ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 4, 2012
УДК 539.374
© 2012 г. А. Б. Киселев
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБ АДИАБАТИЧЕСКОМ СЖАТИИ ТОЛСТОСТЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ НЕСЖИМАЕМОГО ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
Получены точные решения одномерных нестационарных задач об адиабатическом сжатии толстостенных сферических и цилиндрических оболочек из несжимаемого вязкопластического материала в предположении, что в начальный момент времени распределения радиальных скоростей удовлетворяют условиям несжимаемости материала оболочек. Из этих решений легко получаются решения и для случаев расширения оболочек.
Известно не так много точных решений задач динамической термоупруговязкопластично-сти, ввиду их особой сложности (см. [1—5] и приведенную там библиографию).
1. Сжатие сферической оболочки. В одномерном приближении (все параметры зависят от радиальной лагранжевой координаты Я и времени г) рассмотрим процесс адиабатического сжатия сферической оболочки, внутренний и внешний радиусы которой меняются с течением времени по закону г0 = г (Я0, г) и г = г (Яь г) соответственно, где Я0 и Я{ — ее внутренний и внешний радиусы при г = 0 (фигура).
Сделаем следующие упрощающие предположения:
1) поведение материала оболочки описывается уравнениями упруговязкопластиче-ской модели типа Пэжины [6]:
-^о) ,— 2 )
Здесь ёу и Яу — девиаторы скоростей деформаций и напряжений, У0 — предел текучести при простом растяжении, П (х) — единичная функция Хевисайда, ^ и п — модуль сдвига и динамическая вязкость материала;
2) упругими деформациями пренебрегается: е ёу = 0, £ у = £ р (£ у, £ р и £ у = £ёу + £ р — скорости упругих, пластических и полных деформаций соответственно); пластическое течение несжимаемо: £ кк = 0.
В силу сделанных предположений уравнения (1.1) сводятся к одному уравнению
°я-ое = 7о + 2п(£д-Б0) (1.2)
где и — радиальная скорость; £Я = ди/дЯ и £0 = и/Я — радиальная и кольцевая скорости деформации; аЯ и с0 — радиальное и кольцевое напряжения.
Условие несжимаемости материала £Я + 2£0 = 0 дает уравнение для распределения скоростей в оболочке
ди / дЯ + 2 и / Я = 0 (1.3)
Его решение имеет вид
и = С(г)/Я2 (1.4)
причем С(г) < 0, поскольку происходит сжатие оболочки и и < 0.
Используя соотношения (1.2)—(1.4) и учитывая, что ввиду несжимаемости материала давление р = -Х(е я + 2е 0) = 0, получим
о я =- 2о 0 = 2 ^ - 4п ^ (1.5)
3 Я
Уравнение движения имеет вид
Р0 и = + (1.6)
Р0 дЯ Я у ;
где р0 — начальная плотность материала оболочки, точкой над символом здесь и далее обозначена материальная производная по времени.
Уравнение для плотности внутренней энергии сферической оболочки С при учете соотношений (1.3) и (1.5) примет вид
р 0и" = -2 У0и/ Я + 12п(и/ Я)2 (1.7)
Для скорости изменения полной внутренней энергии в момент времени ? при учете решения (1.4) получим
Я
1 Л ( 1 1 л
^ = [4лЯ2р0ШЯ = -8л70С(01пЯ- 16лпС2(г) -1
Я0 Я 1д3 Я3
(1.8)
Подстановка выражений (1.2), (1.4) в уравнение движения (1.6) приводит к простейшему дифференциальному уравнению относительно функции C(t)
C(t) = 2YplR
2
Учитывая, что в начальный момент времени C(0) = V0R0, где Vo — начальная скорость внутренней поверхности оболочки, получим
C(t) =2YoP-1Rot + VoRo2 (1.9)
Пределы изменения функции C(t) и времени процесса схлопывания оболочки до ее остановки таковы:
VoRo2 < C(t) < 0, 0 < t < tS =-poVoRo/(2Yo) (1.10)
Здесь tss — продолжительность процесса схлопывания.
Подставив выражение (1.9) в равенство (1.8) и проинтегрировав по времени, получим значение полной внутренней энергии сферической оболочки в момент полной остановки ее движения, а также среднее значение приращения температуры в оболочке:
U £ = 2npoVo2R3ln R + 8 пп^^
3 п2 / п3
Ro 3 Yo
Ro 1 I л т5 _ 3 U2
- ii, дг = 3—^^ (1.11)
IRi3 ) 4npo(Ri3 - Ro)c
Здесь c — теплоемкость материала оболочки.
Начальная кинетическая энергия оболочки
Ri хч
Ko5 = 2 J 4nR2poV2dR = 2npoVo2R3 I i - RM (1.12)
Ro ^ 1
при фиксированном внешнем радиусе R1 достигает максимального значения
Ko5 max = nPoVR /2 при Ro /Ri = 3/4 (1.13)
Отсчитывая деформации от начального состояния t = o, найдем деформации на внутренней и внешней поверхностях оболочки и их радиусы в момент остановки движения t = tS:
r3
е RI R=Ro = -2e в1 R=Ro = K> e rI R =Ri = —2e9IR =Ri = K~
, ^ Ri .2 (1.14)
r(Ro, t5) = Ro |i -K), r (Ri, t5) = Ri
i -K Ro
V 2 R3/
K _ PoVo
IV — •
2Yo
Отношение работы вязких деформаций к работе пластических деформаций равно отношению второго слагаемого в правой части первой формулы (1.11) к первому слагаемому.
2. Сжатие цилиндрической оболочки. В случае цилиндрической оболочки при сделанных выше предположениях и в силу условия, что перемещения точек оболочки вдоль оси z отсутствуют, т.е. скорость деформации е г = 0, уравнения (1.1) приводим к виду
ая = 7о + 2^е < = "^7о + 2П£ е (2.1)
Учитывая условие несжимаемости среды ея + е0 = 0, далее аналогично случаю сферической оболочки вместо соотношений (1.3)—(1.14) получим
ди / дЯ + и /Я = 0 и = В(г)/я, В(0 < 0
1 у о Ш
ъ я = 0 У0 -
дая ^ а я - а е
рои = +
Я
р0ис = -(2л/з)Г0дг)Я ~2 + 4пВ 2(г)Я
Я1
Оот ГМ » —__
>/3 ^ Я0
и| = 12пяр0тя = - 4 п У0В(г) 1п Я - 4ппВ 2(г)
Я0
о2 о2
V Я1 Я0
/
В(0 = (2^л/3)У0Р01? + К0 Я0
К0Я0 < В(0 < 0, 0 < t < = —/ЗР0К0Я0 /(2У0)
ТТС _-Г3 „ 2Я 21п Я1 + 2л/3 _„р0^03я0
и 2 _ — пр 0^0 Я0 Ш — + —---
3 Я0 3 У0
Г Я 2
Я0 _ 1
V Я12 _
АГС _■
и
пр0(Я1 _ Я0)с
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8) (2.9)
(2.10)
К 0 = 1 12кЯр0У 2йЯ = ЛР0К02 Я0 1пЯ
2 Я0 Я°
К
0 тах
= лр0К02Я02/2 при Я0/Я1 = 1/л/ё « 0.6065
е я i я=я0 - -е е1я =я0 - к> е я 1я=я1 - -е е1 я=я1 - к я^
Я1
г(Я0,- Я0(1 -к), г(Яь^) - Я1
2 Л
1 -к
Я0
Я12
к -
£ ^ 4 У0
(2.11) (2.12)
(2.13)
3. Заключение. Легко заметить, что полученные решения одномерных задач о схло-пывании толстостенных сферических и цилиндрических оболочек из несжимаемого вязкопластического материала могут быть использованы и для случая расширения оболочек, когда К0 > 0. Для этого достаточно во всех формулах, начиная с (1.2), заменить У0 на (—У0). Эти решения могут использоваться для расчета параметров напряженно-деформированного состояния конструкций, их разогрева, оценки вклада вязкости в диссипацию энергии и момента начала разрушения (естественно, надо выбрать критерий разрушения). Они могут также применяться для тестирования программ расчета и оценки эффективности численных методов, аналогично тому, как это было сделано ранее [7] при использовании точного решения Верни [1].
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (09-01-00144а, 12-01-00425а).
ЛИТЕРАТУРА
1. Verney D. Evaluation de la limite elastique du cuivre et de l'uranium par des experiences d'implosion "lente" // Behavior of Dense Media under High Dynamic Pressures. Simposium H.D.P. Paris, 1968. Gordon and Breach: New York, 1968. P. 293.
2. Григорьев В.Г., Дунин С.З., Сурков В.В. Захлопывание сферической поры в вязкопластиче-ском материале // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 1. С. 199-201.
3. Голубев В.К. О расширении пор в пластичных металлах при отколе // ПМТФ. 1983. № 6. С. 159-165.
4. Галиев Ш.У. Нелинейные волны в ограниченных сплошных средах. Киев: Наук. думка, 1988. 263 с.
5. Кобылкин И.Ф., Селиванов В.В., Соловьев В.С., Сысоев Н.Н. Ударные и детонационные волны. Методы исследований. М.: Физматлит, 2004. 375 с.
6. Perzyna P. Fundamental Problems in Viscoplasticity. N.Y.: Acad. Press, 1966 = Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. М.: Мир, 1968. 176 с.
7. Howell B.P., Bally G.J. A Free-Lagrange augmented Godunov method for the simulation of elastic-plastic solids // J. Comput. Phys. 2002. V 175. P. 128-167.
Москва
e-mail: akis2006@yandex.ru
Поступила в редакцию 11.X.2011
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.