ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 5, с. 404-413
= ТОКАМАКИ =
УДК 533.9.01
АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ МОД, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С РЕЗИСТИВНОЙ СТЕНКОЙ В ТОКАМАКЕ, С УЧЕТОМ СКИН-ЭФФЕКТА
© 2013 г. В. Д. Пустовитов, В. В. Яновский
Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия
e-mail:pustovit@nfi.kiae.ru Поступила в редакцию 11.05. 2012 г.
Окончательный вариант получен 27.06.2012 г.
Оценивается точность дисперсионных соотношений, полученных ранее аналитическими методами в задаче устойчивости винтовых мод, взаимодействующих с резистивной стенкой вакуумной камеры (resistive wall mode — RWM) в токамаках. Существующие модели используют разложения по отношению толщины стенки dw к толщине скин-слоя s. В стандартной теории "медленных" RWM этот параметр мал, а в недавно развитом подходе для "быстрых" RWM — велик. Здесь дисперсионное соотношение, пригодное для описания не только этих крайних случаев, но и промежуточного диапазона, выводится в одномодовом цилиндрическом приближении без ограничения на величину s/dw. Полученное уравнение решается численно, результат сравнивается с предсказаниями прежних аналитических моделей, в которых s > dw или s ^ dw. Уточнена область применимости асимптотических выражений для инкремента RWM. В частности, определены пределы, в которых их ошибка не превышает 10%. Показано, что эти выражения всегда дают заниженные значения инкремента. Рассмотрение подтверждает необходимость учета скин-эффекта при описании динамики RWM.
DOI: 10.7868/S0367292113040094
1. ВВЕДЕНИЕ
В теории устойчивости винтовых мод, взаимодействующих с резистивной стенкой вакуумной камеры (Resistive Wall Mode — RWM) в токамаках, доминирующим является подход, основанный на приближении тонкой стенки [1—16]. Формально он соответствует пределу dw/s ^ 0, где dw — толщина стенки,
- 1Д/Й
0aY
(1)
— толщина скин-слоя, инкремент у считается положительным, = 4п х 10 Г/м — магнитная постоянная (пользуемся системой СИ), а а — проводимость стенки. В этом случае дисперсионное соотношение для RWM с малыми тип (полоидальное и тороидальное волновые числа) имеет вид [6, 9, 10, 13]
YTw = Гт,
где т w — резистивное время стенки
Т w = №rwdw ,
(2)
(3)
довой модели для плазмы без диссипации ее можно выразить как
b
Г т = - 2тЬ-
Ьг
(4)
гк — радиус стенки. Величина Гт в правой части (2) определяется свойствами плазмы. В одномо-
где br — радиальная (или нормальная к поверхности стенки) компонента магнитного возмущения
b, b0"' — часть br, создаваемая внешними источниками (в нашем случае — токами в стенке), а индекс w— означает, что величины берутся на внутренней стороне стенки. Различные представления Гт, в том числе и более общие, чем (4), при
I 11 ou'
наличии фазового сдвига между br и br , и связь Гт с параметрами плазмы описаны, например, в [6, 13, 17, 18]. В [3, 4, 8] эта величина называется индексом устойчивости (stability index), потому что в приближении тонкой стенки она вычисляется так же, как и параметр А' в теории тиринг-мод, но скачок производной br берется на стенке [18]. По определению (4), которое не связано с дифференцированием и не накладывает ограничений на толщину стенки, Г т является мерой отклика плазмы на внешнее возмущение. Не имея данных о профилях тока и давления, ее можно определить с помощью внешних магнитных измерений [6].
w
s
В работах [19—21] показано, что при 5 <§ йИ и прочих равных условиях вместо (2) получается
й 2 ух =^ г2.
1ти г т'
(5)
При фиксированном Гт формулы (2) и (5) для инкремента RWM можно рассматривать как результаты расчета для заданного состояния плазмы, но при разном подходе к описанию стенки. В первом случае предполагалось, что величина Ь • пИ (пИ — единичная внешняя нормаль к ) поперек стенки не меняется. Во втором, напротив, считалось, что Ь • пИ = 0 на внешней стороне стенки при том же самом Ь • п И Ф 0 на ее внутренней стороне стенки, что соответствует 5 <§ йИ.
Полученные в противоположных пределах 5 > йИ и 5 <§ йИ, формулы (2) и (5) не покрывают промежуточного диапазона вокруг точки 5 = йИ. Здесь нашей целью является анализ дисперсионного соотношения для RWM без ограничений на величину йИ /5 и уточнение условий применимости асимптотик (2) и (5).
Дисперсионное соотношение, пригодное для описания всех трех областей, выводится здесь в одномодовом цилиндрическом приближении. Точные решения в задачах RWM в тороидальной геометрии обсуждались в [10], где также приведена их редукция до приближенных цилиндрических. Упрощенное цилиндрическое описание годится для возмущений с малыми т и п типа ти-ринг-моды, внешней винтовой моды или RWM в токамаке с Я/и > гИ/т (Я - большой радиус). Оно часто используется в теории устойчивости плазмы [3, 4, 6-8, 12, 13, 15-19, 21-29], а результаты такого рассмотрения хорошо согласуются с экспериментальными [12, 13, 30, 31].
Ключевым пунктом, отличающим наш подход от стандартных моделей с "тонкой" резистивной [1-16] или идеальной стенкой [22-25, 27, 32, 33], является допущение сильной радиальной зависимости Ьг в стенке. Расчет этой зависимости становится отдельной задачей, в которой толщину стенки следует считать конечной в том смысле, что разность Ьг на внутренней и внешней сторонах стенки не предполагается малой. В стандартной теории RWM и в моделях с идеальной стенкой она равна нулю, но это два крайних модельных случая. При реалистическом подходе к расчету Ьг в стенке с учетом радиального затухания дисперсионные соотношения для RWM демонстрируют сильную зависимость от 5/йИ [1921], что и стимулирует дальнейшие исследования в этом направлении.
Как и в [19-21], привычный термин RWM используется здесь в широком смысле, без привязки к конкретному типу возмущения. Он лишь указы-
вает на существенную роль электромагнитного взаимодействия плазмы с резистивной стенкой, объединяя по этому признаку все моды, сигнал от которых можно измерить магнитными зондами вне плазмы.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В задачах устойчивости плазмы влияние внешнего окружения можно формально задать через граничные условия для магнитного возмущения Ь на какой-то тороидальной "контрольной поверхности", которая отделяет внутреннюю область от внешней. Это может быть, например, граница плазмы Бр1, поверхность в вакуумном промежутке плазма-стенка [34, 35] либо внутренняя поверхность стенки вакуумной камеры . В классической теории идеальной МГД-устойчивости [2225, 27, 32, 33] принят последний вариант, а само условие пИ • Ь = 0 на соответствует "идеальной" стенке. При этом Ь = 0 всюду за пределами тора
В более общем случае с пИ • Ь Ф 0 поведение Ь зависит от токов как внутри, так и вне тора БИ. Задание граничных условий для внутренней области оказывается поэтому связанным с расчетом этих токов (или динамики Ь) и за ее пределами.
Для описания возмущения Ь во внешней области достаточно уравнений Максвелла
Ух Е = -дВ, дг
(6)
V- В = 0, (7)
Ух Н = \ (8)
и закона Ома
\ = ст Е. (9)
Здесь Е и Н - напряженность электрического и магнитного поля, соответственно, В = ц0Н -магнитная индукция, ц т - магнитная проницаемость среды, ст - ее проводимость (в вакууме а = 0). При необходимости влияние ферромагнетизма стенки можно учесть, как это сделано в [36]. В [36, 37] показано, что при типичных параметрах токамаков это влияние невелико, поэтому здесь будем считать ц т = 1. Далее полагаем В = В0 + Ь, где В 0 - равновесное поле, а Ь - возмущение.
В вакуумных областях Ь = Уф, а ф подчиняется
уравнению Лапласа V 2ф = 0. В металлическом окружении
дЬ ^2, цст— = V Ь
дг
И
стенка
У rw dw
плазма L
вакуум
вакуум
Рис. 1. Геометрия задачи и основные обозначения. Плазменный цилиндр радиуса Гр окружен коаксиальным проводящим кожухом с радиусом rw и конечной толщиной dw. Кожух и плазму разделяет вакуумный промежуток, за пределами кожуха также вакуум.
(здесь считается а = const). На внутренней и внешней границах раздела стенка-вакуум должно выполняться
(и • b) = 0, (и х b) = 0, (11)
где скобки означают скачок через поверхность. Отличие от модели с магнито-тонкой стенкой состоит в том, что здесь нет равенства значений и • b на противоположных сторонах стенки.
Одной из целей работы является уточнение пределов применимости дисперсионных соотношений (2) и (5). Они получены в одномодовом приближении, что соответствует цилиндрической модели. Здесь будем пользоваться той же моделью, что и в [6, 13, 17, 19, 21], но без ограничений на величину s /dw. Геометрия задачи схематически показана на рис. 1.
В этом приближении возмущения можно представить в виде
/(r,') = Re{fmn(r) exp(im0 - inQeyt}, (12)
где t — время, у — инкремент, r, 0 и z = RZ — цилиндрические координаты, связанные с осью симметрии, но вместо z введена Z — аналог тороидального угла (2п R = L — полная длина системы вдоль оси z или длина эквивалентного тора). С учетом винтовой симметрии, следуя [38, 39], индукцию магнитного поля B = B0 + b можно представить в виде
B = Vyx h + Fh, (13)
где у и F — функции двух переменных, r и 0 - nZ/т,
h = X re 0 + Xe z
е 0 и е г — единичные орты по осям 0 и z,X = тЯ/п, а 2пХ — длина волны возмущения по оси z.
Очень часто в задачах, где в подобной геометрии рассматриваются моды с винтовой структурой с малыми т и п, вместо (13) для Ь = В - В0 используется представление Ь = Уу х ег, см. [3, 4, 12, 19, 22, 28, 29, 36, 40-44] и ссылки в этих работах. Оно получается из (13), если там положить %/г ^ 0 и пренебречь слагаемыми с этим множителем. Для описания поперечных компонент Ь такое редуцированное представление вполне годится, но в Ь = Уу х ег отсутствует тороидальная компонента, которая необходима для правильного вычисления тороидального момента сил в задачах о вращении плазмы [45, 46]. Как известно, вращение плазмы может оказывать сильное стабилизирующее влияние на RWM, а развитие RWM приводить к торможению плазмы [9, 12]. Эту связь пока не удается должным образом описать теоретически, но ее важная роль в экспериментах на существующих токамаках вызывает вопрос о возможном использовании вращательной стабилизации в токамаке ИТЭР [9, 12]. В
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.