научная статья по теме АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ГЛОБАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ АКУСТИЧЕСКИХ МОД В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА Физика

Текст научной статьи на тему «АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ГЛОБАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ АКУСТИЧЕСКИХ МОД В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 11, с. 955-966

ТОКАМАКИ

УДК 533.9

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ГЛОБАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

АКУСТИЧЕСКИХ МОД В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА © 2014 г. В. И. Ильгисонис*, **, Л. В. Коновальцева**, В. П. Лахин*, Е. А. Сорокина*, **

*Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт ", Москва, Россия **Российский университет дружбы народов, Москва, Россия e-mail: victor_ilgisonis@yahoo.com, sorokina.ekaterina@gmail.com Поступила в редакцию 23.01.2014 г. Окончательный вариант получен 22.05.2014 г.

Построены аналитические решения для глобальных геодезических акустических мод в плазме тока-мака с круглыми концентрическими магнитными поверхностями. В рамках идеальной магнитной гидродинамики выведено интегральное уравнение на собственное значение (дисперсионное уравнение), учитывающее тороидальное зацепление электростатических возмущений с электромагнитными возмущениями с полоидальным волновым числом |m| = 2; в отсутствие такого зацепления дисперсионное уравнение приводит лишь к стандартному сплошному спектру. Проведен анализ существования глобальной геодезической акустической моды для равновесий плазмы с максимумом локальной геодезической акустической частоты, лежащим как на оси, так и внутри плазменного шнура. Аналитические результаты сопоставлены с результатами численных расчетов.

DOI: 10.7868/S0367292114110031

1. ВВЕДЕНИЕ

Геодезическими акустическими модами (ГАМ) в плазме токамака традиционно называют низкочастотные тороидально- и полоидально-сим-метричные (п = 0, т = 0) осцилляции электростатического потенциала, сопровождающиеся колебаниями плотности плазмы на первой поло-идальной гармонике |т| = 1. Изначально ГАМ были предсказаны в [1], где в приближении большого аспектного отношения была определена частота их сплошного спектра:

С(г)

ю = ю„ео(г) = •

R

2 +

1

q 2(r)

(1)

Здесь е5 — скорость звука, Я — большой радиус токамака, q — коэффициент запаса устойчивости. Локальная частота ГАМ (1) является функцией радиуса г и изменяется, главным образом, пропорционально корню из температуры. В рамках идеальной магнитной гидродинамики (МГД) геодезические акустические моды оказались линейно устойчивыми, в связи с чем их открытие в 1968 г. не вызвало большого резонанса.

Возникновение широкого интереса к ГАМ относится к началу двухтысячных годов и связано с распространением парадигмы о главенствующей роли зональных течений в регуляризации турбулентного транспорта в токамаках [2]. На сегодняшний день ГАМ являются одним из наиболее активно исследуемых явлений физики плазмы в тороидальных системах магнитного удержания. Экспериментальные измерения геодезических

акустических мод проводятся практически на всех ведущих токамаках (см., например, [3—9]). Значительный прогресс достигнут и в теории локальных ГАМ. Выражение для частоты сплошного спектра ГАМ (1) модифицировано с учетом эффектов анизотропии давления плазмы [10], тороидального и полоидального вращения [11—15], энергичных частиц [16, 17], некруглости сечения плазменного шнура [18, 19].

Одним из наиболее важных вопросов в теории ГАМ сегодня является вопрос о существовании собственного решения для геодезической акустической моды, и вызван он экспериментально обнаруженным постоянством частоты колебаний, идентифицируемых как ГАМ, во всем объеме плазмы [20—22]. Это обстоятельство противоречит традиционному описанию ГАМ как локальных колебаний со сплошным спектром и напрямую указывает на глобальность исследуемых мод. Численно глобальные ГАМ (ГГАМ) были впервые обнаружены в [23, 24], причем исключительно для ситуаций с внеосевым максимумом локальной частоты ГАМ юЕ60 как функции магнитной поверхности. Аналитическое подтверждение существования ГГАМ в этом случае получено значительно позже в [25]. Как следует из (1), внеосе-вой максимум юЕ60 может существовать либо за счет отрицательности магнитного шира, либо за счет немонотонности профиля температуры — обе ситуации не вполне типичны для плазмы современных токамаков и не соответствуют обычным условиям экспериментов [20—22]. Принци-

пиальная возможность существования ГГАМ в разрядах с монотонным профилем юЕ60 продемонстрирована в [26] для ограниченного класса равновесных профилей плазмы.

В настоящей работе суммированы результаты поиска аналитических решений для ГГАМ в плазме токамака. В случае чисто электростатических возмущений (т = 0) полученная система уравнений, описывающая низкочастотные МГД-коле-бания, обладает лишь сингулярными решениями с известной частотой сплошного спектра локальных ГАМ (1). Учет возмущений на второй полои-дальной гармонике (|т\ = 2) способен устранить указанные сингулярности, что позволяет рассчитывать на получение глобального решения (собственной моды). При наличии внеосевого максимума локальной частоты ГАМ такое решение построено с помощью метода асимптотической сшивки. Полученное решение подводит аналитическую базу для численных расчетов [23, 24], где, как уже отмечалось, немонотонность юЕ60 считалась необходимой для реализации глобальной собственной моды ГАМ. Далее рассматриваются исключительно равновесия с положительным магнитным широм. Специальный выбор радиального профиля коэффициента запаса устойчивости д(г) позволяет упростить уравнение связи между основной и второй полоидальными гармониками электростатического потенциала. Получены точные аналитические решения как при наличии внеосевого максимума у локальной частоты ГАМ (за счет немонотонности профиля температуры), так и в его отсутствие. Все полученные аналитические решения хорошо соответствуют результатам численных расчетов. Используемая процедура численного решения задачи на собственные значения подробно описана в [27], где она была применена для расчета собственных мод желобковой неустойчивости во вращающейся плазме.

Работа построена следующим образом. В разделе 2 сформулирована задача на отыскание собственной моды геодезических акустических колебаний. В разделе 3 найдено асимптотическое решение задачи для юЕ60 с внеосевым максимумом. В разделе 4 построены точные аналитические решения для равновесий с монотонным профилем коэффициента запаса устойчивости д(г). Рассмотрены два случая: юЕ60(г) с внеосевым максимумом и монотонно спадающий профиль юЕ60(г). Кратко сформулированные выводы представлены в последнем разделе.

2. ЗАДАЧА НА ОТЫСКАНИЕ СОБСТВЕННОЙ МОДЫ

Используем уравнения одножидкостной идеальной МГД с уравнением состояния в виде адиабаты, линеаризованные вблизи статического равновесия,

Ро ^ = -Ур + В] х Во + Во] х В, (2)

дг 4п 4п

dp

dt

+ v • Vpo + YPoV • v = 0,

1 v x B0 = Уф +1—.

c c dt

(3)

(4)

Уравнение (2) есть уравнение движения, (3) — уравнение адиабаты с показателем у, (4) — закон Ома; индексом "0" отмечены равновесные (стационарные) величины, зависящие от времени возмущенные величины не имеют индексов. Все обозначения стандартные.

Чтобы исключить из рассмотрения магнито-звуковые колебания с преимущественным возмущением "продольной" (вдоль В0) компоненты магнитного поля, представим возмущение магнитного поля в виде

B = VxU,

B(

(5)

где А — компонента векторного потенциала вдоль равновесного магнитного поля В0. Возмущение скорости запишется тогда следующим образом:

v = СB0 хУф + v Bo

B2

Bo

(6)

Далее ограничим рассмотрение плазмой низкого давления в осесимметричном токамаке с большим аспектным отношением. Модуль равновесного магнитного поля представим как

Bo =-Ba-. (7)

0 1 + (r/R)cos 0

Здесь r e [0, a] — текущее значение радиуса, отсчитываемое от магнитной оси, a — малый радиус токамака, 8 — полоидальный угол, Ba — поле на магнитной оси.

Подстановка выражений (5)—(7) в (2)—(4) приводит к следующей системе уравнений:

+ + 0' (8)

dp _ c_d2sL+ dt rBa dr ее

YP01-1 ^ (sin + cose Щ = 0, \qR ее RBa\ dr r del

dA + С дф = 0

dt qR 50 '

(9)

(10)

с ^У^-1 А 2а' qR д6

с А д! 8п

ео86др

(11)

= 0.

ю2У 1ф + —VI ^

2/юВа сроЯ \

81П

Са qRz

,дР.

дг

21 д2Ф q дб

ео8 6 др г д6.

(12)

= 0,

V

2 , ®2 д2 ^ ю + —2

q2 д02

ю ср0Я

Р +

+ 2ю, Ьт

1 йр^ дф гЯр0ю2 йг д0

= 0,

(13)

Р = Р1(г)ехр(/0) + р_1(г)ехр(-/0). Полная система (12), (13) сводится к трем уравнениям

ЯВа\ дг г 56/

При выводе системы (8)—(11) мы пользовались тем, что для рассматриваемых нами осесиммет-ричных ГАМ qRV|| = 5/50, и обозначили через

сА = БаД/4пр0 альфвеновскую скорость на оси системы; здесь и далее р0 считаем постоянной.

Рассмотрим возмущения, пропорциональные ехр(-/'ю!). Исключая продольную скорость и продольный векторный потенциал с помощью (8), (10), приходим к системе из двух дифференциальных уравнений на ф и р

й

йг

£фр йг

- Р

= 0,

,2 2, 2ч„ , 2 (а2 йФ2 ~йф0 I п

(ю - ю, /q )Р + ю, | ——2 - 2 | = 0, " йг йг

2 £ йг

ю

1 йф2 + ± Р

г V г йг

а

4сА й

дЯ2 йг

1 й

г3 йг

ф 2

д

(14)

(15) = 0,(16)

где мы произвели следующую замену переменных: Ф2 = (г/а)2(ф2 + ф-2) и Р = Ва(Р1 - Р_1)/ЯСР0®.

Интегрируя уравнение (14) и исключая Р из (15), (16), приходим к системе двух уравнений, содержащих только гармоники потенциала,

йфр + ТйФ2 ,2 йг

(Ю2 -юЦео)^0 +

йгг

= 0,

(17)

сг —-

гг

,2 й Ш1 йФ2 + йФс)) -4й[1йI! 1 = 0. (18)

дг г д0!

где ю, = с,/Я, с, = -у/уРо/Р0 (заметим, что с, зависит от радиуса). Система уравнений (12), (13) описывает зацепление косых альфвеновских возмущений с продольными звуковыми волнами, обусловленное кривизной силовых линий магнитного поля.

Решение системы (12), (13) удобно искать в виде суммы полоидальных фурье-гармоник. Для начала, исходя из традиционного определения ГАМ как чисто электростатических колебаний, ограничимся нулевой гармоникой потенциала ф = ф0(г). Система (12), (13) в этом случае сводится к дифференциальному уравнению второго порядка

й [гю2(ю2 -ю^ео(г)) йф01 = 0 йг {(ш2 -ш^2(г)) йг \ '

единственным нетривиальным решением которого является сплошной спектр локальных мод с ю = юЕео(г), подчиняющихся закону дисперсии (1). Решения с ю Ф ювео расходятся при г ^ 0.

Для устранения резонанса на локальной частоте ГАМ будем допускать в представлении потенциала существование вторых полоидальных гармоник ф = ф 0 (г) + ф 2 (г) ехр (2/0) + ф -2 (г) ехр

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»