ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2015, том 118, № 3, с. 469-484
^ ФИЗИЧЕСКАЯ ^^^^^^^^^^^^^^
ОПТИКА
УДК 535.32
АНАЛИЗ МЕТОДА РАСШИРЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ: ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЧЕБЫШЕВСКИХ ЧАСТИЦ
© 2015 г. В. Г. Фарафонов, В. И. Устимов
Государственный университет аэрокосмического приборостроения, 190000 Санкт-Петербург, Россия
E-mail: far@aanet.ru Поступила в редакцию 07.08.2014 г.
Исследован метод расширенных граничных условий (ЕВСМ) при решении электростатической задачи для осесимметричных чебышевских частиц, поверхность которых описывается уравнением r(0) = a(1 + ecosnB). При этом основное внимание уделено случаю n = 1. Задача сведена к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) для коэффициентов разложений внутреннего и "рассеянного" полей по сферическому базису, матричные элементы которых представляют собой интегралы от произведений функций Лежандра и степенных функций. Аналитически найдены радиусы сходимости этих разложений R2 и R1 соответственно. Для рассматриваемых частиц в зависимости от параметра возмущения е получены условия применимости ЕВСМ, т.е. условия корректного построения 7-матрицы (R1 < R2), а также условия справедливости внешней (R1 < minr(0)) и внутренней (R2 > maxr(0)) гипотез Релея, при выполнении которых разложения по сферическому базису "рассеянного" и внутреннего полей сходятся вплоть до поверхности частицы вне и внутри нее соответственно. В частном случае n = 1 проведены численные расчеты, при этом интегральные элементы БСЛАУ были представлены в виде конечных сумм, слагаемые которых зависят от гамма-функций. Расчеты матричных элементов по явным формулам позволили значительно увеличить размерность решаемых редуцированных БСЛАУ с сохранением необходимой точности. Анализ результатов численных расчетов подтвердил их согласие с теоретическими выводами.
DOI: 10.7868/S0030403415030125
ВВЕДЕНИЕ
Метод расширенных граничных условий (extended boundary condition method, EBCM) был предложен для решения задач рассеяния электромагнитного излучения несферическими телами [1]. За прошедшее время он получил очень широкое распространение, являясь методом, обычно используемым для вычисления T-матриц [2, 3]. Именно она дает возможность эффективно определять оптические свойства ансамблей частиц (см. обширную библиографию по данному вопросу [4]). Хорошо известно, что численные реализации ЕВСМ не всегда дают решение проблемы рассеяния (см., например, [5]), однако окончательного вывода о причинах этого сделано не было.
На возможность исследовать поставленные вопросы в электростатическом случае указывал Waterman [6]. Соответствующие задачи являются частными случаями аналогичных волновых задач при волновом числе k = 0. В силу этого следует ожидать, что основные результаты, полученные для электростатических задач, останутся справедливыми и для волнового случая. Поскольку в электростатике соответствующие задачи значи-
тельно проще волновых, то для них имеется больше возможностей провести всесторонний анализ поставленных вопросов.
В недавней работе [7] было проведено аналитическое исследование аналога ЕВСМ для решения электростатической задачи возбуждения несферической осесимметричной частицы постоянным электрическим полем. В том числе рассматривался вопрос о необходимости выполнения аналога гипотезы Релея для корректного применения ЕВСМ при решении этих задач. В результате анализа разрешимости возникающих бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) были найдены условия применимости ЕВСМ, т.е. условия, при которых имеется возможность корректного построения Г-матрицы, связывающей коэффициенты разложений "рассеянного" и внешнего полей по сферическому базису. Оказалось, что для этого необходимо и достаточно существования непустого пересечения аналитических продолжений разложений по сферическому базису "рассеянного" и внутреннего полей (Ях < Я2), радиусы сходимости которых были найдены. При этом было показано, что выполнение внешней и внутренней гипотез Релея, т.е. сходимость разложений "рассеянного" и
внутреннего полей вплоть до поверхности частицы, для построения Т-матриц не требуется. Справедливость этих гипотез необходима лишь при рассмотрении ближней по отношению к частице зоны. Кроме того, была выявлена аналогия между ЕВСМ-решениями электростатических и волновых задач, в силу которой сформулированные выше результаты справедливы в том числе и для волновых задач (см. также [8—10]).
Настоящая работа является продолжением работы [7], при этом в ней основное внимание уделяется исследованию разных аспектов численной реализации ЕВСМ для чебышевских частиц. Результаты численных расчетов, проведенные для волновой задачи в случае чебышевских частиц с одним максимумом [11], плохо согласуются с теоретическими выводами. А именно удовлетворительные результаты были получены лишь для параметров возмущения £ < 0.5, в то время как аналитические исследования предсказывают другую
область применимости —£ < 1/л/2 ~ 0.707. Это противоречие, бросающее тень сомнения на аналитические результаты, находит свое разрешение в настоящей работе.
В первом разделе этой работы кратко излагается общее ЕВСМ-решение электростатической задачи для осесимметричных несферических частиц, включая формулы для матричных интегральных элементов БСЛАУ, из которых определяются неизвестные коэффициенты разложений искомых полей по сферическому базису. В следующем разделе для чебышевских частиц выводятся условия, при которых возможно построение Т-матрицы, а также условия справедливости внешней и внутренней гипотез Релея. Затем в частном случае чебышевских частиц с п = 1 интегральные матричные элементы находятся в явном виде, т.е. в виде конечных сумм, содержащих гамма-функции.
Последний раздел работы посвящен обсуждению результатов численных расчетов для чебы-шевских частиц с п = 1. Сначала сравниваются два способа вычисления интегральных элементов БСЛАУ — численный расчет непосредственно интегралов с помощью метода Гаусса и вычисление этих интегралов по явным формулам, найденным в разд. 3. Первый алгоритм дает некорректные результаты при сравнительно небольших разностях (п — /) индексов матричных интегральных элементов. Это затруднение приводит к ограничению размерности N редуцированных БСЛАУ, из которых коэффициенты разложения "рассеянного" поля определяются с достаточной точностью. Именно этот факт объясняет "слабые" результаты работы [11].
Анализ результатов численного решения редуцированных БСЛАУ для коэффициентов разло-
жений внутреннего и "рассеянного" полей по сферическому базису подтверждает правильность теоретического расчета радиусов сходимости Я2 = = (1 — £2)/2|£| и Я1 = £/2 этих разложений. В результате области справедливости внешней и внутренней гипотез Релея имеют вид £ < 2/3 и £ < <1/3 соответственно. Кроме того, результаты численных расчетов согласуются с теоретическим выводом о том, что область применимости ЕВСМ для рассматриваемых чебышевских частиц определяется неравенством £ < 1/72 ~ 0/707.
Проверка правильности численных расчетов основывается на сходимости результатов при увеличении количества N учитываемых слагаемых в разложениях полей, т.е. при увеличении размерности редуцированных БСЛАУ. Еще одним критерием служит нетривиальное требование симметричности Т-матрицы. Данный вопрос также рассматривается в работе, которая заканчивается выводами, вытекающими из проведенных исследований.
1. ЕВСМ-РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
Напряженность электростатического поля Е можно задавать с помощью скалярного потенциала Е = —УФ. Рассмотрим возбуждение однородной несферической частицы внешним полем с
потенциалом ф1. В этом случае потенциал поля, возникающего из-за наличия частицы, т.е. возбужденного или "рассеянного" поля, обозначим
через Ф2, а потенциал поля внутри области В, которую занимает частица, — через Ф1. Из уравнений Максвелла следует, что эти потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа:
АФ = 0. (1)
Граничные условия на поверхности раздела сред заключаются в непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей электрических полей и нормальных составляющих векторов электрической индукции Б [12—14].
В рамках ЕВСМ сформулированная выше электростатическая задача сводится к системе двух поверхностных интегральных уравнений [7]:
, пГГ™ .чдФ?(г')Ъ. И(г)-Ф2(г), г е В, (£-1)1 С(г,г) 1\'ds= 1 (2)
' 1_ дп ] [-Ф2(г), г е Я3\В, (2)
где £ — относительная диэлектрическая проницаемость для среды внутри частицы по сравнению со средой вне ее, д/дп — производная вдоль внешней нормали к поверхности частицы S, при этом используется одна и та же функция Грина скаляр-
ного уравнения Лапласа для свободного пространства
G(r,r') =
1
4п|г - г'|'
где г, г' — радиусы-векторы точек наблюдения и интегрирования. Теперь для решения электростатической задачи сначала нужно найти потенциал внутреннего поля из первого уравнения, а затем из второго уравнения определить потенциал "рассеянного" поля.
Другая схема ЕВСМ основана на интегральных уравнениях для полей вне частицы [7]:
(e-1)J {{ [Ф1(г ') + Ф2(Г ')]}
|—£Ф2(г) + ф1(г), г е D, I—ф2(г), г е R%D,
(3)
Ф1 - -
ф2 = II
1
aml 2
aml
Vml (0, ф) =
ф1 m=0l=m 1 1 —(l+1)
2 bml -r
ml 2l +1
aml * ml(r),
= I^l *ml(r),
m=0 l=m д1 щ(3)/,-\ bmMmllr)>
(5)
где
^Skr) r
*il) = Г+» Vml(0, ф),
*ml(r) 27+1
(6)
VmlO, ф) = ^^ ф)) = 7T(C0S eJ2-^C0S m(P'
V ml0(e, Ф) 1 2n Sin mp.
Здесь P¡" (cos0) — присоединенные функции Ле-жандра 1-го рода,
при этом достаточно рассматривать только второе уравнение.
В дальнейшем будем считать, что рассеивающая частица имеет аксиальную симметрию (ось г декартовой системы совпадает с осью вращения), и ее поверхность Л* в сферической системе координат описывается уравнением
г = г (0), (4)
при этом частицы должны быть звездными, т.е. радиус-вектор, проведенный в любую точку поверхности, не должен пересекать ее дважды.
ЕВСМ-решение предполагает, что скалярные потенциалы представляются в виде рядов по собственным функциям оператора Лапласа в сферической системе:
j>m(cos 0) = р±!) (L-mWose)
\ 2 (l + m)! — соответс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.