ГЕОМАГНЕТИЗМ И АЭРОНОМИЯ, 2004, том 44, № 5, с. 710-716
УДК 550.384.3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ МАНТИИ ЗЕМЛИ
© 2004 г. П. М. Ахметьев
Институт земного магнетизма ионосферы и распространения радиоволн РАН, Троицк (Московская обл.)
e-mail: akhmetev@izmiran.rssi.ru Поступила в редакцию 24.07.2002 г.
После доработки 25.12.2003 г.
Строятся аналитические решения уравнений Максвелла для простейшей модели Земли в условиях квазистатического приближения с источником на границе ядра. Предполагается, что проводящий слой в мантии является тонким и рассматриваем с толщиной LM как малый параметр, среднее значение электропроводности о0 в этом слое рассматривается как большой параметр, при этом считается, что произведение этих двух параметров L2M о0 имеет порядок 1, а функция электропроводности, задающая распределение неоднородностей проводимости в мантии медленно меняется по пространственным координатам. Вычисляется главное приближение решения для электромагнитного поля на поверхности Земли через вектор тока на границе ядра.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время аналитические решения в задаче моделирования электромагнитных полей в трехмерно-неоднородных проводящих средах практически не известны. Разложения точных аналитических решений подобных задач в ряд по малым параметрам и явные вычисления главных поправок построенных рядов, насколько известно автору, в полном объеме не проводилось. Поэтому любые результаты в этом направлении важны для задач, возникающих в геофизике. В настоящей публикации мы рассматриваем задачу описания особенностей поля вековых вариаций магнитного поля Земли, обусловленных пространственно-неоднородными областями проводимости в нижней мантии. Рассматривается подход к ее анализу и последующему решению.
Изучается простейшая плоская модель мантии Земли, состоящая из двух подобластей. Одна из них представляет бесконечный плоский проводящий слой U1, заданный в декартовой системе координат формулой 0 > z > z0. Этот слой моделирует мантию. Проводимость в слое постоянна. Другая подобласть представляет собой бесконечное полупространство, примыкающее к верхней границе проводящего слоя. Эта бесконечная область моделирует диэлектрик. Представленная модель возбуждается плоской волной, периодической по х,у-координатам, затухающей при z —- Такая волна однозначно определяется своими граничными условиями на нижней границе проводящего слоя. В аналогичной постановке (для сферической модели) задача впервые изучалась в работе [Lahiri and Price, 1939].
В дальнейшем представленная модель существенно обобщалась. Было предложено изучать модели со сферическим слоем, проводимость в котором зависит от радиуса (быстро убывает от нижней границы мантии к ее верхней границе). Тем не менее в работе [Брагинский и Фишман, 1977] было показано, что в предположении о проводимости, сосредоточенной вблизи нижней границы мантии, которое общепринято в современной геофизике, точное решение, представляемое сложными формулами, возможно упростить. Приближенное решение характеризуется операторами индукционного экранирования и геометрического ослабления, которые перестановочны между собой. Таким образом, оказалось, что простейшая модель с соответствующими усредненными параметрами отвечает требованиям для работы с главным магнитным полем Земли, наблюдаемом на поверхности. Более того, оказалось, что предложенная модель выдерживает дополнительный предельный переход, при котором толщина мантии стремится к нулю, а проводимость в этом бесконечно тонком слое возрастает до бесконечности, пропорционально квадратному корню от значения толщины. При этом предположении процесс экранирования поля в мантии вполне характеризуется единственным безразмерным параметром т - комплексным числом, модуль которого определяет ослабление сигнала при прохождении через мантию, а аргумент определяет фазовый сдвиг электромагнитной волны.
При таком предельном переходе "громоздкие" формулы для точных решений значений наблюдаемого электромагнитного поля становятся простыми. Для случая рассматриваемой модели эти
формулы напоминаются в разделе 4. Заметим, впрочем, что рассматриваемый предельный переход трехмерной модели не соответствует пленочной модели токового слоя. Во избежание путаницы используются лишь безразмерные величины, которые выражаются через отношения амплитуд граничных условий и наблюдаемого поля.
Целью работы является изучение простейшей трехмерно-неоднородной плоской модели в рамках предложенного подхода. Предположим, что вариация проводимости в трехмерном плоском слое мала по абсолютной величине и характеризуется безразмерным малым параметром а. Геометрия неоднородностей определена периодической функцией по х,у-координатам, а также вещественным параметром у, связанным с абсолютной величиной г-компоненты градиента функции вариации электропроводности, или, неформально говоря, со скоростью затухания вариации электропроводности от нижней границы слоя к его верхней границе. Среднее же значение проводимости в каждом плоском слое постоянной глубины не зависит от глубины.
2. ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ
И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ
Рассмотрим простейшую плоскую модель мантии, состоящую из двух подобластей, описанную во введении. Нижнюю границу проводящей области и1 будем обозначать через Бс, а верхнюю через Бм.
Уравнения Максвелла для квазистационарного поля в пренебрежении токами смещения имеют вид
а(х, у, z) = gq[1 + af(x, y, z)] G(x, y, z) = C,
Ui,
(3)
(4)
rotH = o(x, y, z)E - jext rotE = i юцН,
(I)
где а - вещественный малый параметр; а0 - положительная константа (среднее значение проводимости). Функция / определяет вариацию проводимости в слое. Предполагается, что эта функция периодическая по х,у-координатам.
Теперь опишем граничные условия, требующиеся для согласования различных ветвей решения в областях и0 и и1 вдоль поверхности £м, и правило, связывающее вектор тока с решением на границе £с. Мы начнем построения с хорошо изученного случая однородной мантии, соответствующего а = 0. Рассмотрим разложение вектора тока
je
-- jp + j^
(5)
где ц - вещественная положительная константа, определяющая магнитную проницаемость среды; а - вещественнозначная функция, принимающая неотрицательные значения, которая определяет проводимость среды. Зависимость от времени искомых векторов Н, Е определяется множителем е-иы, где щ - частота рассматриваемого поля, г =
= л/-1. Для описания решения, т.е. для вычисления векторов Н, Е, удовлетворяющих уравнению (1) задают граничные условия на поверхности 8с в виде вектора тока }ех1(х, у). Этот вектор, вообще говоря, произвольный и лежит в плоскости £с. Подробности в постановке граничных условий рассмотрены чуть ниже в этом разделе и в начале раздела 4.
Функция а проводимости определяется формулами
а(х, у, г) = 0 ио, (2)
на полоидальную и тороидальную составляющие, jp, в, ф = n х gradф, jT; в, ф = gradф, где ф = ф(^ у) - периоДическая функция по обеим координатам в плоскости SC.
В области U1 произвольный бездивергентный вектор разлагается на полоидальную и тороидальные компоненты (см. [Zhang and Schulz, 1992; Брагинский и Фишман, 1977]) и это разложение соответствует разложению вектора тока в формуле (5). В соответствии с этим разложением определяют Н = Hp + HT, E = Ep + ET, где каждая пара векторов Hp, Ep, HT, ET является решением уравнения (1) для соответствующего вектора тока. Ниже рассматривается случай полоидального
полЯ jext = jp.
На границе SM вектор Hp лежит в классе функций C1 (непрерывен вместе с первыми частными производными). На практике это равенство достаточно проверить для касательных компонент поля, поскольку нормальная компонента удовлетворяет тому же полному уравнению. Из этого вытекает, что и вектор Ep является непрерывным, но, вообще говоря, имеет разрыв частной производной по z. Заметим, что вектор Ep имеет лишь (x, у)-компоненты. Вектор jp равен вектору aQ(x, y)Ep на поверхности SC.
Предложенная модель может быть дополнена бесконечной областью U2, определяемой уравнением z ^ zQ, с бесконечной проводимостью. При конечных значениях проводимости вектор тока определяет разрыв решения на поверхности SC, а граничные условия дополняются нулем на Это соответствует предельному процессу для од-нопараметрического семейства моделей, при котором проводимость в области U2 возрастает до Хорошо известно, что решения предельной модели обращаются в области U2 в нуль и удовлетворяют поставленным граничным условиям на SC. При этом интерпретации граничные условия, действительно, будут соответствовать токам, текущим на границе ядра и мантии. Такая модель яв-
ляется, конечно, упрощенной, так как не учитывает процесс генерации поля внутри жидкого ядра.
В случае а Ф 0, граничные условия на 8С и 8М полностью определяются разложением соответствующего вектора на полоидальную и тороидальную составляющие в малой окрестности границы. Главная поправка решения по параметру неоднородности разлагается на тороидальную и полоидальную составляющие, причем интересующая нас полоидальная компонента удовлетворяет граничным условиям для однородной задачи.
3. ОБЩИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОПРАВКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ПО ПАРАМЕТРУ НЕОДНОРОДНОСТИ
Удобно объединить систему уравнений (1) для Н, Е в одно уравнение второго порядка с неизвестным вектором Е(х, у, z, а).
rotrot(E) = kо[ 1 + af (x, y, z)]E - je
(6)
7 2
причем k0 = ¿юцсо - чисто мнимая постоянная, определяющая волновое число среды. Вектор H вычисляется по вектору E согласно следующей формуле H = (¿юц)-1 rot E.
В случае a = 0 проводимость в проводящей мантии постоянна, мы напоминаем этот случай в разделе 4. Рассмотрим предельный переход
z0 — 0, (7)
и изучим асимптотику точных решений.
При этом вводится безразмерный параметр т = = ^-¿ЮцОоLM, где LM = -z0 - малый параметр, равный толщине проводящего слоя. В условиях предельного перехода (7) параметры a0, LM выбираются такими, что т = const. Для этого необходимо предположить, что а0 —► Кроме того, в дальнейших построениях предполагается, что и сам параметр т мал и после предельного пе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.