), с учетом принятых допущений получим механические уравнения
п
^ [с)¿V + с, с1)¿у] + с) = п.*М,, , = 1, 2, ..., п. (3)
V = 1
В качестве исполнительных движителей системы принимаем электродвигатели постоянного тока с независимым возбуждением. Поэтому для полного описания динамики управляемой системы (3) необходимо дополнить уравнениями
тэМ + М, = ^и, - п.*к^), , = 1, 2, ..., п, (4)
которые характеризуют динамику электрических процессов в двигателях. В (3), (4) используются обозначения, принятые в [3]. Отметим, что и, - управляющее напряжение; М, - электромагнитный момент, развиваемый двигателем; тэ, - электрическая постоянная времени. Коэффициенты Аст(с) = аст(с) + п2*J* , = 1 , ,
[0,
аст(с) - элементы матрицы инерции механической системы без учета инерции враги«
щающихся частей двигателя, J* - моменты инерции якоря и редуктора в пересчете 1 п, - для вращательной пары,
к валу двигателя; п=
< _ п, - (безразмерная величина)
[ п, - для поступательной пары,
коэффициент передачи редуктора; п, - коэффициент передачи механизма преобра-
-1
зования вращательного движения в поступательное, м .
Далее потребуются уравнения движения, которые не содержат вращательных моментов Ms. Исключим Ms из (3) и (4). Запишем (4) в операторной форме (x3SD + 1)Ms(t) = = (kMS/Rs)(us - ns*kQSqs), D = d/dt, s = l, 2, ..., n. Отсюда формально находим
Ms (t) =
XMS
-(us - ns * кnsqs).
(5)
+1)4
Подставляя (5) в правые части (3) и применяя оператор (тэлО + 1) к обеим частям полученного равенства, имеем
- п
+1)
-V = 1
л =1, 2, ..., п.
Выполнив соответствующие преобразования в (6), найдем искомые электромеханические уравнения
^ [ As v( q) qv + М q, о) <iv\ + cs( q)
ns*kQ.S
( us - ns*kQ.Sqs) ,
(6)
^ [ Asv( q)q v + Kv( q q) qv + Bsv( q> q o) 4V] + BS (q> q) Os (q) + C (q) = Ms > (7)
v = 1
s =1, 2, ..., n.
Коэффициенты определяются следующими выражениями: ASv (q, q) = Asv(q) + + Asv (q) + fcSv(q, q), BSv(q, q, q) = x-SMo, q) + bsv (q, q), BS (q, q) = cs(q) + ns*kasbs, Cs(q) = x¡S Cs(q).
Точка над буквами обозначает операцию дифференцирования по времени, а коэффиЦиент bs = ns*kMsKRs.
В компактной форме уравнения (7) запишем так
^ ^Sv(q) qv + 0S(q, q, q) = Ms, s = 1,2, ..., n.
(8)
v = 1
Выражения для 05 не выписываем, так как при синтезе алгоритмов они не потребуются.
Движение системы по изолированным степеням свободы будем описывать уравнениями
Ass(q)qs = ns*Ms + ys(q, q, q), Ms + x;
-1
к ms
— ( us - ns*knsqs) - Ms
, s = 1, 2,..., n, (9)
которые следуют из (3) и (4). Здесь ys - ограниченные функции, характеризующие взаимное влияние между степенями свободы. Для сепаратных моделей (9) функции ys выступают в роли возмущений. Далее будем рассматривать также уравнения движения системы при Ass (q )q = q = const, соответствующих произвольным фиксированным
значениям обобщенных координат qs = qs = const из области определения системы (3). Опуская ys, из (9) получим уравнения с постоянными коэффициентами
qs + as2qs + as1qs = b0sUs, s = 1 2> .. n,
(10)
где asi — (TMST3s) ' as2 — Tas ; b0s — ns*kas/Ass(qs RTs Ass(qs) вычисляется no формуле (2);
Tms( qs) — Ass( qs )RJns* kMskos - механическая постоянная времени.
n
n
В том случае, когда x3S значительно меньше механической постоянной, т.е. x3S ^ ^ TMS( Qs), можно не учитывать инерционность процессов в якорных цепях, принимая тэ5 = 0. Тогда уравнения сепаратных моделей будут
(ls + asiqs = b'0sUs, s = 1, 2, ..., п. (11)
Постоянные коэффициенты
a'si = tMs( Qs). b'os = ns * kMS/Ass( Qs) Rs. (12)
Уравнения (9)-(11) описывают изолированные движения системы (7) по степеням свободы. Далее будем называть их сепаратными подсистемами или моделями.
По уравнениям (7), (8) и (10) необходимо синтезировать алгоритмы управления в тех случаях, когда постоянные времени, характеризующие динамику исполнительных двигателей, сравнимы по величине с механическими постоянными времени. Для исследования динамики управляемого манипулятора синтезируем алгоритмы управления по уравнениям (11).
Общая схема синтеза алгоритмов управления движением механической системы. Для удобства изложения запишем уравнения (3) в компактной форме для векторного представления переменных
A(q)q + B(q, q)q + C(q) = F, (13)
T T
где q = (qx, q2, ..., qj, C (q) = (q, c2, ..., cj, A(q) = [AsV(q)], B(q, q) = [^(q, q)]. Кроме того, Fs = ns*Ms - обобщенные силы (элементы вектора F).
Содержание задачи синтеза алгоритмов управления состоит в следующем. По заданной математической модели управляемого движения требуется найти такие управляющие функции us = u* в форме обратных связей, при которых движители создают силы Fs, удерживающие систему в малой окрестности состояния равновесия или в малой окрестности заданной траектории. При этом необходимо, чтобы система обладала назначенными динамическими характеристиками. Построим процедуру синтеза алгоритмов, которая решает задачу в обратной последовательности: сначала отыскиваются силы Fs = F* , а затем по моделям (4) определяются требуемые управляющие функции us = u* , с помощью которых эти силы создаются движителями системы. Такие алгоритмы образуют двухуровневую структуру: первый уровень задающий, а второй исполнительный. Этим уровням соответствуют внешний и внутренний контуры замкнутой системы. Функциональное назначение внешнего контура - формирование F* , а внутреннего - формирование и* . Управляющие силы F*
будем определять непосредственно по модели (13).
Задачу формулируем следующим образом. Для управляемой системы в пространстве обобщенных координат задана программная траектория движения {q* (t), t > 0}. Относительно функций q* (t) предполагаем, что они ограничены и дифференцируемы необходимое число раз. Требуется найти такие управляющие силы F* в форме
обратных связей, при которых траектория движения замкнутой системы, начиная с некоторого момента времени t = t*, с необходимой степенью приближения следует за
назначенной траекторией, т.е.
|q* (t) - qs(t)|<5s, t > t*, s = 1, 2,., n, (14)
где 5, - заданные постоянные.
Потребуем, чтобы динамические характеристики системы по каждой степени свободы были идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей, движение которых описывается уравнениями
Ns -1 ms .. ,
s s С. *( t)
9SNs)(t) + Y asl.9S;)(t) = Y ps.^^, ms < Ns, s = 1, 2,..., n. (15)
n „ dt i = о . = 0
Модели (15) определяют требуемую точность осуществления назначенной траектории движения, а также характер и продолжительн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.