ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2011, № 3, с. 52-61
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 517.977.5
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ ^-ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ © 2011 г. Е. И. Веремей
Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный ун-т Поступила в редакцию 21.07.09 г., после доработки 04.05.10 г.
Рассматриваются задачи синтеза обратных связей, обеспечивающих максимальное в смысле Нш-нормы подавление возмущений, действующих на линейную стационарную систему с одним входом и одним выходом, с учетом ограниченности ресурсов управления. Предлагаются два пути решения: первый основан на интерполяции Неванлинны—Пика, а второй — на гарантирующих особенностях регуляторов. В рамках этих подходов формируются простые расчетные алгоритмы, не требующие решения уравнения Риккати или линейных матричных неравенств. Применение разработанных алгоритмов иллюстрируется примером.
Введение. Вопросы оптимизации по нормам пространства Харди Нш в последние десятилетия находятся в центре внимания специалистов по системам управления [1—5]. Соответствующие методы синтеза широко используются в теоретических исследованиях и в практических разработках. Для них существует развитая программная поддержка, например, реализованная в среде МАТЬАБ. Тем не менее в рамках Н-теории продолжаются интенсивные исследования, направленные на повышение эффективности алгоритмов синтеза и получаемых с их помощью решений. В частности, в [5—7] рассматриваются особые варианты задач, носящих вырожденный характер по отношению к стандартной базовой ситуации. Основным вычислительным аппаратом для большинства алгоритмов Нш-оптимизации, служит схема, известная под названием "2-Рик-кати подход" [2—4], применяемая к моделям пространства состояний со многими входами и выходами.
Альтернативное направление объединяет спектральные методы. Они обладают существенными преимуществами при оптимизации линейных стационарных систем с одним входом и одним выходом (ЛСОВ), включая задачи вырожденного характера и позволяя существенно снизить вычислительные затраты на поиск решений. Уменьшение объема вычислений имеет особое значение, если обратные связи синтезируются и реализуются адаптивно в режиме реального времени. В частности, для бортовых систем управления движущимися объектами или для встраиваемых систем роль упрощения расчетных схем принципиально возрастает в силу существенной ограниченности используемых вычислительных ресурсов.
В связи с отмеченными обстоятельствами данная работа посвящена развитию и обобщению идей спектрального подхода, изложенных в [5—7] для численного решения частной Нш-пробле-мы в задаче синтеза ЛСОВ с ограниченными управлениями. В основе подхода лежит оригинальная спектральная форма представления оптимальных регуляторов, впервые введенная в [8, 9]. В настоящей статье предлагаются два новых расчетных алгоритма, позволяющие решать задачу о максимальном подавлении внешних возмущений, поступающих на ЛСОВ, с учетом ограниченности управления. В отличие от "2-Риккати" или ЬМ1 подходов, эти алгоритмы дают возможность преодолеть вырожденность задачи в рамках Н-теории и повысить вычислительную эффективность синтеза.
1. Постановка задачи. Расссмотрим замкнутую управляемую ЛСОВ, схема которой представлена на рис. 1, со следующими скалярными переменными: d — внешнее возмущение, у — измерение, и — управление, — контролируемый выход системы.
Будем считать, что задана модель объекта управления
где А и В — взаимно простые полиномы. В качестве регуляторов будем рассматривать линейные обратные связи с уравнениями
А (р )у = В(р) и + й (г), р = й /йг,
(1.1)
и = Щр )у,
(1.2)
Рис. 1. Схема замкнутой ЛСОВ
в которых W(p) — дробно-рациональные передаточные функции. Выходная переменная % связана со входом d уравнением
% = F(p )d, (1.3)
где F — обобщенная передаточная функция замкнутой системы
\F(j ю)|2 = \Fy (j ю)|2 + k2\Fu (j ю)|2, юе[ 0,«), (1.4)
Fy(s) = 1 /[A(s) - B(s)W(s)], Fu(s) = W(s)/[A(s) - B(s) W(s)]. (1.5)
Качество процессов управления в замкнутой системе (1.1), (1.2) будем характеризовать функционалом
J( W) = IIFIi = sup |F(jю)|2, (1.6)
ffle[0,®)
выражающим степень подавления входного возмущения d(t) по отношению к выходному сигналу % замкнутой системы. Весовой множитель к в (1.4) определяет меру учета ограничений по норме ||FH||M на управление: при условии к ^ 0 ограничения ослабевают, а при к ^ да — доминируют для замкнутой системы. Предельная ситуация к = 0, снимающая контроль над ограничениями, исчерпывающе рассмотрена в [2, 5, 7].
Введем множество Q рациональных передаточных функций W(s) в (1.2), для которых характеристический полином замкнутой системы (1.1), (1.2) гурвицев. Это множество будем отождествлять с совокупностью регуляторов, стабилизирующих указанную систему. Трактуя множество Q как допустимое, поставим задачу
J(W) = sup \F(Jю)|2 = ||F(W)\\i ^ min, minJ(W) = J
ffie[0,i) W ей W ЕЙ
о поиске ^-оптимального регулятора с передаточной функцией
W0 =
arg min sup \F(jю)|2 = arg min||F( W)||
W е й ю е [0, i) W ей
2
(1.7)
(1.8)
Допустимое множество регуляторов можно интерпретировать как
О = { Щ з )еП,: F( з ЯИт}, (1.9)
где О.г — совокупность дробно-рациональных функций, с О.г — множество правильных дробей с гурвицевыми знаменателями. Обратим внимание на то, что задача (1.7) имеет вырожденный характер в рамках Н-теории. Это обстоятельство неоднократно обсуждалось в публикациях: наиболее подробно в контексте данной работы это сделано в [5, 10].
2. Решение на базе интерполяции Неванлинны—Пика. Одним из наиболее удобных подходов к рассмотрению поставленной задачи в частотной области является ее трансформация к задаче о максимальном соответствии заданной модели в смысле Нш-нормы ошибки с последующим привлечением интерполяции Неванлинны—Пика. Параметризуем допустимое множество регуляторов, вводя варьируемые фукнции-параметры Ф выражением
Ф( з) = а(з (з) + р( з (з), (2.1)
где а, р — любые полиномы, такие, что является гурвицевым полином
Q (s) = A (s )ß(s) + B (s )a( s).
(2.2)
Формулы (1.5) и (2.1) дают связь между функциями Ф и W
Ф = (а + р W) / (A - BW), W = (A Ф - а)/( B Ф + р), (2.3)
а также выражения для передаточных функций замкнутой системы
Fy = Fy(Ф) = (ВФ + в)/Q, Fu = Fu(Ф) = (AФ - а)/Q. (2.4)
Введем множество функций-параметров Ф(у) с гурвицевыми знаменателями, которое представляет собой отображение множества Q, осуществляемое первой формулой в (2.3). При этом можно утверждать, что оптимизационная задача
ДФ) = ||Н(Ф)||^ ^ min , (2.5)
где функция Н(Ф) = H(s, Ф) определяется тождеством
Н(Ф)Н(Ф) = Fy(Ф)Fy(Ф) + к2Fu(Ф)Fu(Ф), (2.6)
эквивалентна исходной задаче (1.7) (здесь и далее черта над функцией обозначает замену знака ее аргумента s).
Нетрудно показать, что функционал /(Ф) можно представить на базе тождества (2.6) и формул (2.4) в следующем виде:
ДФ) = sup \H(j ю)|2 = sup [| Т - Т2Ф\2=ja + T3 (ю)]^ min. (2.7)
ше[0,ш) ше[0,ш) феоф
Здесь T1 и T2 — дроби с гурвицевыми знаменятелями, T3(s) е RL (множество правильных дробей), которые определяются формулами
T = k aA - р B T = G Т = -k-2- (2 8)
1 GQ 2 Q 3 GG
где полином G(s) — гурвицев результат факторизации
k2ÁA + BB = gG. (2.9)
Пользуясь приемом, указанным в [1], рассмотрим вместо (2.5) задачу о выборе Q. е так, чтобы выполнялось неравенство
ДФ) < у2, y2 = Jа + е, е> 0, (2.10)
Ja = max Т3(ю) = max k2/|G(jю)|2. (2.11)
ше[0,®) ше[0,®)
Очевидно, что минимум функционала в задаче (2.5), а следовательно, и в исходной задаче (1.7) равен наименьшему числу y2
J0 = min {y2: ЗФеОф: Ую е [ 0, да) T1 - Т2Ф\2 + Т3 < y3 }, (2.12)
для которого имеет решение задача (2.10).
Для проведения дальнейших построений воспользуемся широко известной [1—5] интерполяционной задачей Неванлинны—Пика. Ее существо состоит в поиске такой функции H(s) е RHr , для
которой выполняются следующие условия: ||Н||Ш < 1, H(a¡) = р,, Rea,- > 0, i = 1, n , где a¡ и р, — заданные комплексные числа. Естественно, что для разрешимости задачи необходимо, чтобы |р,| < 1,
i = 1, n .
Те о р е м а 1. Задача (2.10) имеет решение для таких и только для таких величин y2 > Ja, для которых выполнено условие L(y2) > 0:
L (Y2) = {jf)}, Ij = dt = --BBRg-,' j = ~n, (2.13)
j j g + gj A (gi) Ry (gi)
где g¡ — корни полинома G(—s) в (2.9), а гурвицев полином R(s) определяется факторизацией
Ry(s) Ry(-s) = y2G(s) G(-s) - k2. (2.14)
Теорема 1 позволяет найти минимум J0 = y0 функционалов (2.5) и (1.6) как наименьшее решение неравенства Xm(L(y2)) > 0, где Xm — минимальное собственное значение матрицы L.
Те о р е м а 2. Решением задачи (1.7) Д^-оптимального синтеза является регулятор (1.2) с передаточной функцией
W( s) = W1( s)/W2 (s), (2.15)
где полиномы W[ (s), W2 (s) задаются формулами W1( s) = [A (s) mi( s) Ry 0 (s) + B( -s) m2( s)] /G(-s),
W°(s) = [N(s)mi(s)RT0(s) - k2A(-s)m2(s)]/G(-s),
Здесь используется решение D0 = m1/m2 задачи Неванлинны—Пика
||D(s)|| i < 1, D(g) = d„ i = TTn, (2.16)
для исходных данных (2.13), (2.14) при условии у = у0. При этом делимость на полином G(—s) осуществляется нацело (без остатка).
Обратим внимание на то, что передаточная функция W°(s) не зависит от выбора полиномов a(s), ß(s) и определяется только исходными данными задачи. В соответствии с теоремами 1 и 2 для построения этой функции последовательно выполняются факторизация (2.9), поиск значения у = у0 в соответствии с (2.13) и (2.14), решение задачи (2.16) Неванлинны—Пика и непосредственное формирование искомой функции по формуле (2.15).
3. Гарантирующие свойства Д^-оптимальных решений. Второй подход к решению задачи синтеза базируется на ее тесной связи со среднеквадратичной оптимизацией системы (1.1), (1.2). Как показано в [5—7], к задаче (1.7) сводится проблема синтеза гарантирующего регулятора (1.2), который представляет собой решение минимаксной задачи
Is(W) = sup Js(W, Sd) ^ min, (3.1)
Sd е ж Wей
где Js( W, Sd) — среднеквадратичный функционал,
i
Js(W, Sd) = <%2> = <y2> + k2<u2> = П |F(j®)|2Sd(®)d®. (3.2)
0
Этот функционал определяет качество динамики при условии, что возмущением d(t) служит ст
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.