ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 4, с. 3-12
ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 681.5
АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА*
© 2015 г. А. З. Асанов, Д. Н. Демьянов
Казань, Казанский (Приволжский) федеральный ун-т Поступила в редакцию 20.10.14 г., после доработки 13.02.15 г.
Рассмотрена задача одновременного оценивания нескольких линейных комбинаций переменных состояния динамической системы со многими входами и многими выходами. Предложен метод разделения вектора состояния на несколько компонент, причем для восстановления искомой вектор-функции требуются сведения только о некоторых из них. Сформулирован алгоритм аналитического синтеза, позволяющий получить функциональный наблюдатель минимально возможной размерности. При этом процедура вычисления коэффициентов наблюдателя в конечном итоге сводится к решению задачи модального управления. Представленный метод основывается на применении технологии канонизации матриц.
Б01: 10.7868/80002338815040046
Введение. Задача эффективного управления сложной технической системой тесно связана с проблемой оценивания параметров протекающих в ней процессов. На практике для этого достаточно широко используются наблюдатели (полного порядка и редуцированные), позволяющие восстанавливать вектор состояния по известным данным о входных и выходных сигналах [1].
Применение наблюдающих устройств становится особенно актуальным в системах управления мобильными системами/комплексами, функционирующими автономно или дистанционно управляемыми. Такие объекты, как правило, длительное время функционируют в условиях частично неопределенной внешней среды, при наличии целого ряда существенных возмущений. Поэтому важная практическая задача — постоянное оценивание переменных состояния мобильного объекта, диагностирование работоспособности и качества функционирования как основных узлов, так и системы в целом. Другим аспектом применения наблюдающих устройств может явиться возможность определенного частичного дублирования важных компонентов измерительных подсистем (например, датчиков/измерителей), что способно повысить надежность измерительной подсистемы в частности и мобильного объекта в целом. Особенностью мобильных систем/комплексов является то, что на аппаратную часть информационно-управляющей системы накладываются жесткие ограничения, приводящие к необходимости как можно более эффективно использовать имеющиеся вычислительные ресурсы. В этих условиях весьма актуальной задачей становится проектирование наблюдающих устройств, оценивающих переменные состояния или их линейные комбинации, обладающих минимально возможной размерностью.
Вопросы аналитического синтеза функциональных наблюдателей рассматривались ранее в работах как зарубежных, так и российских исследователей [2—4]. Однако, практическое использование указанных методов весьма затруднительно из-за их слабой формализации. Так, например, применение метода псевдовходов предполагает отыскание гурвицева полинома, удовлетворяющего некоторым условиям, что является в реальных условиях весьма трудоемкой плохо обусловленной задачей.
Применение математического аппарата технологии канонизации матриц и вложения систем [5] открывает новые возможности решения задач синтеза регуляторов и наблюдателей многосвязными динамическими системами [6, 7]. Этот подход позволяет с единых позиций решать широкий круг задач анализа и синтеза систем управления [8, 9], получая все возможное множество решений.
В данной работе рассматривается задача аналитического синтеза функциональных наблюдателей минимальной размерности. Предлагается алгоритм их проектирования, позволяющий с
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-08-00651) и средств субсидий, выделенной Казанскому федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности.
помощью невырожденных преобразований переменных состояния свести исходную проблему к задаче модального управления, решение которой может быть найдено с помощью известных и хорошо отработанных методов.
1. Постановка задачи. Пусть рассматривается динамический объект, описываемый уравнениями в пространстве состояний
х = Ах + Ви; у = Сх. (1.1)
Здесь х е Я", и е у е Ят — векторы состояния, управления, выхода и внешних возмущений, А, В, С — числовые матрицы соответствующих размеров. Предполагается, что все матрицы коэффициентов известны, вектор состояния не доступен непосредственному измерению, вектор управления и вектор выхода могут быть измерены с высокой точностью, пара (А, С) является полностью наблюдаемой по Калману, все строки матрицы выхода линейно-независимы, причем т < ".
Предположим, что интересующая нас информация о процессах, протекающих в изучаемом объекте, содержится в векторе g, определяемом соотношением
^ = Кх. (1.2)
Здесь g е Яр, К — числовая матрица соответствующих размеров.
Требуется: синтезировать динамическую систему, которая формировала бы по известной информации о сигналах у и и вектор g такой, что:
б (г) = § (?) - g (?) ^ 0 при г ^да. (1.3)
2. Предварительные соотношения. Для решения поставленной задачи будем использовать технологию канонизации матриц [5], суть которой заключается в том, что некоторой матрице М
~ ь — ь — Я
размера т х " ставится в соответствие четверка матриц М , М , М , М , удовлетворяющих ра-
венству:
М \_МЯ МЯ ] =
М ь
Мь
I о
о о
Здесь М , М — левый и правый матричные делители единицы, М , М — левый и правый матричные делители нуля. Сводный канонизатор матрицы М обозначается символом М и определяется формулой М = ММ .
Определим вектор состояния динамического объекта из второго уравнения системы (1.1), используя методы решения линейных матричных уравнений произвольного вида [5]:
х = Су + СЯ1. (2.1)
Здесь г — некоторый неизвестный вектор длиной п — т.
Выражение (2.1) будет справедливо всегда, так как, согласно принятым допущениям, матрица выхода имеет полный строчный ранг, т. е. Сь = 0.
Подставив выражение (2.1) в формулу (1.2), получим
g = КСу + КСЯг. (2.2)
Если КСЯ = 0, то поставленную задачу можно считать решенной. Из уравнения (2.2) будет следовать, что g = КСу и значение искомого функционала можно в любой момент времени точно определить по известному выходу.
Однако в реальности описанная выше ситуация встречается достаточно редко. Как правило, КСЯ ф 0. В таком случае представим вектор г в следующем виде:
г = Т (2.3)
Здесь Т = (Т] Т2) — некоторая квадратная обратимая матрица, ц, п — вектора длиной к и п — т — к соответственно. Подставив выражение (2.3) в формулу (2.2), получим
g = КСу + КСк7\1 + КСкТ2ц. (2.4)
Общая идея излагаемого в дальнейшем подхода заключается в том, чтобы обнулить последнее слагаемое в правой части уравнения (2.4) и построить асимптотический наблюдатель для оценки вектора ц, использовав его для расчета g.
Выберем матрицу Т2, такую, что КСкТ2 = 0. Очевидно, что при этом Т2 = КСк п, где п — произвольная матрица соответствующей размерности. Так как по определению матрица Т2 является блоком квадратной обратимой матрицы, то все ее столбцы должны быть линейно-независимыми. Следовательно, ранг матрицы п должен быть равен числу ее столбцов.
Определим матрицу Т1 из условия обратимости матрицы Т:
7 = 7
КСк п
(2.5)
Доказательство обратимости матрицы Т, полученной таким образом, проведем от обратного.
—ь т
Пусть матрица Т = ((Т2 ) Т2) является вырожденной. Следовательно, существует такой ненулевой вектор X, что
М(Т2 V т2) = о. (2.6)
Уравнение (2.6) эквивалентно следующей системе:
|мТ2 V = о; Т2 = о.
Из второго уравнения системы (2.7) справедливо
(2.7)
^ = Т \ (2.8)
где у — некоторый вектор.
Подставив выражение (2.8) в первое уравнение системы (2.7), получим
уТ2£ (ТТ )т = 0. (2.9)
—I —I т
Матрица Т2 (Т2 ) — квадратная, а ее определитель, согласно [6], будет равен нулю только в
том случае, если в матрице Т21 будут существовать линейно-зависимые строки. Но это противо-
—ь-Ь т
речит свойствам левого делителя нуля [5]. Следовательно, матрица Т2 (Т2 ) — квадратная и обратимая, а выражение (2.9) будет справедливо только лишь при условии у = 0. А из этого с учетом (2.8) следует равенство нулю вектора X.
Таким образом, соотношение (2.6) будет выполняться, только если X = 0. Значит, сделанное нами предположение оказалось неверным и матрица Т является невырожденной.
Следует отметить, что при вычислении матрицы Т2 может иметь место ситуация, когда
КС = 0. В этом случае разделение вектора г на 2 компоненты по формуле (2.3) невозможно и применение предлагаемого подхода нецелесообразно. Подобная ситуация может возникать, если все столбцы матрицы КСх линейно-независимы. Что, в свою очередь, возможно при условии,
что число строк матрицы К не меньше числа столбцов матрицы Ск, т.е., используя принятые обозначения р > п - т.
Интерпретировать полученный результат можно следующим образом: если порядок восстанавливаемого линейного функционала меньше или равен п - т, то для его оценки следует восстановить все переменные состояния. При этом следует использовать наблюдатель полного порядка либо наблюдатель Люенбергера порядка п - т.
Используя полученные соотношения для элементов матрицы Т, а также формулы (2.1), (2.3), (2.4), получим выражения для векторов х и g:
-ь\
х = Су + С1
КС1 п
ц + С1 КС1 пц,
(2.10)
-¿Л
g = КСу + КС1
КС1 п
(2.11)
Перепишем выражение (2.10) в матричном виде:
(-
-ь\ т
С Ск
КС1 п
V у ^
СкКСк п
V
И
vv
Обозначим
( (-
и =
-¿л
С С1
КС1 п
СкКСк п
= ( и2 из); V = и- = (( V? Г3Т))
(.12)
(2.13)
Таким образом, получены матрицы преобразования, связывающие вектор состояния динамического объекта с его выходным вектором и двумя неизвестными векторами. При этом только один из упомянутых неизвестных векторов нужен для определения искомого вектора g.
3. Синтез наблюдающего устройства. Запишем уравнение динамики объекта (1.1) в новых координатах, определяемых соотношением (2.12):
(
(-
-ь\
С С1
КС1 п
С1КС1 п
( у ^ Г Г 1 ьл
А = л С С1 КС1 п
у V V У
V у л
С1 КС1 п
И
+ Ви.
Преобразуем полученную систему
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.