научная статья по теме АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ ИНЕРЦИОННОГО ДИФФУЗИОННОГО ТРАНСПОРТА Физика

Текст научной статьи на тему «АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ ИНЕРЦИОННОГО ДИФФУЗИОННОГО ТРАНСПОРТА»

Письма в ЖЭТФ, том 102, вып. 4, с. 275-280

© 2015 г. 25 августа

Аналитическое представление соотношений инерционного

диффузионного транспорта

В. М. Розенбаум+1\ И. В. Шапочкина* + Институт химии поверхности им. Чуйко HAH Украины, 03164 Киев, Украина * Белорусский государственный университет, физический факультет, 220050 Минск, Беларусь

Поступила в редакцию 25 мая 2015 г.

После переработки 8 июля 2015 г.

Предложен обобщенный подход к описанию диффузионного транспорта инерционных частиц, при котором известные безынерционные соотношения (в частности, между концентрацией частиц и соответствующим потоком) дополнены фактором, допускающим расчет инерционных эффектов в терминах матричного метода непрерывных дробей. Преимущество данного подхода, состоящее в аналитическом представлении результатов, иллюстрируется решением задачи нахождения эффективного коэффициента диффузии инерционной частицы в пилообразном потенциале и средней скорости адиабатического инерционного рэтчета. Установлен характер неаналитического поведения этих величин при наличии больших градиентов потенциала.

DOI: 10.7868/S0370274X15160110

Диффузионный транспорт частиц в наклонном периодическом потенциале обычно рассматривается в условиях доминирования трения над инерцией, что делает справедливым описание в терминах уравнения Смолуховского [1], аналитические решения которого в ряде частных случаев известны [2]. Учет инерции в статистическом описании диффузионного транспорта приводит к значительно более сложному уравнению Клейна-Крамерса [3,4]. Его аналитические решения ограничены случаями простейших потенциалов (линейные зависимости силы от координаты) [2]. Поэтому ряд результатов теории скоростей реакций [5-7] и расчет средней скорости движения частицы в наклонном периодическом потенциале [8] получены в приближении высоких (по сравнению с тепловой энергией) потенциальных барьеров, когда окрестности экстремумов плавных потенциалов можно считать параболическими. Кроме того, для получения аналитических результатов в подходе работы [8] преодоление параболических барьеров рассматривалось без учета диссипации, т.е. коэффициент трения считался малым. Решения уравнения Клейна-Крамерса для произвольных потенциалов и коэффициентов трения требуют использования различных численных схем, среди которых особое место занимает матричный метод непрерывных дробей (ММНД) [2,9-12], позволяющий, в частности, связать концентрацию частиц с соответствую-

e-mail: vik-roz@mail.ru; shapoch@mail.ru

щей плотностью потока. Идея данной статьи состоит в том, что подобно тому, как ряд безынерционных задач аналитически решается представлением уравнения Смолуховского в виде уравнения непрерывности, дополненного законом связи потока и концентрации частиц (законом Фика в отсутствие потенциала), инерционную задачу также можно решать относительно концентрации частиц, дополнив то же уравнение непрерывности формальной операторной связью потока с концентрацией. При этом зависимость от массы частиц содержится непосредственно в операторе связи между этими величинами, который может быть рассчитан в рамках ММНД. Преимущества такого описания иллюстрируются примерами, в которых предлагаемый подход позволяет обобщить известные аналитические решения безынерционной задачи посредством инерционного фактора. Это обобщение делает ясной математическую структуру результата, из которой следуют аналитические выражения в тех случаях, когда инерционный фактор также представим в аналитическом виде.

К таким случаям относится расчет эффективного коэффициента диффузии в пилообразном асимметричном потенциале, амплитуда которого мала по сравнению с тепловой энергией (приближение, противоположное использованному, например, в [8]). При увеличении асимметрии градиенты потенциала возрастают на определенных его участках и стремятся к бесконечности, когда потенциал становится предельно асимметричным. Наличие скачков потен-

циала еще приемлемо при решении безынерционных диффузионных задач. Однако оно становится непреодолимой трудностью при учете инерции, поскольку существующие схемы численных решений уравнения Клейна-Крамерса (или моделирования на основе соответствующего уравнения Ланжевена) в такой ситуации малопригодны. Поэтому предложенный в данной статье подход, позволивший продемонстрировать обусловленное инерцией неаналитическое поведение эффективного коэффициента диффузии при возникновении скачков пилообразного потенциала, по-видимому, является уникальным подходом, с помощью которого такой результат вообще мог быть получен.

Основными характеристиками, обеспечивающими статистическое описание транспорта ансамбля частиц, являются плотность вероятности р{х, £) и поток ./(ж, £), задающие концентрацию в точке ж и поток через сечение ж в момент времени Они связаны между собой уравнением непрерывности:

дЬ

дх

(1)

являющимся локальным законом сохранения массы частиц в рассматриваемом элементе объема. Для расчета р(х,Ь) в конкретных случаях уравнения (1), конечно же, недостаточно. Требуются какое-либо дополнительное уравнение связи ./(ж, £) с р{х,Ь), содержащее характеристики рассматриваемой системы, а также определенные граничные и начальные условия. Простейшая связь такого рода существует для безынерционного транспорта в достаточно вязкой среде [2]:

(2)

Здесь Дх) - оператор потока в потенциальном поле с энергией II (х), производная которой [/'(ж) = дх11(х) считается периодической функцией с периодом Ь, В = (/ЗСГ1 - коэффициент диффузии, ( - коэффициент трения, зависящий от вязкости среды, размера и формы частицы, /3 = (к^Т)^1 - обратная тепловая энергия (кв - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура). В отсутствие потенциальной энергии уравнение (2) переходит в закон Фика. Подстановка (2) в (1) дает уравнение Смолуховского [1] (а при и(х) = 0 - уравнение диффузии).

Статистическое описание ансамбля инерционных частиц массы то обычно проводится в терминах полной функции распределения р{х, V, £) (плотности вероятности найти частицу в точке ж, со скоростью V

в момент времени ¿), удовлетворяющей уравнению Клейна-Крамерса [3,4]:

д дЬ

д

1 д

дх тп ду

(V + и'( ж) +

С д

т/3 ду

■ р(х, V, £).

(3)

Величины р{х, £) и ./(ж, £) являются, соответственно, нулевым и первым моментом функции распределения р{х, V, £):

00 оо — оо —оо

(4)

и, вообще говоря, друг через друга непосредственно не выражаются.

В данном сообщении предложен подход, являющийся развитием ММНД [2, 9-12], который позволяет формально выразить €) через р{ж, €) следующим образом:

1 ь

1{х,г) = J Л' J dx'Go(x,x';t-t')J(x')p(x',t'). (5)

о о

Тогда подстановка (5) в (1) приводит к интегро-дифференциальному уравнению относительно р(ж, ¿), в котором вся информация об инерционных эффектах содержится только в ядре интегрального уравнения 6?о(ж, ж';£ — £'). Такой подход дает ключ к аналитической записи решений ряда задач теории инерционного транспорта, для которых известны точные выражения, полученные только в отсутствие инерции. Основная идея и плодотворность подхода могут быть проиллюстрированы следующим образом.

Воспользуемся представлением Лапласа для зависящих от времени величин р(ж, ¿) и ./(ж, £):

оо О

со

[ _ д в/5(ж, в) — /э(ж, 0) = / скЬе /э(ж, ¿)

(6)

(представление для ж, ¿) аналогично). Тогда система уравнений, составленная из уравнения непрерывности (1), проинтегрированного по ж:

X

3{ж, 5) = 7(0, в) + I д,у[р{у, 0) - зр(у, 8)], (7)

о

и уравнения (5), записанного в операторной форме: J(x, s) = Gо(х, s)J(x)p(x, s), сводится к следующему интегро-дифференциальному уравнению:

-DdxeßU^p(x, s) = eßU^Gö\x, s) x

х { J(0, s) + J dy[p(y, 0) - sp{y, s)] } . (8)

Это уравнение легко решается относительно р{х, s) в следующих двух важных частных случаях.

Первый частный случай - стационарная задача движения инерционной частицы в периодическом потенциале V(x + L) = V(x) под действием постоянной силы F. В этом случае полная потенциальная энергия равна U(x) = V(x) — Fx. Тогда p(x,t) = р(х), p(x,s) = s~1p(x), а изображение Лапласа J(0,s) = s-xJ определяется не зависящим от координаты потоком J, так что уравнение (8) принимает вид —Ddxe^u^p{x) = е!3и'уХЮ^1{х)J, где (?д *(ж) = G'o"1(x,0). Решение этого дифференциального уравнения содержит две произвольные постоянные (J и р(0)), которые находятся из условия периодичности р(х + L) = р(х) и условия нормировки ь

J p{x)dx = 1. В результате получаем

J = D[l-e-ßFL

dxe~ßU^ x

±j ±j x j dxe/^G^ix) - (1 - e~ßFL) j dxe->x

X

x j dye^GöHy)

(9)

В отсутствие инерции ¿¡^(ж) = 1 и соотношение (9) переходит в известную формулу Стратоновича [13]. Линейное по Р разложение средней скорости частицы (у) = ,1Ь « рР дает выражения для подвижности р в нулевом внешнем поле и связанного с ней эффективного коэффициента диффузии в периодическом потенциальном профиле У (ж):

Des = kBTp = D

t L/

'dxe~ßV^ J dxeßv^G^\x)

-l

(10)

Второй частный случай точного аналитического решения уравнения (8) состоит в нахождении пото-

ка Ф(ж) = f J(x,t)dt = lim J(x, s), интегрированно-

o

го за большой промежуток времени, в течение которого состояние частицы изменяется от начального распределения р(х, 0) с максвелловским распределением по скоростям до равновесного в потенциале V(x) конечного распределения р(х, оо). Поскольку lim sp(x, s) = р{х, оо), уравнение (8) при s —> 0 при-

s^O

нимает вид

-DdxeßV^p(x, 0) = eßV^Gö\x) х

х |ф(0) + I d,y[p(y,Q)-p(y^)]^. (И)

Вследствие периодичности функции р(х, 0) ин-

тегрирование по х левой и правой части уравнения (11) от 0 до L позволяет найти величину Ф(0):

L х

Ф(0)= / dxq(x) / dy[p(y,oo) -р(у,0)],

q(x) = Zriq(x)Gö1(x), (12)

L L

q(x) = eßV{x) j J dxeßV{x\ Zin = J dxq(x)Gö\x), 0 0 а соотношение (7) при учете равенств Ф(ж) = = lim J{x, s) и lim sp{x, s) = p{x, оо) - и величину

Ф(ж). Полученное выражение (12) является обобщением известной леммы Паррондо [14] на случай инерционных частиц (в отсутствие инерции при G(ж) = = 1 и q(x) = q(x) оно сводится собственно к лемме Паррондо). Физическая трактовка величины Ф(ж) очень проста. Если в начальный момент времени частица находилас

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком