ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 3, с. 318-322
УДК 66.011.001:681.51
АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ХИМИЧЕСКИМ РЕАКТОРОМ © 2014 г. А. Н. Лабутин, В. Ю. Невиницын
Ивановский государственный химико-технологический университет nevinitsyn@gmail.com Поступила в редакцию 28.09.2013 г.
Решена задача аналитического синтеза синергетической системы управления химическим реактором для реализации сложной последовательно-параллельной экзотермической реакции. Синтез законов управления осуществляется с использованием метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов. Синтезированная нелинейная система управления решает задачу стабилизации концентрации целевого компонента на выходе реактора, а также позволяет автоматически переходить на новую производительность работы аппарата.
Ключевые слова: аналитический синтез, система управления, химический реактор, синергетическая теория управления, компьютерное моделирование.
БО1: 10.7868/80040357114030105
ВВЕДЕНИЕ
Основополагающей концепцией разработки современных производственных процессов является концепция создания кибернетически организованных химико-технологических процессов и систем, обоснованная академиком В.В. Кафа-ровым [1].
Согласно этой концепции, на стадии проектирования химического производства, связанного с превращением исходных веществ в конечные продукты, решается задача оптимального синтеза реакторного узла и задача синтеза алгоритмов управления процессом, а на стадии эксплуатации подзадача организации оптимального функционирования объекта в условиях действия параметрических и сигнальных возмущений [1—5].
Несмотря на значительное количество работ, связанных с автоматизацией и управлением химическими реакторами [6—9], проблема синтеза систем управления, обеспечивающих поддержание оптимальных режимов их работы, остается до конца не решенной. Это объясняется основной особенностью химических реакторов как объектов управления: многомерностью, нелинейностью и многосвязностью.
Выходом из данной ситуации является развитие физической теории управления и, в частности, синергетической теории управления, основные положения которой сформулированы в работах [10-12].
Использование идей синергетики в задачах управления предполагает разработку и реализа-
цию способа направленной целевой самоорганизации диссипативных нелинейных систем "объект-регулятор". При этом цель движения системы формулируется в виде желаемого инвариантного многообразия в фазовом пространстве объекта, выполняющего роль целевого аттрактора [12].
В общем виде задача синергетического синтеза системы управления формулируется следующим образом: необходимо найти закон управления и =
= (иь..., ит)т как функцию переменных состояния объекта и1(х1,...,хп), ..., ит(х1,...,хп), который переводит изображающую точку (ИТ) системы в фазовом пространстве из произвольного начального состояния в окрестность задаваемых инвариантных многообразий у£(хь...,хп) = 0, £ = 1,...,т и дальнейшее движение вдоль пересечения многообразий в некоторую стационарную точку или в некоторый динамический режим. В приведенных выражениях п — размерность вектора состояния, т — число внешних управлений. На траектории движения должен достигаться минимум критерия оптимальности системы (!) и гарантироваться ее устойчивость:
/ =
I
£ + V £)
.£=1
ёх.
(1)
Движение ИТ в фазовом пространстве подчиняется функциональному уравнению
ТэУ£ £ = 0, £ = 1,...,т,
(2)
0
где Т8 — постоянная времени. Это уравнение устойчивой экстремали, доставляющей минимум оптимизирующему функционалу (1). Условие асимптотической устойчивости системы в целом имеет вид Т3 > 0.
Эффективность метода аналитического синтеза алгоритмов управления нелинейными объектами с использованием принципов синергетики (метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР)) показана в ряде работ [13—16].
В настоящей работе ставится задача синтеза эффективных алгоритмов управления химическим реактором при реализации сложной последовательно-параллельной реакции. Синтезируемая система управления должна обеспечивать стабилизацию концентрации целевого компонента химической реакции на выходе аппарата в условиях действия на объект возмущений, а также перевод объекта с одного режима работы на другой (переключение), а именно изменение его производительности с сохранением требуемого качества целевого компонента.
ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
Химический реактор представляет собой аппарат емкостного типа, снабженный механической мешалкой (рис. 1). Аппарат функционирует в изотермическом режиме. В реакторе реализуется многостадийная последовательно-параллельная реакция:
">Р2,
А + В —Р1, А + Р1 -
А + Р2 ——— Р3,
где А и В — исходные реагенты, Р1, Р2, Р3 — продукты реакции, к1, к2, к3 — константы скоростей стадий. Целевым компонентом является вещество Р2. Исходные реагенты А и В подаются в аппарат раздельными потоками.
На рис. 1 введены следующие обозначения:
вх вх
х, , х2 — концентрации исходных реагентов; иь и2 — расход исходных реагентов; и — расход реакционной смеси на выходе из аппарата; хъ х2, х3, х4 — концентрации компонентов А, В, Р1, Р2 в реакторе; V = х5 — объем реакционной смеси в аппарате.
-@-Е&-
Х1 Х2 Х3 Х4
Рис. 1. Принципиальная схема химического реактора.
Математическая модель химического реактора при постоянной температуре реакционной смеси и переменном уровне (объеме) имеет вид
^ = Я, + — ёх х5
вх 1 вх
их и х, ах 2 п и2 х2 ----— Я2 +--
х5
их3
ёх3 _ Я
— - Я3 - —
ат х5
ёт ах
х5
их4
и х2
х5 '
Н - Я4 -ат х5
(3)
ах5
—5 - и, + и2 - и, ёт 1 2
где Я1 = -к1х1х2 - к2х,х3 - к3х,х4, Я2 = -к,х,х2, Я3 = = к1х1х2 - к2х,х3, Я4 = к2х,х3 - к3х,х4 — скорость реакции по компонентам.
Задача управления химическим реактором формулируется следующим образом: необходимо синтезировать закон управления, обеспечивающий перевод аппарата с одной производительности О = х4и на новую производительность О = х4и и стабилизацию концентрации целевого компонента на заданном уровне х4 в условиях действия возмущений. Изменение выходного потока во времени со значения и на значение и может происходить по какому-либо закону, в том числе и ступенчато.
Переход на новую производительность О с обеспечением заданной концентрации х4 возможен путем подбора определенного значения среднего времени пребывания реакционной смеси в аппарате — Т. При заданных О, х4, и необходимое среднее время пребывания можно обеспечить путем изменения объема смеси в аппарате.
В качестве управляющего воздействия для регулирования объема предлагается использовать поток исходного реагента и2 на входе в аппарат. Кроме того, необходимо также выбрать управление для стабилизации концентрации х4 на заданном уровне в условиях действия возмущений. Анализ
и
структуры уравнений математической модели реактора (3) показывает, что в качестве внутренних управлений для х4 могут выступать переменные х1 и х3, причем непосредственно оказывать внешнее воздействие возможно только на величину х1 посредством изменения расхода исходного реагента и1 на входе в реактор. Таким образом, каналы управления концентрацией целевого компонента и объемом смеси в аппарате запишутся: и1 ^ х1 ^ х4, и2 ^ х5, где и1 = и1, и2 = и2.
СИНТЕЗ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ АКАР
Поскольку математическая модель объекта (3) содержит два внешних управляющих воздействия и1 = и1 и и2 = и2 используем метод АКАР на основе параллельно-последовательной совокупности инвариантных многообразий [12]. Процедура синтеза закона управления состоит в следующем. На первом шаге вводятся в рассмотрение инвариантные многообразия
у £ (х1,..., х5) = 0, £ = 1,2,
определяющие заданные соотношения между фазовыми координатами объекта, которые отражают специфику управляемого объекта и требования проектировщика к системе. Закон управления и = (и1, и2)т синтезируется таким образом, чтобы осуществлялся перевод изображающей точки системы в фазовом пространстве из произвольного начального положения на пересечение многообразий у12 (х1,...,х5) = 0.
Введем в рассмотрение две агрегированные макропеременные, первая из которых определяет взаимосвязь х1 и регулируемой переменной х4, а вторая отражает технологическое требование к значению объема реакционной смеси:
= х1 +Vl(X4), V2 = х5 - х5,
(4)
где v1(x4) — некоторая функция, подлежащая определению в ходе дальнейшей процедуры синтеза. Макропеременные (4) должны удовлетворять решению основного функционального уравнения метода АКАР (2).
Для синтеза закона управления и = (и1, и2)т подставим макропеременные и (4) в функциональное уравнение (2). В результате получим следующие выражения:
т
ёх1 + дv1 ёх4 ёт дх4 ёт
+ х1 + v1 = 0, Т2 °х5 + х5 - х5 = 0. ёт
В силу уравнений объекта (3) эти выражения примут вид
Т1
Я +
их1 +дЧ1 | Я их4 | х5 х5 дх4 у х5 ^
щх1
+ х1 + v1 = 0,
(5)
Т2 (и1 + и2 - и) + х5 - х5 = 0,
где и — новое заданное значение расхода на выходе реактора, определяющее требуемую производительность.
Из (5) получаем выражения для закона управления:
и1 = -
(х1 + У^
Тх вх
Т1х1
Я1х5 + их1
ду1 (Я4х5 - х4и) " 5х4 х Г ,
(х5 - х5) _ и2 = -—-— + и - и1.
2 Т2 1
(6)
Управления и1 и и2 переводят ИТ системы в фазовом пространстве на пересечение многообразий = 0 и = 0, на котором реализуются связи
х1 = -V!, х5 = х5 и наблюдается эффект "сжатия фазового пространства", т.е. снижение размерности системы уравнений (3). Уравнения декомпозированной системы с учетом соотношений х1 = —у1 и и = и примут вид
йх2 ёх3 х5 '
их4
х5
ёх2 „ —2 = Я2 + ёт 2
и2 х2
Н = К3 -ат
их3
х5 '
(7)
х5
Ох^
ёт х5
Я3 = -к1у1х2 + к2у1х3, Я4 = —к2у1х3 +
Я -
где Я2 = к1\1х 2, + к3у1х4.
Функцию v1(x4) в декомпозированной системе (7) можно рассматривать как "внутреннее" управление, под воздействием которого происходит движение объекта (7) вдоль пересечения многообразий у12 = 0. На втором шаге процедуры осуществляется поиск выражения для v1(x4). Для этого вводится в рассмотрение цель движения системы (7) в форме инвариантного многообразия, отражающего технологическое требование к сист
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.