КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 6, с. 543-552
УДК 521.93
АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ ЧАНДЛЕРОВСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛЮСА ЗЕМЛИ
© 2007 г. Ю. Г. Марков1, В. В. Перепелкин1, И. Н. Синицын2, Э. Р. Корепанов2,
Хоанг Тхо Ши3
Московский авиационный институт, 2Институт проблем информатики Российской академии наук, г. Москва 3Московский физико-технический институт Поступила в редакцию 30.03.2006 г.
Рассматривается приближенная нелинейная спектрально-корреляционная модель флуктуаций амплитудно-частотных характеристик чандлеровских автоколебаний полюса Земли. Изучается чувствительность параметров модели к асимметрии и анизотропии флуктуационно-диссипативных моментов сил и к воздействию гармонических гравитационно-приливных моментов сил на чандлеров-ской и близкой к ней частотах. Приводятся результаты аналитического и статистического моделирования стабильности амплитудно-частотных характеристик. Изучено влияние флуктуаци-онных возмущений типа белого шума на спектрально-корреляционные характеристики колебаний.
РАС8: 91.10.Nj
введение
Исследуется фундаментальная астрометриче-ская проблема многочастотного колебательного процесса полюса Земли, который содержит составляющие с сильно различающимися амплитудно-частотными характеристиками [1]. В этом спектре частот присутствует основная составляющая, амплитуда которой достигает величины 0.20''-0.25'', а период равен примерно 430-440 звездных суток (С. Чандлер, 1891 г.). Астрометрические наблюдения и измерения за последние 150 лет не содержат никаких указаний на затухание колебательного движения полюса Земли [2]. Оценивая возможности модели затухающего колебания чандлеровской составляющей движения полюса, Манк и Макдональд отмечали, что нет недостатка в объектах, к которым может происходить отток энергии. Ими могут быть кора Земли, ее мантия, а также океаны. Однако механизма возбуждения и поддержания колебательного движения полюса до сих пор не найдено. В [3, 4] на основе модели линейного вязкоупругого твердого тела исследованы возмущенные движения полюса Земли. Выявлен резонансный приливной механизм возбуждения колебаний полюса, обусловленный вращательно-поступательным движением барицентра "двойной планеты" Земля-Луна вокруг Солнца. Заметим, что учет моментов трения (диссипации) необходим особенно, например, при изучении вопросов затухания колебаний в геодинамических процессах. Рассматривая столь тонкий вопрос о диссипативном факторе нельзя забывать, что важную роль в этих процессах иг-
рает время. Известно, что за миллиарды лет эволюции Солнечной системы диссипативные процессы, происходящие на Земле, синхронизовались с циклами системы Земля-Луна-Солнце.
Сложная динамика взаимодействия в гидросфере мелко и крупномасштабных движений, включающая широкий спектр турбулентных флуктуаций с учетом диссипативных свойств вязкоупругой мантии Земли позволяет говорить о нелинейном характере момента сил диссипации.
В [5-7] изучены автоколебания полюса Земли на чандлеровской частоте с учетом обобщенного релеевского механизма затухания колебаний большой амплитуды и раскачивания колебаний малой амплитуды.
1. теоретическая модель флуктуационно-диссипативных моментов сил. уравнения колебательного движения полюса
Настоящая статья является обобщением [8-12] и развитием [5-7] на случай асимметрии и анизотропии нелинейных моментов диссипации, асин-фазности гармонических гравитационно-приливных моментов на чандлеровской и близкой к ней частотах, а также влияния нормальных (гауссов-ских) коррелированных широкополосных случайных флуктуаций. Особое внимание уделено рассмотрению случая, когда коэффициенты диссипации аппроксимируются полиномами четвертой степени.
Введем следующие обозначения и допущения.
1) Обозначим через р и д - проекции вектора мгновенной угловой скорости вращения Земли на связанные оси (р, д < г*, г* - осевая скорость вращения Земли).
2) Примем следующую обобщенную релеев-скую нелинейную модель флуктуационно-дисси-пативных моментов сил:
Мфд = Мфд( X, р, д) = Мф(X) + МД(р, д) = = V,- (Бри + Брзр2 + Б^д2)р -
- (Dll+ D^^qZ + D?pp2)q,
M^ = Mфд( t, P, q) = M(t) + MД(p, q) =
(1)
= V2- (+ Врзр2 + 0Рр1д2)р -- (+ Б2з д2 + Б^р2)д.
Здесь - нормальные (гауссовские) коррелированные широкополосные возмущения с известными спектрально-корреляционными характеристиками [12]:
/12 (ю) = [j (ю)], kVl2 (т) = [ кI1'1 (т)] ( t, j = 1, i ),
(2)
величины 5DP = D^ - D1, 5Dp3 = Df3 - D3, 5DP? = = DP3? и 5Dfj = Dq2l - Di, 5D^3 = Dq23 - D3, 5D?3 =
r\?P
= Dqf - характеризуют асимметрию диссипативных
моментов, а 5D?j = D?j , 5D?3 = D23, 5D?3P = D2fP,
5D21 = DP , 5Dq3 = Dp3, 5Df3? = Dq3? - анизотропию диссипативных моментов, D1 и D3 - значения коэффициентов диссипации, отвечающих симметричному изотропному случаю [6, 7].
3) Учтем гравитационно-приливные моменты сил на чандлеровской частоте N:
М1пq(Nt) = Цр, ?cos (Nt - вp, ?), (3)
где ? и вР, ? - квазипостоянные параметры, определяющие амплитуду и начальную фазу колебаний [3, 4]. Наряду с моделью (3) рассмотрим также гармоническую модель на частоте N1 близкой к чандлеровской частоте N:
Ml^ ( Nlt ) = ^ q cos ( N1 t - ß p, q ) .
(4)
С учетом допущений 1)-3) уравнения движения полюса Земли имеют следующий вид [10]:
р + Ыд = Мфд + МТ, д- Ыр = Мфд + М2п, (5)
где Мфд2 и М™ 2 определены согласно (1)-(4).
Уравнения (5) представляют собой нелинейную стохастическую дифференциальную систему
с аддитивными шумами. Для ее исследования в рамках спектрально-корреляционной теории стохастических систем могут быть использованы как прямые методы статистического моделирования, так и спектрально-корреляционные методы аналитического моделирования, основанные на нормальной аппроксимации распределений [13]. Для приближенного исследования спектрально-корреляционных характеристик автоколебаний на чандлеровской частоте N в рамках первого приближения методы анализа спектральных характеристик развитые в [8-12], как показано в [5-7], допускают существенное упрощение, если, во-первых, провести эквивалентную линеаризацию нелинейных диссипативных моментов, во-вторых, воспользоваться переменными Ван-дер-Поля [14], в третьих, ограничиться анализом усредненных амплитудно-частотных характеристик на периодах 2n/N и 2n/Nj.
2. автоколебания полюса земли на чандлеровской частоте
Пренебрегая членами с квадратами и произведениями диссипативных коэффициентов, а также
моментами мфд2, m 2, представим уравнения (5) в следующем разрешенном относительно p виде [7]:
p + [N2 + N( Dqu - Dfq ) + N( D13 - Dp23 )p2 + NT1 X X ( 3 D?3 - 2Dqp - Dp3q)p2 ]p + [Dpu + d2j + N~2 X (6) X ( D\l + D23 )p2 + ( 3 DI3-2 D* + D23) p2 ] p = 0.
Для изучения автоколебаний на чандлеровской частоте N [14], перейдем в (6) к новым переменным:
p = a cos у, p = -aN sin y, y = Nt + Ay. (7) Тогда, если обозначить
f (p, p) = -[N(Dqu - D21 ) + N(Dqp - Dp3)p2 +
+ Nq(3D?3- 2DT3 - Dp3)p2 ]p - [(Dlq + Dq2l ) + (8)
+ N-2(DU + D23 )p2 + ( 3Dp3 - 2DU + D\p)p2 ]p,
то усредненные по чандлеровскому периоду 2n/N амплитуда a и поправка в частоту Ay будут определяться следующими уравнениями:
à = -N- ( /д ( a cos у, -aN sin y) sin у) = A ( a ), (9)
A\j/ =
= -¡N? ^ /Д (a cos V, -aNsin V) cos V> = Вд (a ), ( )
ний (9), (11) методами теории чувствительности
где (...) - символ усреднения на периоде 2n/N, Лд( a) = -[ 4 (Dpu+ D\i) +
(3 D
. Dqp - DPq . 23 ^13
Bд (a) =
(D^ - DP3q)
3D23)a ]a/8,
[ 3 (D\3- Dp23) -
(11)
(12)
-4(Dpi - D?i)]a /8.
В режиме стационарных колебаний возможны два решения:
a* = 0,
(13)
2 5Dqp - 5Dp3q -
3 5 Di3
8 D 3
отвечающие покою (a* = 0) и автоколебаниям (a* > 0). Учитывая условие асимптотической устой-
чивости
dA* (a) _ 1
da
= -§ [ 4 (D[i + Dpi) +
(14)
+ 3 (3 Dp3 + Dqp - Dpq + 3 Dq3)a' ] < 0
pq.
заключаем, что решение а* = 0 (покой) асимптотически устойчиво при Врг + В^ > 0, а решение а* > 0 (автоколебания) устойчиво только при условиях: Ори + < 0, (3 В13 + 2 В?р - + 3 В23) > 0. В последнем случае имеет место поправка в частоту
Ау* = [(Dqp - Dpi) + 3(D?3- Dp3) --4(Dpp -Dqp)]a*2/8.
(15)
Для количественной оценки чувствительности амплитуды автоколебаний а и фазы Ду к параметрам асимметричности и анизотропности в стационарном режиме используется конечная формула (13), а в нестационарном режиме - линейные дифференциальные уравнения для функций чувствительности (влияния) Эа/Э5В'у, ЭДу/Э5В'у (/ = р, ?, ?р, р?, у = 11, 13, 21, 23), полученные из уравне-
[8-12, 15]. При условиях Dp3q = DqPp = 0 и
Dp = D = П
D11 D21 D1
D = D = D
i3 23 3
(16)
Dpp = Dp3 = Dp3 = D2i = D23 = D23 = 0
из (9)-(15) получаем результаты [5], а при Вр3? =
= Вр3 = В?3 = В?3 = В3 и (16) имеем результаты [6, 7].
Таким образом, для обобщенного релеевского несимметричного и анизотропного механизма затухания больших колебаний на чандлеровской частоте N и раскачивания малых колебаний в первом уравнении системы (6) возможно существование асимптотически устойчивых стационарных автоколебаний (7) полюса Земли с амплитудой а* (13). При этом вследствие ассимметрии и анизотропии диссипативных моментов появляется поправка в частоту автоколебаний (15). Амплитуда автоколебаний чувствительна, в первую очередь, к параметрам 5ВРЬ 5Вр3, 5В?!, 5В23, 5В?3, и 6В[?.
3. влияние гравитационно-
приливных моментов на чандлеровской частоте
Обобщая результаты [6, 7] на случай цр Ф ц?,
в? Ф вр, положим в (1) Ври = В?! = В,, ВРр3 = В?33 =
_ ТЛ?р
Jq Vp
= Dp3 = Dq3 = D3:
13 — ^23 — ^3-
M = -[ Dp + D3( p2 + q2)] p, M2 = -[ Dp + D3( p2 + q2)] q.
(17)
При этом М™ 2 возьмем в виде (2), а Мф 2 = 0. Тогда после вычислений будем иметь следующие результаты. Решение дифференциального уравнения задачи:
p + Np = /дгп(p, p, Nt), /дгп(p, p, Nt) = -2[Dp + D3(p2 + p2N2)]] -
(18)
(19)
- N[^cos (Nt - pq) + ^sin(Nt - Pp)],
в первом приближении будет иметь вид [13]
p = a cos у, p = -aN sin у, у = Nt + Ay, (20)
причем амплитуда a и поправка в частоту Ay определяются уравнениями
1
a = -— (/дгп (a cos у, -aN sin у) sin у) =
= Лдгп(a, Ау),
Ау = -— (/дгп (a cos у, -aN sin у) cos у) = и пренебрегая моментами Мф, 2, для p имее
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.