К ЮБИЛЕЮ ИНСТИТУТА
681.2
Алгоритмы робастной ф ильтрации п рофиля
шероховатости
Б. Н. МАРКОВ, А. В. ШУЛЕПОВ
Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»,
Москва, Россия, e-mail: bnmarkov@rambler.ru
Представлены алгоритмы робастной фильтрации профиля шероховатости поверхностей, позволяющие исключить из результатов измерений случайные выбросы и исследовать особенности поверхностей со стратифицированными свойствами. Проанализированы недостатки применения традиционных фильтров Гаусса. Приведены примеры реализации алгоритмов применительно к робастным регрессионным фильтрам Гаусса и сплайн-фильтрам.
Ключевые слова: шероховатость поверхности, стратифицированные свойства, регрессионный фильтр, сплайн-фильтр, робастная фильтрация.
Presents algorithms for robust filtering profile roughness of the surfaces, is able to release the results of measurements from random outlets and to investigate features of surfaces with stratified properties. The analysis of the shortcomings of traditional Gaussian filter. The examples of algorithms applied to robust regression Gaussian filter and spline filters.
Key words: surface roughness, stratified properties, regression and spline filters, robust filtering.
В стандарте ISO 16610 робастность определяется как нечувствительность выходных данных к некоторым особенностям профиля поверхности во входных данных: выбросам на профилограмме, царапинам, ступенькам и пр. В качестве примера рассмотрим профиль внутренней поверхности гильзы цилиндра. Технология обработки гильз обеспечивает получение структуры поверхности в ф орме глубоких в падин, которые накладываются на плоские участки (плато). Плато воспринимает реакции опор и силы трения, в то время как впадины служат резервуарами и распределительны-
0 12 3 4
0 12 3 4
б мм
Рис. 1. Исходная профилограмма (а) со средней линией, выделенной фильтром Гаусса с отсечкой шага Хс = 0,8 мм, и отклонения от средней
линии (б)
ми цепями для смазки и продуктов трения и износа. Такие поверхности получили название поверхностей со стратифицированными (мультифункциональными) свойствами. Стандартные фильтры Гаусса [1, 2] не в состоянии генерировать достаточно представительные средние линии для отсчета шероховатости профиля таких поверхностей.
Как показано на рис. 1, средняя линия z профиля поверхности гильзы цилиндра, реализуемая фильтром Гаусса с отсечкой шага Хс = 0,8 мм, в области впадин локально смещается в их сторону. Впоследствии это искажает характер шероховатости поверхности, вызывая локальные подъемы профиля в округ впадин. С помощью робастных ф ильтров удается преодолеть эти недостатки фильтров Гаусса и построить среднюю линию без учета выбросов.
Еще одна важная проблема, относящаяся к применению робастных фильтров (хотя это прямо и не указано в стандартах ISO), связана с возможностью одновременных измерений отклонений формы и параметров шероховатости. Роба-стные фильтры должны выделять шероховатость на поверхностях с большими отклонениями формы. Современные измерительные приборы, например, профилометры-конту-рографы фирмы Mitutoyo, 3D микрокоординатная измерительная машина фирмы Alicona Imaging GmbH демонстрируют такие возможности, и результаты проводимых с их помощью измерений носят характер многомерной информации. Таким образом, выделение суммарных отклонений в многомерный набор данных о размерах, форме, шероховатости, текстуре поверхности имеет большое значение.
Стандартный фильтр Гаусса наиболее широко применяется в современных измерительных системах — профи-лографах [1—3]. Весовая функция длинноволнового фильтра (фильтра нижних пространственных частот) определяется через функцию Гаусса
мкм
w (x, AJ = (аАс)-1 exp [-n(x/(aAc))2],
где х — координата вдоль профилограммы; Хс — отсечка шага, т. е. длина волны в составе профиля, пропускаемая через фильтр с коэффициентом передачи, равным 0,5;
а = (1п 2)1 п = 0,4697.
Весовые функции затухают практически до нуля на длине, равной Хс. Это приводит к возникновению концевых эффектов: соответствующие участки профилограммы после фильтрации будут искажены, и для обработки профилограммы их нельзя использовать.
Двухступенчатый фильтр Гаусса, представленный в стандарте [4], является результатом эмпирического подхода к анализу поверхностей с послойным распределением функциональных свойств. На первом этапе используется стандартный фильтр Гаусса для построения средней линии профиля, затем из состава профилограммы исключают все грубые выбросы от средней линии, используя соответствующие критерии обработки результатов измерений. Модифицированный профиль, в котором отброшенные участки заменены соответствующими участками средней линии, повторно фильтруется тем же фильтром Гаусса. В результате получается новая средняя линия, которая и используется для оценки параметров шероховатости.
Хотя этот метод в некоторых случаях достаточно эффективен, он имеет несколько ограничений. Во-первых, выбор подходящего критерия обнаружения выбросов требует длительных статистических исследований. Во-вторых, отсеивание выбросов сокращает объем данных, содержащихся в профилограмме: обычно для оценки параметров шероховатости остается от 20 до 60 % профилограммы [5].
Регрессионный фильтр Гаусса является производным от процедуры фильтрации, предложенной в [6] для такого сглаживания зашумленных широкополосных данных, при котором лучше сохраняются высокочастотные компоненты сигнала. В результате высота всплесков сигнала остается практически без изменения. Весовая функция длинноволнового регрессионного фильтра Гаусса 2-го порядка с отсечкой шага Хс лишь немного отличается от весовой функции стандарт-
ного фильтра Гаусса [7]:
w (х, Ac)=TL
3f ^ 12 2 р )
П2 ( х 12
exp -tft)
где в = 1 - [-(2е)-1]; W_1 (•) — функция Ламберта.
На рис. 2 для сравнения показаны весовые функции стандартного и регрессионного фильтров Гаусса при одной и той же отсечке шага Хс = 0,8 мм. Весовая функция регрессионного фильтра оказывается более острой и высокой и поэтому имеет участок с отрицательными значениями, что и определяет особенности фильтрации профиля этим фильтром.
Робастные регрессионные фильтры Гаусса. Ч астотные фильтры Гаусса минимизируют средний квадрат расхождения между исходной профилограммой и результатом ее фильтрации при заданных частотных свойствах фильтра. В робастных фильтрах Гаусса [8] используют другие подходы, позволяющие устранить влияние резких отклонений профиля от средней линии. Здесь используется функция Тьюки
¥( х) =
(1- (х/с )
,2\2
при | х| < C; при | х| > C,
где x = Z - z расхождение между текущей ординатой профиля Z и ординатой z результата фильтрации; С — пороговая константа, равная утроенному стандартному отклонению 3а этих расхождений, в стандартах ISO ее принято определять через медиану абсолютных значений расхождений как C = 4,4478 median (|x|).
Процедура фильтрации осуществляется рекурсивно за несколько итераций.
1. Проводится фильтрация профиля стандартным или регрессионным фильтром Гаусса, определяются расхождения x = Z-z между первичным профилем и результатом фильтрации.
2. Вычисляются модули расхождений rn = lxnl = \Zn -znl, их медиана median (r), пороговая константа С и поправочные коэффициенты
я _ (1 -(rjс)2)2 при |rn|<C;
при | Гп |> с.
(2)
В большинстве случаев поправочные коэффициенты близки к единице, но при значительных отклонениях профиля они уменьшаются и там, где отклонения профиля превышают 3а, обращаются в нуль (как раз в области выбросов).
3. Корректируется профиль путем умножения на поправочные коэффициенты. В результате получается профиль, практически свободный от случайных или специально созданных выбросов.
4. Обрабатывается скорректированный профиль тем же фильтром Гаусса. После второй итерации результаты оказываются вполне приемлемыми (рис. 3).
Последующие итерации приводят лишь к незначительному улучшению результатов. Если же выбросы не столь велики, то может понадобиться три-четыре итерации.
Сплайн-фильтры. В целях преодоления концевых эффектов было предложено заменить фильтр Гаусса сплайн-фильтром, обеспечивающим сплайн-аппроксимацию профиля [9]. В этом цифровом фильтре процедура фильтрации сводится к решению матричного уравнения. Позднее была разработана методика построения робастного сплайн-фильтра, в меньшей степени подверженного влиянию выбросов [10]. Характеристики сплайн-фильтров регламентированы в [11 ].
(1)
Рис. 2. Весовые функции регрессионного з(х, Хс) и стандартного w(x, Хс) фильтров Гаусса (а) и результаты фильтрации (б):
1 — исходный профиль со впадиной; 2, 3 — средние линии при использовании стандартного и регрессионного фильтров Гаусса
-ю-
-20-
2 . .дК щЛ
1 3
/
1 1 1 1
0
1
Рис. 3. Результаты робастной фильтрации при Хс = 0,8 мм после двух
итераций:
1 — исходный профиль; 2, 3 — средние линии после робастной и стандартной фильтраций
Замкнутого аналитического выражения для весовой функции сплайн-фильтра получить не удается, поэтом у приходится пользоваться алгебраическим уравнением для отфильтрованного профиля:
(I + a4Q)w = z,
(3)
где I — единичная матрица размером NxN; N — число дискретных отсчетов на профилограмме; Q — матрица размером ^^ структуру которой можно увидеть на примере матрицы 10x10:
Q =
1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0
- 2 5 -4 1 0 0 0 0 0 0
1 -4 6 -4 1 0 0 0 0 0
0 1 -4 6 -4 1 0 0 0 0
0 0 1 -4 6 -4 1 0 0 0
0 0 0 1 -4 6 -4 1 0 0
0 0 0 0 1 -4 6 -4 1 0
0 0 0 0 0 1 -4 6 -4 1
0 0 0 0 0 0 1 -4 5 -2
0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1
а = ^п (лАх/^с)]-1 — параметр, определяющий частотные (волновые) свойства фильтра; Ах — шаг дискретизации профиля; z, w — векторы измеренных и отфильтрованных значений высот профиля.
мкм
-5-
-10-
А 1 4 Ш Ал . / Л|
2 3
0
1
4 мм
Рис. 4. Определение средней линии профиля робастным сплайн-фильтром при Хс = 0,25 мм:
1 — исходный профиль; 2, 3, 4 — результаты первого приближения и двух последующих итераций
Вектор, определяющий результат фильтрации, находится решением приведенного выше матричного уравнения.
Робастные сплайн-фильтры. Здесь так же, как и при использовании робастны
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.