ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2008, № 5, с. 34-41
УДК 550.831+838
АНАЛИТИЧЕСКИЕ АППРОКСИМАЦИИ ГЛУБИН АРКТИЧЕСКОГО БАССЕЙНА И ИХ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
© 2008 г. В. Н. Конешов, И. Э. Степанова
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 26.03.2007 г.
Построены аналитические аппроксимации и выполнен спектральный анализ глубин Арктики с учетом большого массива данных на основе метода линейных интегральных представлений. Приводятся результаты расчетов по разработанным компьютерным технологиям.
PACS: 91.10.0p; 91.10.By
ВВЕДЕНИЕ
При планировании гравиметрических съемок в Арктическом бассейне необходимо исходить из ряда предпосылок:
- гравиметрические съемки прошлых лет выполнялись по редкой неравномерной сети с низкой точностью координатного обеспечения и, как правило, авиадесантным способом;
- данные спутниковой альтиметрии на районы Арктики отсутствуют из-за ряда объективных причин;
- в районах Арктики практически нет возможности выполнить морскую гравиметрическую съемку;
- модели гравитационного поля Земли на эти районы весьма приближенные, т.к. основные погрешности этих моделей сосредоточены в полярных шапках;
- аэрогравиметрический метод позволяет выполнить съемку арктических районов.
В настоящее время он обладает серьезным недостатком - его разрешающая способность позволяет выделить длины аномалий от 6 км и длиннее.
Для районов Арктики было показано [Конешов, Проценко, 1984], что аномалии силы тяжести с большим коэффициентом корреляции повторяют значения глубин.
Целью этой статьи было выполнение спектрального анализа глубин Арктики модифицированным способом с учетом большого массива данных для принятия окончательного решения о возможности использования гравиметрического метода при уточнении гравитационного поля Арктики.
На основе метода линейных интегральных представлений, разработанного В.Н. Страховым (см. [Страхов, Керимов, 1999; Страхов, Страхов, 1999 а; Страхов и др., 2000 а; Страхов и др., 2000 б; Страхов и др., 2000 в; Страхов и др., 2001]) мож-
но строить линейные аналитические аппроксимации элементов аномальных потенциальных полей и функции, описывающей рельеф местности, в частности, задающей грид глубин некоторых областей мирового океана.
В данной статье рассмотрены компьютерные технологии построения аналитических аппроксимаций также рельефа местности в локальном варианте с использованием системы прямоугольных декартовых координат. При этом будет рассмотрена предложенная В.Н. Страховым аппроксима-ционная конструкция использования метода линейных интегральных представлений: нахождение спектров Фурье элементов аномальных потенциальных полей (Б-аппроксимация). Аналитическая аппроксимация рельефа позволяет затем решать другие геофизические и геодезические задачи. В частности, можно определить спектральные составляющие высотных отметок рельефа или значений глубин, представленных в виде равномерной сетки (грида), оценить интенсивность коротковолновых и длинноволновых компонент.
Нами рассматривались задачи с относительно небольшим количеством точек (<6000). Поэтому возникающие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решались тремя методами: методом М.М. Лаврентьева (в модификации В.Н. Страхова), методом регуляризации разложения Холецкого и итерационным методом, разработанным В.Н. Страховым. В примерах с большим количеством точек (9000-30000) СЛАУ решались с помощью двух модификаций метода блочного координатного спуска [Страхов и др., 2001].
В Заключении приводится анализ эффективности предлагаемых компьютерных технологий и рассматриваются перспективы их дальнейшего развития.
1. Алгоритмы построения аналитических аппроксимаций аномальных гравитационных и магнитных полей с помощью интеграла Фурье (F-аппроксимация)
В 50-е - 80-е в гравиметрии и магнитометрии благодаря исследованиям отечественных (К.В. Гладкий, Ф.М. Гольцман, В.Н. Луговенко, В.Р. Мелихов, С.А. Серкеров, Т.Н. Симоненко, O.A. Соловьев, В.Н. Страхов, Г.А. Трошков, С.В. Шалаев и др.) и зарубежных (B. Bhattacharryya, N. Barber, W. Dean, W. Hahn, P. Naidu, N. Neidell, F. Syberg и др.) ученых достаточно широко использовались методы обработки и интерпретации данных гравитационных и магнитных наблюдений, основанные на использовании аппарата спектрального анализа (анализа Фурье) элементов аномальных потенциальных полей.
При этом предполагалось, что элемент V(x), x = = (xj, x2, x3) аномального поля непрерывно задан на всей бесконечной плоскости x3 = 0 и что однозначно восстанавливается преобразование Фурье F(u, v) элемента V(x) | x = 0 :
F( u,v) = 2П J J V( x)"
x3 = 0
x
(1)
x exp(i(ux 1 + vx2))dx1dx2.
Спектральный анализ в гравиметрии и магнитометрии использовался для решения целого ряда интерпретационных задач.
Обратное преобразование имеет вид:
T i V ( x )} = 2П J J K ( u, v ) F ( u, v )x
x exp(-i(ux1 + vx2))dudv,
(2)
AS ( x ) = -
dVa(x)
д x3
(3)
Здесь иа(х), х = (хь х2, х3) суть потенциал аномального гравитационного поля, а ось 0х3 направлена вверх (в "воздух"), в силу чего в (3) фигурирует знак минус. Будем считать, что рельеф ( высотные отметки или грид глубин) представляет собой предельные значения некоторой гармонической в нижнем (соответственно - верхнем) полупространстве функции, которую будем обозначать так же, как элемент гравитационного поля.
Постановка задачи состоит в том, что вводится
, Э V а ( X ) спектральное представление функции —-, гард х3
монической в полупространстве х3 > -Н (или х3 < Н) через спектр Фурье Е(ы, V) потенциала Уа(х):
д Va ( x ) д x3
Î+œ + оэ
21П J J K( u, v ; x3 + H) F( u, v )
x exp(-i(ux 1 + vx2))dudv =
x
(4)
= 2n J J K(u, v ; x3 + H) ( A (u, v )cos ( ux1 + vx2 ) +
+ B(u, v) sin(ux1 + vx2))dudv. Здесь положено
K( u, v ;x3 + H) = exp (-( x3 + H) u + v ) (5)
где Т{ У(х)} = W(x) есть некоторая линейная трансформанта функции У(х), которой в спектральной области соответствует умножение спектра Е(ы, V) на частотную характеристику К(и, V). Создание численных методов нахождения спектров Фурье Е(и, V), основанных на общей теории метода линейных интегральных представлений, а также разработанных В.Н. Страховым теории и методах нахождения устойчивых приближенных решений линейных алгебраических уравнений большой размерности, позволяет принципиально по-новому подойти к использованию метода анализа Фурье в задачах гравиметрии и магнитометрии.
Рассмотрим основные постановки задач на нахождение спектров Фурье элементов аномальных потенциальных полей по данным экспериментальных исследований этих полей. Для определенности ограничимся случаем гравитационного поля и задания значений одного элемента:
F( u, v) = A(u, v) + iB( u, v).
(б)
Основная вариационная постановка на нахождение функций А(и, V) и В(и, V) (действительной и мнимой частей комплексного спектра Фурье) имеет следующий вид [Страхов, Керимов, 1999]:
J J |F(u, v)|2dudv =
= J J (A2(u, v) + B2(u, v) )dudv = mi
J J A(u,
(7)
min
v) B (u, v)
при линейных условиях
A*-¿J J K{u v ; x3°+H) x
и
X [A(и, V) 008 (ux(1') + +
+ В(и, v)sin(их'1) + vx2¡))]dudv = 0,
; = 0, 1, 2, N,
где положено
/;,5 = V (х( ;)) + 5 У,..
Задача (5)-(8) решается методом множителей Лагранжа. Имеют место представления
дятся из решения системы линейных алгебраиче-(8) ских уравнений (СЛАУ):
А Х = /5, (17)
в которой А есть ^ X N - матрица со свойством
А = Ат > 0 (18)
и элементами а , 1 < р, д > N:
(9)
ард
А ( и, V) = ^Х;Р;( и, V) ,
г = 1
N
В( и, V) = ^Х;0;(и, V) ,
(10)
[Рр(и, V)Рд(и, V) + 0р(и, V)0д(и, V)]dudv,
(19)
; = 1
где положено
а /5 есть N - вектор с компонентами /; 5, определенными по (3.9), X - есть N - вектор с компонентами Х;.
Выражение (19) с учетом (15)-(16) можно
Р;(и, V) = К(и, V, х3) + Я)008(их(/) + Vх2;)),(11) предста,ить в следующем ,иде:
2 п
0;(и, V) = К(и, V, х3) + Н)8т(их1) + Vх2^, 2п
(12)
1 Г Г -(х3р) + х3д) + 2 Н ^ и2 + V2
= —2 IIе X
4 п2-1 -1
(20)
; = 1, 2, N. С учетом (5) имеем:
X 008(и(х 1р) - х1д)) + V(х2р) - x2q)))dudv,
N . ,-
1 V л -(Хз) + Н>л/и2 + V2
А(и, V) = — ^Х е X
; = 1
N
X 008(их1) + vx2¡)) = ^Х;Р;(и, V),
; = 1
N ¡ п-^
1 ^ -(х3° +и2+ В(и, V) = —^Х ;е X
(13)
т.е. дело сводится к вычислению интегралов вида
П- Гг 2
е- и + v 008(аи + Pv)dudv, (21)
где
г = х3р) + х3д) + 2 Н.
(22)
= 1
В работе [Страхов, Керимов, 1999] был описан следующий способ вычисления интегралов вида (14) (21). Переходим к полярным координатам, полагая
X 8Ш ( их1) + vx2¡)) = £Х 0;( и, V),
; = 1
где
1 -(х3) + Н)1и
Р; (и, V) = 2П е
1 -(х'З) + Н)„[и
008 ( их1 ) + vx2¡ )), (15)
и = Г008 ф,
V = Г 8Ш ф,
0 <ф< 2 п,
в = р sin б, а = р 008 б,
р = л/а2 + в2,
б = агс12в. а
(23)
б;(u, v) = 2Пе 43 sin(их1) + vх2)). (16) Это приводит интеграл /а, р(г) к следующему виду:
Как показано в [Страхов, Керимов, 1999; Страхов и др., 2000а; Страхов и др., 2000в] значения параметров Х; (множителей Лагранжа) нахо-
2п
,р(г) = | dф|г008(рг008(ф - б))ezГdг. (24)
0 0
N
а
рд
N
J
Имеем:
d
J re zr cos (p r cos (ф - 6)) dr =
z_ = z - p 2 cos ( ф - 6 )
dzz2 + p2cos2^ - 6) z2 + p2cos(ф - 6)2
(25)
Подставив выражение (25) в (24), получим
2п -
Jа, ß( Z) = J
2п -6 2 2 2 2 1 (26)
p - zp cos фdф = п 1
, 2 2 2 ,2^ z3 П-2'
(z + p cos ф) z Vz2 + p2
Окончательное выражение для элементов матрицы для второй постановки выглядит следующим образом:
ap, q
(27)
4п( x3p) + x3q) + 2 H )3[( x3p) + x3q) + 2 H )2 + (x1p) - x1q))2 + (x2p) - x2q))2 ]2
Решая систему (17)-(19), мы находим множители Лагранжа Хг, г = 1, 2, ..., N и, тем самым, спектры искомых элементов аномальных полей или рельефа К(и, V, х3 + Н)Е(и, V), |К(и, V, х3 + + Н)Р(и, у)|2. Последнее выражение представляет собой зависимость квадрата амплитуды спектра от частот и и V - энергетический спектр на высоте Н (или глубине Н, если рассматривается "грид" глубин).
2. Компьютерные технологии нахождения линейных аналитических аппроксимаций гармонических функций (элементов потенциальных полей) в локальном варианте
Выше были рассмотрены алгоритмы построения аппроксимационных конструкций аномального гравитационного и аномально
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.