ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2013, том 453, № 6, с. 676-679
ГЕОФИЗИКА
УДК 550.831+519.6
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ СТРУКТУРНОЙ ЗАДАЧИ ГРАВИМЕТРИИ
В МНОГОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ
© 2013 г. Е. Н. Акимова, член-корреспондент РАН П. С. Мартышко, В. Е. Мисилов
Поступило 04.06.2013 г.
DOI: 10.7868/S0869565213360164
Важнейшей задачей, возникающей при исследовании строения земной коры, является структурная обратная задача гравиметрии (нахождение поверхности раздела между слоями с различной плотностью по известным скачкам плотности и гравитационному полю). Задача является некорректно поставленной и описывается нелинейным интегральным уравнением Фредгольма первого рода.
В работе [1] предлагается подход для определения структурных границ, основанный на применении метода локальных поправок. Данные наблюдений обрабатывали по методике, предложенной П.С. Мартышко и И.Л. Пруткиным [2]: вычисляются поля для каждого слоя между заданными глубинами, затем используется модифицированный метод локальных поправок для нахождения структурной границы по соответствующему выделенному полю.
По пересчитанным предварительно полям для решения нелинейной задачи гравиметрии в двухслойной и трехслойной среде ранее также использовались нелинейные аналоги методов наискорейшего спуска, минимальной ошибки и метод Левенбер-га—Марквардта [3], итеративно регуляризованный метод Ньютона [4] и итерационные методы градиентного типа с постоянными демпфирующими множителями [5].
В данной работе предлагается другой подход, основанный на применении линеаризованных методов градиентного типа с новыми весовыми множителями, позволяющий по сумме полей, выделенных из поля наблюдений, из интегрального уравнения находить несколько структурных
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского
Уральского отделения Российской Академии наук, Екатеринбург
Институт геофизики им. Ю.П. Булашевича Уральского отделения Российской Академии наук, Екатеринбург
Уральский федеральный университет им. Б.Н. Ельцина, Екатеринбург
границ одновременно. В результате повышается точность решения задачи, уменьшается число итераций и время счета.
На основе градиентных методов с весовыми множителями разработаны эффективные параллельные алгоритмы, численно реализованные на многоядерном процессоре Intel и графических процессорах NVIDIA Tesla, входящих в состав суперкомпьютера "Уран". Для восточной части Среднего Урала по реальным данным наблюдений для модели четырехслойной среды решена структурная задача гравиметрии.
Предположим, что нижнее полупространство состоит из нескольких слоев постоянной плотности, разделенных искомыми поверхностями Sl (l = 1, 2, ..., L), где L — число границ раздела (рис. 1). Гравитационный эффект от такого полупространства равен сумме гравитационных эффектов от контактных поверхностей. Пусть поверхности раздела задаются уравнениями zl = z(x, y), скачки плотности на них равны Аст1, поверхности имеют горизонтальные асимптотические плоскости zl = Hl, т.е.
lim | Zl(x, y) - H\ = 0.
U\, Ы
Поле от суперпозиции границ с точностью до постоянного слагаемого равно [1]:
A(гACT, J JI
i = i
7( x - x' )2 + ( ы - Ы )2 + г2 (x, ы )
(1)
J(x - x)2 + (Ы - Ы)2 + H:J
йхйы = Ag(x', Ы , 0),
где / — гравитационная постоянная, Ь — число
ь
границ раздела, Ag(х, у) = ^ Дg¡.
I = 1
После дискретизации уравнения (1) на сетке п = Мх N где задана правая часть Лg(x,у), и аппроксимации интегрального оператора А^) по квадра-
СО со
со—со
Рис. 1. Модель многослойной среды.
турным формулам имеем вектор правой части F(x, у) размерности М х N результирующий вектор решения г(х, у) = [^(х, у), ^(х, у), ..., 1ь(х, у)] размерности Ь х М х N матрицу производной оператора А^У размерности Ь х М х N и систему нелинейных уравнений
А п [ г ] = Fn.
Задача является недоопределенной, так как по заданной функции Д§(х, у) мы пытаемся найти несколько неизвестных функций II = %(х, у).
В настоящей работе для решения задачи гравиметрии в многослойной среде предлагаются линеаризованные итерационные методы градиентного типа с новыми весовыми множителями у;, вычисляемыми для каждой компоненты I, ; = 1, 2, ..., Ь х Мх N
линеаризованный метод наискорейшего спуска (ЛМНС)
к + 1 к II £(г )||2 о/ кч
1|А'(гкЖгк)||2 (2)
S(zk) = А'(гк)Т(А(гк) - Г);
линеаризованный метод минимальной ошибки (ЛММО)
k + 1 k \\л ( zk ) - F2 k, ,„..
Zi = zt - Yi" ; ' , .. 2 " st(z), (3) Ils(z )||2
где yi e [0, 1], zi — i-я компонента результирующего вектора z(x, y), к — номер итерации.
Весовые множители y будем выбирать следующим образом:
F = [F1, F2, •■■> FL] = (f1, f2, •■■> fMx N, •••, fL x Mx N) ^ (y1, y2, •■■>yL x M x N) ,
y i =
max
\n
, e> 1,
где F (, = 1, 2, ..., Ь) — аномальные поля от грави-тирующих масс, находящиеся ниже соответствующих глубин Щ для искомых поверхностей раздела Б, (I = 1, 2, ..., Ь).
Весовые множители у; находим последовательно: сначала по полю FЬ, выделенному из поля F по
678
АКИМОВА и др.
125
100
75
50
25
-20 -40
-5
-15
-25
-35
-45
Рис. 2. Гравитационное поле наблюдений.
' км г
-16
120™>\ I
60 60 40 40
20 20
-15.0 -15.5 -16.0 -16.5 -17.0 -17.5 -18.0 -18.5
г, км
-20 -21 -22 140
60
40 20
1-19.5 -20.0
-20.5
-21.0
-21.5
-22.0
Рис. 3. Поверхности раздела ¿1, ¿2 на глубинах Н = 15 и Н = 20 км.
методике [2] , потом по полю выделенному из разностного поля Ш — ¥Ь, затем по полю -2, выделенному из разностного поля Ш — — и т.д.
При численной реализации методов (2) и (3) в качестве начального приближения используются горизонтальные асимптотические плоскости = Н (I = = 1, 2,.., Ь). Условием останова итерационных процессов является выполнение условия ^^ ^ < 6
ш
ь
при достаточно малом 6, где Ш = ^ .
I = 1
Использование многопроцессорных вычислительных систем существенно сокращает время счета. Распараллеливание алгоритмов (2) и (3) ос-
новано на разбиении матрицы А'(гк)г на блоки, а вектора решения г(х, у) и вектора правой части Ш(х, у) на части. На текущей итерации каждый из процессоров (ядер) вычисляет свою часть вектора решения.
Для восточной части Среднего Урала по реальным данным наблюдений [6], измеренным на площади S = 62 х 145.75 км2, для модели четырех-слойной среды решена структурная задача гравиметрии о нахождении поверхностей раздела сред , ¿2, ¿3 со скачками плотности Астх = 0.3, Дст2 = 0.2 и Аст3 = 0.1 г/см3. Расстояния до асимптотических плоскостей принимали равными Н = 15, Н2 = 20, Н3 = 25 км. После дискретизации уравнения (1) на сетке 82 х 108 с шагами Ах = 0.756, Ау = 1.35 км
0
0
140 h 120 100 80 60 40 20
z, км -25 -30 -35
140
60
40
-24 -26 -28 -30 -32 -34 -36
Рис. 4. Поверхность раздела ^ на глубине H = 25 км.
0
имеем вектор z(x, y) размерности 35424 и матрицу Ä(zk)T размерности 35424 х 8856.
Задача решена на суперкомпьютере "Уран" с помощью параллельных алгоритмов ЛМНС и ЛММО. При этом относительная норма невязки 8 по сравнению с начальной г0 = 1 уменьшилась на два порядка. По сравнению с решением задач по выделенным полям для каждой структурной границы методами (3) и (4) с множителем у = 0.05 для 8 = 0.015 (число итераций N = 288) решение задачи гравиметрии по сумме полей методами (3) и (4) с весовыми множителями yi при ß = 1.4 для 8 = 0.015 достигается за меньшее число итераций N = 70. На модельных примерах решения задачи (1) по суммарному полю показано уменьшение относительной погрешности на порядок, числа итераций и времени счета по сравнению с решением соответствующих задач для каждой структурной границы.
Время решения задачи гравиметрии методом ЛММО на 6 ядрах процессора Intel либо на графических процессорах NVIDIA Tesla составило 73 и 36 с соответственно.
На рис. 2 представлено гравитационное поле наблюдений. На рис. 3, 4 изображены найденные поверхности раздела.
Отметим, что сотрудниками Института геофизики УрО РАН проведена интерпретация геомаг-
нитных данных для этой же площади S. Результаты интерпретации учтены при выборе модели среды, рассмотренной выше.
Авторы выражают благодарность В.А. Пьянко-ву за предоставленные данные и обсуждение результатов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Уральского отделения РАН в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 18 (проект 12-П-15-2019).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мартышко П.С., Ладовский И.В., Цидаев А.Г. // Физика Земли. 2010. № 11. С. 23-35.
2. Мартышко П.С., Пруткин // Геофиз. журн. 2003. Т. 25. № 3. С. 159-168.
3. Васин В.В., Пересторонина Г.Я., Пруткин И.Л., Ти-мерханова Л.Ю. // Мат. моделирование. 2003. Т. 15. № 2. С. 69-76.
4. Акимова Е.Н. // Вестн. ННГУ. 2009. № 4. С. 181-189.
5. Vasin V.V., SkorikG.G. // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. V. 18. № 8. P. 855-876.
6. Martyshko P.S., Vasin V.V., Akimova E.N., Rublev A.L., Pyankov V.A. In: Proc. XI Intern. Conf. on Geoinfor-matics - Theoretical and Applied Aspects. 14-18 May 2012. Kiev, 2012. 5 p.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.