КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 4, с. 338-348
УДК 629.78.015:531.55
АНАЛИЗ ЭВОЛЮЦИИ МНОГОВИТКОВЫХ ВОЗМУЩЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
ПРИТЯЖЕНИЯ © 2013 г. В. В. Ларичева
Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского, г. Жуковский
Поступила в редакцию 16.03.2011 г.
Аналитически исследуются свойства дифференциальных уравнений многовиткового траекторного движения космического аппарата под действием малых возмущений (в частности, малой тяги) в плоскости центрального ньютоновского поля притяжения. Указаны условия существования частного особого апериодического решения, вблизи которого резко меняется поведение оскулирующих элементов, причем наиболее резко изменяются фазовые переменные — угловое положение перицентра и истинная аномалия. Для уравнений движения, преобразованных к виду квазилинейной слабо нестационарной системы, предложена точная суперпозиция решений: частного особого апериодического и быстро колеблющихся вокруг него. Для обеих составляющих суперпозиции получены асимптотические представления, достаточно точные в области малости возмущающих членов при длительном изменении аргумента.
Б01: 10.7868/80023420613040067
ВВЕДЕНИЕ
На базе предложенного автором обобщения [11] анализируются плоские многовитковые околопланетные траектории космического аппарата при малых возмущениях, в частности, непрерывно действующей малой тяги. Уравнения движения КА преобразуются в квазилинейную слабо нестационарную систему, имеющую, наряду с множеством колебательных решений, частное особое апериодическое решение, определяющее линию перемещения центра колебаний системы. Указанное явление — принципиально новое, в сравнении с аналогичными эволюционными задачами для естественных небесных тел, обращающихся по эллиптическим орбитам с неизменным эксцентриситетом. А эксцентриситет околопланетной траектории КА с малой тягой может изменяться от нуля до значений немалых, но меньших единицы.
Для всей области малости возмущающих членов и большого интервала изменения независимой переменной получено единое аналитическое представление общего решения исследуемых уравнений, используя [11] — обобщение автором принципа суперпозиции решений неоднородных линейных уравнений на класс квазилинейных уравнений типа упомянутых уравнений КА. В плоскости движения КА особому апериодическому решению соответствует медленно расширяющаяся спиралевидная многовитковая траектория, каждый виток которой — почти круговая орбита. Все окрестные возмущенные траектории имеют
четко выраженную эллиптичность каждого витка. Д.Е. Охоцимский [3] одним из первых в мировой литературе показал, что для траекторного движения КА с малой тягой спираль с почти круговыми витками — особое решение, которое он представил как начинающееся из бесконечно малой окрестности особой точки, центра притяжения, и уходящее в бесконечность [1—3, 12].
1. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО
И НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ КА
Пусть компоненты безразмерного возмущающего ускорения (в частности, малого реактивного) описываются гладкими функциями вида
= ерг/1(£,п), &аг = еру/2(г,,п). (1.1)
Здесь е > 0, малый параметр отмечает малость возмущающих ускорений, нижними индексами г, ф обозначены радиальная и трансверсальная составляющие возмущающего ускорения, у — вещественное число, р — безразмерный фокальный параметр; £,, п — проекции вектора Лапласа на полярные оси координат.
Подстановка (1.1) в уравнения (П1.3), (П1.3') Приложения 1 приводит к безразмерным уравнениям, образующим квазилинейную (квазига-мильтонову) систему:
%' = -ц + 2ер2+1Ш,п), п' = % + 2ер п); (1.2) р = 2ериу№ п)/(1 + (1.2')
(1.3)
где
¿fe П) = fife П)/(1 +
П) = [/&П) + Ш W(1 + £))/ 2(1 + ^)2.
Штрихом обозначено дифференцирование по аргументу — полярному углу ф; £, = ecosд, n = esin д — проекции вектора Лапласа на радиус-вектор КА и перпендикуляр к нему, е — эксцентриситет, д = = ф — w — истинная аномалия, w — угловое положение перицентра. Медленность изменения фокального параметраp, согласно (1.2'), обуславливает слабую нестационарность возмущающих членов в уравнениях (1.2). Область, в которой проведем анализ на интервале ф ~ 1/s решений системы (1.2), (1.2') с начальными условиями £,0, n0, Ро при ф0 = 0, назовем допустимой: в ней 0 < е < 1 и изменение £,, n, Р такое, что величины возмущающих членов остаются малыми. Как следствие, система (1.2), (1.2') остается квазилинейной.
При s = 0 из (1.2), (1.2') следуют однородные линейные уравнения невозмущенного движения в форме Гамильтона
= -г|, п' = Р = const. (1.4)
Гамильтонианом здесь служит полная энергия
(^2 + n\)l2 = e2 /2 = const.
Однородная линейная система (1.4) имеет особую (типа центр) точку в нуле £, = n = 0, около которого колеблются остальные решения системы (1.4). Общее решение консервативной системы (1.4) представимо гармониками
% = ecosО, n = esinО, (& = ф-ю), (1.5)
с постоянными амплитудой e и сдвигом по фазе ю, которые являются константами интегрирования и определяются начальными условиями.
В возмущенном движении, где s > 0, константы e, ю, p невозмущенного движения становятся переменными, удовлетворяющими эквивалентным (1.2), (1.2') уравнениям в оскулирующих элементах
e = 2еp2+Y (fcos 0 + f2sin 0),
ю' = 2еp2+у(/1 sin 0 - f2 cos 0)/e, (1.6)
p = 2ep3+Y /i/(1 + e cos 0).
Здесь fx, f2 — функции (1.3), в которых £,, n представлены их выражениями (1.5).
Если в возмущенной системе (1.2), (1.2') существует изолированное тривиальное нулевое решение £, = n = 0, и около него колеблются все остальные решения данной системы, то будем называть эту квазилинейную нестационарную систему качественно аналогичной своей однородной линейной невозмущенной системе (1.4). (Это понятие, очевидно, более специальное и частное, чем известное в математике определение качественной
эквивалентности двух дифференциальных уравнений.)
Легко проверить, что, если функции/х,/,, входящие в возмущающие члены уравнений (1.2), (1.2'), (1.6), удовлетворяют локальным равенствам
/1(0,0) = /2(0,0) = 0 в точке % = п = 0 , (е = 0), (1.7)
то системы возмущенная (1.2), (1.2') и невозмущенная (1.4) качественно аналогичны. Для проверки разложим функции/1, /2 в ряды Тейлора по степеням £,, п в окрестности нулевой точки, выписывая явно лишь члены — свободный и линейные по £,, п,
Ж п) = f(0,0) + |f
0,0 i = 1,2.
П +Afe п),
0,0
(1.8)
Здесь п) содержит члены, начиная с квадратичных, и остаточный член ряда Тейлора. Если в (1.8) свободные члены/(0, 0) = 0, I = 1, 2, то для (1.2), (1.2') выполняются равенства (1.7), обеспечивающие качественную аналогичность с (1.4). Поэтому во всей допустимой области изменения £,, п, (е), в том числе, при бесконечно малой величине амплитуды, будут ограничены отношения:
п)/е < С при е ^ 0, (/ = 1,2), (1.9)
где с — константы, не зависящие от е. Значит, во всей допустимой для решений (1.6) области определены, ограничены, малы по величине и периодичны по & не только правые части уравнений для е ир, но и для углового положения перицентра ю. В итоге, при условиях (1.7) система (1.6) обладает всеми предпосылками для определения ее решения методом усреднения [10] с достаточной точностью при изменении ф на интервале порядка 1/е.
Пример. Уравнение Ван-дер-Поля, переписанное как эквивалентная система
% = -п + е(1 -п п' = %,
(1.10)
качественно аналогично своей невозмущенной системе вида (1.4) потому, что функции /1 = (1 — — п2)^, /2 = 0, входящие в возмущающие члены (1.10), удовлетворяют равенствам (1.7). Посредством (1.5) перейдем от (1.10) к эквивалентной системе
(ln e)' = e(1 - e2 sin2 0)cos2 0, ю' = s(1 - e2 sin2 0)sin 0cos 0,
(1.11)
где правые части определены, равномерно ограничены независимо от величины амплитуды е и периодичны по & с периодом 2я. Из (1.11) усреднением по & выделяются укороченные уравнения (первое приближение [10])
(lne)' = 6(1 - e2/4)/2, ю' = 0.
(1.12)
Из-за выполнения (1.7) в системе (1.10) существуют, кроме изолированного нулевого решения, только колебательные около нуля решения, которых ввиду (1.12) — три типа. Наиболее важным является автоколебательное решение — гармонические колебания (в первом приближении) около нуля с постоянной амплитудой е . Полагая в (1.12) ё = 0, находим, что е = 2. Два других типа решений, — негармонические колебательные, соответствуют е0 < е (ё' > 0) и е0 > е (ё' < 0); оба типа решений стремятся к особому автоколебательному, обеспечивая его устойчивость.
Цель дальнейшего изложения, — анализ квазилинейной нестационарной системы (1.2), (1.2') под действием возмущений, приводящих к качественной неаналогичности возмущенной системы и однородной линейной невозмущенной системы (1.4).
2. ОСОБОЕ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ. ПЕРВОЕ (КВАЗИСТАТИЧЕСКОЕ) ПРИБЛИЖЕНИЕ
Если в уравнениях (1.2), (1.2') в состав возмущения входит малая тяга, то это, как правило, приводит к нарушению хотя бы одного из равенств (1.7). Тогда в системе (1.2) появится несимметрия — небольшой сдвиг (от нуля) положения равновесия, которое не остается неподвижным, медленно перемещается по "равновесной линии", определяемой особым частным решением, апериодическим квазистатического типа. Последнее потому особое, что оно — единственное апериодическое, а решения, составляющие его окрестность, — колебательные. На особом решении малы по величине компоненты вектора Лапласа £,, п, а их производные £,', п' значительно меньше.
Организуем поиск особого частного решения уравнений (1.2), отметив, что существует несколько вариантов нарушения равенств (1.7). Вследствие малости величин £,, п на искомом особом решении, в первом приближении будем оставлять в разложениях (1.8) функций /(£,, п), ' = = 1, 2, входящих в возмущающие члены уравнений (1.2), только свободные члены, полагая
жп) * /,(0,0), (, = 1,2).
(2.1)
П1 = 2гр2+у/(0,0), ^ = -2гр2+у/(0,0).
(2.2)
П1 = (2 + у)[2бр 2+у/(0,0)]2, £1 = -(2 + у)(2бр 2+у)2/(0,0)/(0,0).
(2.2')
Значит, ^ 1п11, ^ !^11, что соответствует ква-
зистатически медленному изменению приближенного решения п1, которое для (1.2) является частным, т.к. не может удовлетворять двум произвольным начальным услов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.