ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2010, том 44, № 5, с. 543-555
УДК 66.011
АНАЛИЗ ЧИСЛА СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННЫ
© 2010 г. А. Г. Лощев, К. А. Кардона*, Ю. А. Писаренко
Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова *Национальный университет Колумбии, г. Манизалес diplom_artem@mail.ru
Отмечена чрезвычайная важность точного определения числа степеней свободы при проектировании, эксплуатации, модернизации и оптимизации химических производств. Установлены основные различия в подходах двух основополагающих работ, посвященных вычислению количества степеней свободы химико-технологических процессов. Кроме того, определены причины, порождающие несоответствие в количествах степеней свободы для однотипных химико-технологических объектов, рассмотренных в указанных работах.
ВВЕДЕНИЕ
При проектировании процессов физического разделения компонентов, включающих массо- и теплопередачу, первым шагом обычно является описание условий проведения процесса, определяемых набором независимых переменных [1].
Задача проектирования и расчета многокомпонентного, многофазного, многоступенчатого разделения сводится к совместному решению системы нелинейных уравнений с помощью итерационной процедуры. Последние представляют собой математическую модель процесса и включают множество переменных, описывающих его состояние. Постановка задачи расчета подразумевает выбор определенного набора переменных и закрепление их значения (спецификация переменных), которые в дальнейшем рассматривают в качестве рабочих параметров. Характер отбираемых переменных определяется удобством их контроля и варьирования в условиях проведения процесса.
Существует определенная взаимосвязь между максимальным числом рабочих параметров процесса и числом степеней его свободы, или вариантностью.
Интуитивно простой, но трудный в реализации, метод нахождения числа независимых переменных Ы(оГ, степеней свободы, или вариантности технологического объекта (химико-технологической системы или отдельного ее элемента), заключается в перечислении всех переменных, используемых для его описания Муаа, и вычитании из общего их числа количества независимых уравнений Ыеф связывающих данные переменные и составляющих его математическую модель:
Ы(1оГ -^уаг Neq.
Следует различать понятие число степеней свободы процесса Ы(оГ и число рабочих параметров Ыжогк. Первое является инвариантом — количество степеней свободы не зависит от желания проектировщика закрепить ту или иную свободную переменную, а определяется физико-химическими свойствами многокомпонентной смеси и способом организации процесса ее разделения. Рабочие параметры определяют как переменные, значения которых закреплены при решении расчетной или проектной задачи. Разность между числом степеней свободы процесса Ы(оГ и числом его рабочих параметров Ду0гк можно рассматривать как число свободных переменных задачи. Соотношения между числом степеней свободы и числом рабочих параметров, возникающие при постановке задачи расчета, представлены ниже.
1. Ы(оГ — Дтогк = 0: задача полностью определена. Количество независимых уравнений, представляющих математическую модель процесса, равно количеству переменных, и система уравнений может иметь вполне определенное, обычно единственное, решение. В этом случае для системы линейно независимых уравнений существует однозначное решение. Если же уравнения нелинейны, то физически осмысленного решения может не существовать, либо допустимо множество решений.
2. Ы(оГ—Ыжогк > 0: задача недоопределена — существует больше переменных процесса, чем связывающих их независимых уравнений. В частности, для линейных моделей ранг матрицы, образованной коэффициентами при переменных, меньше их числа, и такая система имеет бесконечное множество решений.
3. Ы(оГ — Дуогк < 0: задача переопределена — число независимых уравнений превышает число присут-
ствующих в них переменных и, следовательно, задача не имеет решения [2].
Таким образом, число степеней свободы процесса МйЫ соответствует максимальному количеству переменных, которые можно закрепить при постановке задачи проектирования или расчета разделительного процесса, т.е. максимальному
числу рабочих параметров ^^ОТь при котором система имеет решение.
Основополагающими в области анализа степеней свободы разделительных процессов являются работа Э.Р. Джиллиленда и С.Е. Рида [3] и работа М. Квока, представленная в виде отдельной главы в книге [1]. Авторы обеих работ рассмотрели последовательно отдельные элементы разделительного процесса (контактную ступень, каскад контактных ступеней, кипятильники, дефлегматоры и другие устройства), а также объединяющий указанные элементы разделительный аппарат — ректификационную колонну. При этом они получили различное число степеней свободы, как для процессов, протекающих в отдельных элементах ректификационной колонны, так и для процесса ректификации в целом. Несоответствие степеней свободы процесса ректификации в [3] и [1], авторы работы [1] объясняют, в частности, различным порядком нумерации отдельных элементов [4]. Естественно, что такое объяснение нельзя признать убедительным. Наличие указанных несоответствий послужило поводом к написанию данной работы.
Для решения вопроса о соответствии между собой результатов работ [1, 3] возникла необходимость в проведении сопоставительного анализа представленных в них методов вычисления степеней свободы.
В основе обоих, хотя и кажущихся на первый взгляд различными, подходов лежат уравнения материального и энтальпийного баланса, уравнения фазового равновесия, а также стехиометрические соотношения, выражающие условия нормировки некоторых интенсивных величин, в частности, концентраций веществ в жидкой и паровой фазах.
Внешнее различие подходов, представленных в работах [1] и [3], состоит в том, что при рассмотрении процессов, протекающих в отдельных устройствах, Квок [1] каждый раз записывает полную систему уравнений перечисленных выше типов, связывающих как интенсивные, так и экстенсивные переменные, характеризующие протекающий процесс. Предложенный способ, с нашей точки зрения, является весьма наглядным и методически оправданным — его удобно использовать для анализа степеней свободы процессов, протекающих в различных технологических объектах: начиная от контактных устройств и кончая технологическими комплексами. Э.Р. Джиллиленд и С.Е. Рид [3], в свою очередь, используют при описании процессов исключительно интенсивные переменные, рас-
сматривая вместо реальных материальных и тепловых потоков удельные потоки, которые вычисляют посредством деления всех материальных и тепловых потоков на величину одного из материальных потоков, принятого за базовый. Очевидно, что, ограничиваясь рассмотрением полученного таким образом набора интенсивных величин, мы на единицу уменьшаем число переменных, описывающих процесс. Еще одно, на этот раз формальное, отличие состоит в том, что при определении степеней свободы авторы [3] проводят последовательное исключение переменных, прежде всего, принимая во внимание связи, обусловленные наличием фазового равновесия. Так, при рассмотрении равновесных контактных устройств вывод о суммарном числе независимых интенсивных термодинамических переменных, характеризующих состояние материальных потоков, покидающих данное устройство, авторы делают на основе правила фаз Гиббса. Вследствие этого, они выделяют независимые интенсивные термодинамические переменные уже с учетом существующих равновесных соотношений. Выделенные таким образом интенсивные термодинамические переменные они дополняют переменными, выражающими величины удельных материальных и тепловых потоков.
Для определения числа степеней свободы технологического объекта авторы [3] из общего числа переменных вычитают число уравнений материального и энтальпийного балансов и число уравнений, выражающих условия отождествления материальных потоков. Смысл последних состоит в том, что при рассмотрении устройств, включающих каскад ступеней контакта, один и тот же материальный поток выступает в роли потока, покидающего равновесную ступень, и, одновременно, в роли потока, направляемого на соседнюю равновесную ступень. Уравнения, выражающие условия отождествления указанных потоков, представляют собой систему соотношений, приравнивающих соответствующие свойства потоков.
В отличие от работы [3], в [1], с одной стороны, в состав переменных включен набор концентраций всех С веществ, температура и давление материального потока, а с другой стороны, к общему числу уравнений, отображающих условия термодинамического равновесия, а также материального и эн-тальпийного балансов, добавляют уравнения, связывающие концентрации веществ в каждом из материальных потоков. Кроме того, при анализе степеней свободы величину материальных и тепловых потоков выражают в абсолютных единицах.
Сделав ряд общих замечаний, характеризующих различие представленных выше подходов, рассмотрим особенности их использования для анализа как отдельных элементов, так и ректификационной колонны в целом.
МАТЕРИАЛЬНЫЕ И ТЕПЛОВЫЕ ПОТОКИ
Ключевую роль при анализе степеней свободы технологических процессов играют способы описания присутствующих в них материальных и тепловых потоков. Известно, что для любого однофазного потока, содержащего С веществ, полный набор интенсивных переменных, определяющих его состояние, как это следует из правила фаз Гиббса, может включать С — 1 концентрацию образующих систему веществ, а также температуру и давление. Суммарное количество указанных переменных, таким образом, составляет С + 1. Для полной характеристики материального потока, помимо определения его состояния, требуется знать его количество. Поэтому к рассмотренному выше набору интенсивных переменных необходимо добавить экстенсивную переменную — величину потока (количество вещества, переносимое данным потоком в систему из внешней среды в единицу времени). Таким образом, исчерпывающая характеристика материального потока, соответствующая полной его вариантности [5], предполагает закрепление (спецификацию) С + 2 переменны
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.