ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 8, с. 683-693
ТОКАМАКИ. СТЕЛЛАРАТОРЫ
УДК 533.9.01
АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ СИЛЬНО АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКАХ И СТЕЛЛАРАТОРАХ © 2013 г. Н. Д. Лепихин, В. Д. Пустовитов
Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия Московский физико-технический институт (государственный университет), Россия
е-таП:ры$(оуи@пА.к1ае.гы Поступила в редакцию 20.09. 2012 г. Окончательный вариант получен 28.12.2012 г.
Проведен теоретический анализ равновесия анизотропной плазмы в токамаках и стеллараторах. Предполагается, что анизотропия может быть сильной, что также включает рассмотрение сильно неоднородных распределений давления плазмы по магнитным поверхностям. Такие распределения могут возникать при инжекции пучков нейтральных атомов или ионно-циклотронном нагреве. В этом случае известные обобщения стандартной теории равновесия плазмы, в которых продольное и поперечное давления плазмы р | | и рх считаются почти постоянными на магнитных поверхностях, уже не применимы. Сформулированы предложения по явному аналитическому заданию профилей Рц и рх, позволяющему моделировать равновесие анизотропной плазмы даже с большими отношениями рц/рх или рх/рц. Предложен метод вывода уравнения для смещения Шафранова, не требующий введения потоковых координат и расчета метрического тензора. Показано, что для рх с неоднородностью, описываемой лишь одной полоидальной гармоникой, уравнение для смещения Шафранова совпадает с известным, полученным ранее для почти постоянного рх на магнитной поверхности. В более сложном случае такого совпадения уже нет.
бо1: 10.7868/80367292113080052
1. ВВЕДЕНИЕ
С развитием мощных источников нагрева, необходимых для достижения термоядерных температур или, в близкой перспективе, планируемых параметров плазмы в токамаке ИТЭР, формирование плазменного шнура происходит по сценариям, отличным от изученных в токамаках прежнего поколения. В частности, при интенсивном вложении энергии в заряженные частицы, движущиеся в каком-то преимущественном направлении, рост энергосодержания происходит быстрее, чем изотропизация давления из-за столкновений частиц.
Сильные эффекты анизотропии наблюдались ранее [1—3] и в некоторых современных экспериментах [4—8], что делает проблему актуальной уже сегодня. При тангенциальной инжекции пучков быстрых нейтралов (NBI) можно ожидать анизотропное давление с доминирующей компонентой Рц вдоль магнитного поля, как в некоторых разрядах на стеллараторах Compact Helical System (CHS) и Large Helical Device (LHD). В стелларато-ре CHS величинаp\/px достигала 3 при тангенциальном NBI в 1.1 МВт и энергии частиц пучка 40 кэВ [3]. Позже подобный уровень анизотропии с Р| | > pL наблюдался в разрядах с малой плотно-
стью плазмы с сильной тангенциальной NBI в LHD [5-7].
Плазма с > Р| | также представляет практический интерес. Например, анализ диагностических данных и равновесия плазмы в токамаках JET и Tore Supra обнаружил большую разницу в продольном и поперечном давлениях при мощном дополнительном нагреве [4]: pVp до 3 в разряде 40847 JET вскоре после включения полной мощности нагрева (18 МВт NBI, 6 МВт в излучении на частоте ионного циклотронного резонанса, ICRH или ICRF) и pjpц примерно до 2 в разряде 23418 Tore Supra с мощностью нагрева 7 МВт в ICRF. Недавно высокий уровень анизотропии с Pi/P\\ ~ 1.7 был зафиксирован в сферическом токамаке MAST с NBI нагревом [8].
В токамаке ИТЭР для нагрева плазмы будет использоваться инжекция пучков быстрых нейтралов, излучение на частоте ионного циклотронного резонанса (ICRH или ICRF), электронного циклотронного резонанса (ECRH) и нижнегибридные волны (LH), каждый метод на уровне от 20 МВт до 50 МВт с суммарной мощностью до 130 МВт [9]. Известно, что в фазовом пространстве распределение быстрых ионов, созданных при таком NBI и ICRH нагреве плазы, должно быть сильно анизотропным [10]. Поэтому расши-
рение обычной теории равновесия плазмы остро необходимо для самосогласованного анализа эффектов, связанных с быстрыми частицами в плазме токамака ИТЭР.
Теория равновесия плазмы в тороидальных системах с магнитным удержанием хорошо развита, см. обзоры [11—15], но она, главным образом, описывает поведение изотропной плазмы. Принято считать, что при р Ф р± ее предсказания сохраняют силу, если в выражениях для смещения Шафранова и тока Пфирша-Шлютера сделать замену р —- 0.5(рц + р±) [3, 5, 7, 12, 16]. В то же время анализ показывает [17], что в некоторых случаях такая модификация недостаточна. Конкретно, речь идет о тех случаях, когда распределение pL неоднородно на магнитных поверхностях.
В изотропной плазме с рц = р± обе эти функции на каждой магнитной поверхности постоянны. В прежних работах при обобщении стандартной теории равновесия плазмы на случай анизотропной плазмы учитывалось лишь минимально необходимое нарушение этого свойства, связанное с тороидальностью системы (см., например, уравнение (4.93) в [12], а также [16, 18]). Такой подход годится лишь при нагреве, однородном по магнитной поверхности. В экспериментах же энерговклад оказывается сильно неоднородным.
Целью данной работы является аналитическое рассмотрение равновесия плазмы с анизотропным давлением с сильной полоидальной вариацией р± на магнитных поверхностях, которая может возникнуть при наличии мощной инжекции пучков нейтральных атомов или интенсивного ионно-циклотронного нагрева. Подобная попытка предпринималась лишь в единственной работе [19]. Метод [19] не получил развития, а результаты не были подтверждены (или опровергнуты) в других работах. Одна из причин, видимо, в том, что постановка задачи [19] и применяемый метод не позволяют сформулировать алгоритм расчета, который мог бы быть рекомендован к использованию в развитых современных кодах.
Численный анализ равновесия анизотропной плазмы с распределением р±, существенно неоднородным на магнитных поверхностях, проводился в [20, 21] для двух стеллараторных систем и в [22] для токамака. Сильная полоидальная зависимость поперечного давления при анизотропии, вызываемой нецентральным нагревом, показана, в частности, на рис. 10 в [22]. Такие конфигурации практически не изучены, а численные результаты [20—22], упоминавшиеся ранее экспериментальные результаты [1—8] и оценки для токамака ИТЭР [10] доказывают необходимость их теоретического анализа.
В [7, 20—23] описание анизотропной плазмы производится с помощью функции распределения/. Хотя такой подход и позволяет продвинуть-
ся в моделировании анизотропной плазмы, задание f — инородный элемент в теории равновесия, которая оперирует с интегральными (по скоростям частиц) характеристиками. В [7, 20—23] эта функция не рассчитывается, а задается "из физических соображений". В этих расчетах использовались лишь два варианта: так называемые распределения bi-Maxwellian [7, 20—23] и slowing down [23]. Выбор f в конкретных ситуациях становится отдельной проблемой, ее простого решения пока не найдено.
Здесь предлагается иной алгоритм, который органично вписывается в существующую теорию равновесия и не требует знания f.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, МОДЕЛЬ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Равновесие анизотропной плазмы должно подчиняться уравнению баланса сил
0 = -V . £ + ] X В, (1)
где В — магнитное поле, ] = V х В — плотность тока, а £ — тензор давления. В общем случае
Р = РI << UU» + Pe << Ueue» ,
(2)
где р — массовая плотность, и — тепловая скорость, индексы I и е обозначают ионы и электроны, а угловые скобки — усреднение в пространстве скоростей по распределению частиц (при максвелловском получим рц = р±). Расчет этого распределения является сложной задачей, требующей точного задания источников, стоков и граничных условий, см. [24]. Если оно известно (например, задано как в [7, 20—23]), то из (2) можно
получить точные значения для всех компонент £. Если нет, то тензор давления можно представить в виде
BB
Р\\~2 + М 1 - ^
B
BB
(3)
с функциями р|| и р±, которые затем нужно будет как-то задать. Это выражение приближенное, но при рц Ф р± оно позволяет моделировать отличие давлений вдоль и поперек магнитного поля. Здесь, по определению, рц и р± — неотрицательные £
функции, а I — единичный тензор.
С тензором давления (3) уравнение (1) сводит-
ся к
где
Vp11 = а |,V(B2/2) + K х B, K = V х (аB),
(4)
а = 1 - а | |
а | | =
PjTh в 2 .
(6)
В токамаках и стеллараторах отношение давления плазмы к магнитному, ß, составляет всего лишь несколько процентов (два—три, максимум 5%), а |aj еще меньше. Соответственно, с хорошей точностью а « 1.
Подобный подход к описанию равновесия плазмы использовался в ряде работ, начиная с [18, 25—27]. Уравнение равновесия (4) или в эквивалентной форме появлялось, например, в [4, 12, 16, 17, 20, 28].
Продольная компонента (4) дает
B • Vp = pB • V1, B 1 B
(7)
div^ = - 4n2p(y) - .
r r
(10)
Близкое сходство этих двух уравнений указывает возможный путь решения (9) с помощью техники, развитой для изотропной плазмы [11—15]. Чтобы ею воспользоваться, для начала нужно явно задать рц(у, В).
Главное отличие (9) от уравнения Грэда-Ша-франова связано именно с этой функцией. При-
сутствие а в левой части (9) практически не влияет на результат, так как в токамаках и стелларато-рах а « 1. При этом учет отличия FK(y) = а F от F принципиально важен, потому что F — большой множитель. Из-за этого диамагнитный сигнал, рассчитанный по (9), зависит не от присутствующего явноР||, а отpL, входящего в (9) через а [17].
Для вывода уравнения для смещения Шафра-нова А мы будем пользоваться следствием уравнения (9), которое из него получается после умножения на аг2, усреднения по объему между двумя близкими магнитными поверхностями и вычитания полученного выражения из исходного уравнения:
4я
L ^div^ J аг2div =
" r \ r !
где B = |B |. ПриР|| = p± = p, что соответствует изотропной плазме, отсюда получилось бы, что p должно быть константой на магнитных поверхностях a = const, которые определяются уравнением B • Va = 0. Если же Рц Ф p±, уравнение (7) показывает, что это свойство теряется. Именно с этим связано принципиальное отлич
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.