научная статья по теме АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ ПОЛНОГО БРЮССЕЛЯТОРА Химическая технология. Химическая промышленность

Текст научной статьи на тему «АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ ПОЛНОГО БРЮССЕЛЯТОРА»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 6, с. 658-664

УДК 536.46;517.9

АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ ПОЛНОГО БРЮССЕЛЯТОРА

© 2014 г. И. В. Елюхина

Южно-Уральский государственный университет, г.Челябинск Inna.Elyukhina@gmail.com Поступила в редакцию 10.04.2012 г.

Построено общее нелинейное параболическое уравнение для реакционно-диффузионной модели типа автокаталитической реакции. Это уравнение для комплексной амплитуды огибающей волны позволяет выполнить анализ долговременного поведения системы после потери устойчивости. Его коэффициенты явно выражаются через параметры исходной модели полного брюсселятора с диффузией. Амплитудное уравнение учитывает возможность нахождения центра волнового пакета не на гармонике максимального инкремента.

Ключевые слова: нелинейная устойчивость, модель полного брюсселятора, общее нелинейное параболическое уравнение.

Б01: 10.7868/80040357114060025

ВВЕДЕНИЕ

Брюсселятор является классической моделью колебательной химической реакции, для которой вопросы устойчивости и формирования структур широко обсуждаются (например, [1—4]). Поведение модели полного брюсселятора, как увидим ниже, существенно отличается от присущего этой упрощенной модели, но изучено недостаточно (например, [5, 6]). Анализ влияния диффузии на динамику также не выполнялся. Кроме того, в за-критических областях возмущения из непрерывного спектра волновых чисел возбуждаются и нелинейно взаимодействуют, что необходимо принимать во внимание при изучении структурных переходов и устойчивости состояний. Разработаем математическое описание долговременного поведения такой полной модели после потери устойчивости и выполним нелинейный анализ аналогично [7].

МОДЕЛЬ И ПОДХОД

Модель брюсселятора: А + В ^ Б + Е, включает четыре стадии (например, [8])

X;

1) A -

2) B + X —^—>Y + D (бимолекулярная реакция);

3) 2 X + Y ——— 3X (1)

(тримолекулярная реакция, автокатализ);

4) X —^ E.

Кинетические уравнения для (1) имеют вид

— = -k A; — = -k2BX; — = k2BX; dt dt dt

— = k4X; — = kA - k2BX + k3X 2Y - k4X; (2)

dt dt

— = k2BX - k3X 2Y. dt 3

Из системы (2) обычно исключаются уравнения для конечных продуктов D и E, не влияющих на кинетику реакций. Если концентрации реагентов A и B поддерживаются постоянными (положительными), модель (2) приводит к системе двух уравнений для промежуточных веществ X и Y, хорошо известной как модель брюсселятора. В так называемой модели полного брюсселятора компонент B добавляется к смеси со скоростью а = const. Тогда, в частности, в отличие от предыдущей модели предельный цикл, возникающий в области линейной неустойчивости, при а выше некоторого критического значения взрывается: X ^ 0, а Y ^да и B ^да [9].

Примем все скорости реакций kj = 1 (j = 1,... ,4) и A = 1, обозначим и :=X, v :=Y, w :=B и с учетом диффузии модель полного брюсселятора запишем как

2

ди , , 2 , г, д и

— = 1 + и v - uw - и + Du —г;

dt uдх2

dv 2 , п д2v

— = uw - и v + Dv —г;

dt v дх2

(3)

(4)

dw г. д 2w

— = -uw + а + Dw —г-.

dt дх1

(5)

д u

di+(1 -a)u - v+w - D дх^ (6)

2 2

= aU + U v + 2Uv - Uw;

dv n d2V ~~ ~2~ ~2 /-,4

--+ au + v - w - Dv —r = uw - u v - 2uv -au ; (7)

dt

дх x

dw , ~ , ~ n д 2w

--+ au + w - Dw —r = -uw.

dt дх2

(8)

ф = J F(k) expi(kx - œt)dk + k.c.

k0 -Ak

или ф = A exp i [k0x - œ(k0)t] + k.c., где ю = юг + i®; и

(9)

Ak

A = J F(k0 + 5k)exp i I 5kx -

-Ak

1 д 2ю

2 dk:

дю dk

5kt -

(10)

52kt - s2та ;t

d5k + O(s3).

ю3 + ip^2 + р2ю + ip3 = 0,

(11)

где

Полагая и = й + и0, V = V + v0 и w = / + w0, где стационарное однородное состояние отвечает и0 = 1 и /0 = v0 = а, перепишем систему (3)—(5) в возмущениях й, V, у/.

дй

p = 3 - а + k2 (Du + Dw + Dv); p2 = -3 + 2a - k2 (2Du + 2Dw + 2Dv - aDw - aDv) -

- k4 (DuDw + DuDv + DvDw); Рз = -1 - k2 (Du + Dw + Dv - 2Dva) -

- k '(DuDw + DuDv + Dv Dw - aDv Dw ) - k Dw.

РЕДУКЦИЯ

Представим систему (6)—(8) в матричной фор-

ме

Дальнейший анализ долговременного поведения вблизи точки (и0, у0, /0) проводится в рамках этой модели (6)—(8). Спектрально узкий волновой пакет представляется как монохроматическая волна и движения делятся на быстрые, происходящие со скоростью изменения фазы несущей волны, и медленные, соответствующие эволюции огибающей волнового пакета. Используется метод

многомасштабных разложений [10]: tо — 11 — в/,

2 2 /2 =6 х0 = х, х1 = ех, х2 = б х. Для исключения

роста возмущений на масштабе 10, х0 рассматривается волновой пакет с центром на кривой нейтральной устойчивости и возмущение представляется в виде

к0+Ак

LY = N,

(12)

где Y = [u v ww]T ; N = [n(1) N(2) N(3)] ; элементы линеаризованного оператора L

Ai +1 -a)-Du ^ ;

dt dx

L12 — —1; L3 = 1; L21 = a;

d d2 (13)

L22 — f +1 - Dv ^ ; L23 —-1; L31 —a; dt ôx

d

d2

(14)

Хз2 = 0; Хзз = —+ 1 - ;

дх

нелинейные члены

АГ(1) -2 -2- ~~~ N = аи + и V + 2йу - и/;

N(2) = й/У - и2х/ - 2йл/ - ай2; N(3) = -и/. Для исключения секулярных членов из уравнения (12) запишем его в виде

Ь* ЬУ = Ь* N, (15)

где присоединенная матрица Ь* содержит элементы

L* + 21- ( + Д.)£dt -

- (Dv + Dw + Dv Dw ^ + 1; dx dx

L*2 =1-Dw4 +1; L*3 =--d + Dv4;

dt w dx2 dt dx2

T* Ô

d2 ô

Принимается, что ширина полосы волновых чисел мала: Ak/k0 1; неустойчивость слабая:

Ю; = б2та; < 1, что эквивалентно dk < 1 на кривой нейтральной устойчивости; существует баланс спектральной ширины волнового пакета, амплитуды и величины инкремента: Ak/k = O(s),

ф/ф0 = O(s), Ю; = O(s2), s < 1 (например, [11] для брюсселятора). Параметры линейной устойчивости, такие как кривая нейтральной устойчивости, инкремент, частота и фазовая скорость возмущений, определяются из дисперсионного уравнения

Lo, = -а—+ aDw —т - 2а;

dt w dx2

г* d , d

d2 d

L*2 = ^ + ^( 2 - a) - (Dw + Duд -22 dt2 dr J K w u! dx dt

- [Dw (1 - a) + Du j]^ + DuDw ^ +1 - 2a;

dx dx

l*3 +1 - Du 4 ;

23 dt u dx2

k

k

= -а— - а + ай„ -А-; ¿32 = -а; " дх2

Ц

* д , д

+ ^ ( 2 -а)- Б + Би)

5х2 5?

- (1 - а) + Би]] + БиБ^ +1.

дх дх

В (15) введем разложения

2 3

Ь = Ь0 + еЦ + 6 Ь2 +6 Ь3,

54

(17)

Ь = Ь0 + еЬ1 + е2Ь2 + е3Ь3, У = еУ + е2У2 + е3У3

(1) 2 Ы2 = ащ + 2щ-\/1 — щм>{;

(1) 2 Ы3 = 2а щи2 + щ V + 2щ\т 2 + 2й2у1 — щм> 2 — и2Ч^

#22) = —#21); Ж3(2) =—#31);

#23) = —Щ1М{; Ы33 ) = —ЩЧ! 2 — й^у.

Решения систем первого (18) и второго (19) приближений: Ь 0У = 0 и Ь 0У2 = N2, имеют вид

У = М(1)А ехр / (кх0 - юг?о) + к.с.; (24)

У2 = М(2)А2 ехр 2/ (кх0 - юг?0) + к.с.,

(25)

и сгруппируем члены при одинаковых степенях е,

ограничиваясь в

61 Ь*Ь 0 У = 0;

62: (Ь*Ь 1 + Ь*Ь0) У + Ь*Ь0У2 = Ь^2;

83: (Ь*Ь2 + Ь*Ь1 + Ь*Ь0) У

(Ь*Ь1 + Ь*Ь 0) У + Ь*Ь 0У = Ь*^ + Ь^ 2.

(18)

(19)

(20)

А. 5 + + 82 -

дх дх2 дх1дх0

4 + 2^2-

5х1 дх0дх2)

(22)

Разложение элементов матриц L и L* выполнено в Приложении. Нелинейные члены в (12), (21)

где

Очевидно, что Ь3 и Ь*3 отсутствуют в выражениях, т.е. нет необходимости определять их, так же как и N1

N = б ^ 2 + 63N 3. (21)

Согласно методу многих масштабов

— - — + &— + &1 — ■ + + 8 2 _д_ •

д? д?0 д?1 д?2 дх дх0 дх1 дх2

М(1) = [т1 т2 т3]Т; т1 = 1, т2 = т21 + /т22, т3 = т31 + /т32;

М(2) = [[ М2 М3]Т ; М1 = М11 + /М12, М2 = М21 + /М22, М3 = М31 + /М32;

®2 + к2 Бу (1 + к2 Би)

т

21

т22 = -Юг

т

31

-а-

2 , /4 тл2

юг + к Бv

1 + к2 (Би - Бу)

2 , /4 г>2 ,

юг + к Б

1 + к Бч

юг

(1 + к 2Б„)

т32 = -а-

юг

юг

(1 + к 2Бч )

м _ И21И11 + И12И22

М11 =-2-2-

М41 + Й12

, М12 =

_ ^22^11 ^12^21 2.2 -^11 + ^12

М21 =

М22 =

-4к2Бу [2ЮгМ12 + (1 + 4к2Би) Мп] - 2Шг [2ШгМп - (1 + 4к2Би)Ми]

16к4 Б2 + 4ю2

4кБ [2югМ11 - (1 + 4к2Би) М12 ] - 2юг [2югМ12 + (1 + 4к2Би) М11]

16к 4Б2 + 4ю2

М31 = -

М32 =

(аМ11 + т31)(1 + 4к2БЧ) - 2юг (аМ12 + т32) 4ю2 + (1 + 4к 2Бч)2 '

2юг (аМ11 + т31) + (а М12 + т32 )(1 + 4к 2БЧ);

4ю2 + (1 + 4к2 БЧ)2 ;

ц11 = 4ю2 (3 -а) -1 + + 16ю2к2 (Би + Бv + Б4) - 64к6БББи -

- 4к2 (( + Би + Бч - 2аБ )-- 16к4 ((Би + ББ + ББ - БКБ„а),

ц12 = -8®3 + 2юг (3 - 2а) + + 8к2юг (2Би + 2Я + - Буа - ,

ц21 = 4®2 (1 + Ш - Шз1) - 4®гт22 +

+ 16к4 (А - Ш21 + Ш31) +

+ 4к2 [2®г (-^Ш22 - 2Б/Ш22 +

+ А,Ш32 + ДШ32) - А,, - Ш21],

Ц22 = 4®2 (2Ш22 - Ш32) + 2®г (1 + 2Ш21) + + 16к(Ш32 - 2Ш22 ) + + 8к2 К (Dv + А, - - АУШ31 +

+ 2А^21 + 2А/Ш21) - А^22] ;

решение для средних значений с |А|2 включает Ию = 0, М20 = -2 - 4Ш21, М30 = -2Ш31.

Секулярные члены при первой гармонике на основании второго приближения (19) находятся из

(Ь*Ь1 + Ь*Ь 0) ¥1 = 0.

(26)

Подстановка выражения (24) для первой гармоники в (26) ведет к

дА , ЗА/ , . \ п — («31 + Щ2 ) = 0,

д/1 дх1

(27)

где

_ а11а21 + а12а22 а _ а11а22 а12а21 .

= 2 2 , «32 = 2 2 ; а11 + а12 а11 + а12

2

а11 = -3юг + (3 - 2а) +

+ к2 (( + 2АУ + 2Аи - аА, - аАУ) +

+ к4 (Аи + А/Аи + А, А/),

а12 = -юг (6 - 2а) - 2к2юг (А, + + Аи), а21 = -2кюг (2Аи + 2Dv + 2А/ - аА, - аАУ) -- 4к3®г (А,, + АиА/ + А,А/),

«22 = 2к®2 ( + + А/) - 6кА/ -- 4к3 ((А/ + + АА - А/) -- 2к ( + + А/ - 2aDv).

Видно, что выражения для а31 и а32 (27) совпадают с производными неявно заданной функции ю = ю(к) (11):

дюг

'31

и а

32

(28)

дк дк Предполагая, что на кривой нейтральной устойчивости дю;/дк = О (б), уравнение (27) принимает вид

дА + д® дА = 0

(29)

д/1 дк дх1

Переходя к переменным /1, х1 - (дюг/дк)/1, учитывающим групповую скорость волнового пакета, находим, что

дА = 0,

(30)

т.е. изменения амплитуды на этом масштабе не происходит. Такой режим наблюдается и при реализации смены устойчивости при юг = 0.

Секулярные члены третьего приближения определяются выражением

|Ь=0ь 2 + Ь*Ь1 + Ь=Ь 0) ¥1 = ^N3,

где из N 3 берутся члены первой гармоники. Тогда получаем уравнение

дА + /дЮг + . дю) дА _ д/2 \ дк дк! дх2

(31)

п

, / V 12 Л „л

11 д юг , .д Ю;

2

21 дк2

■ +1-

дк2

д-4 = _ ( + 02 )2 А

дх1

(32)

с коэффициентами

дк

—1 - а0 (а51а61 + а52а62), дк

дк - а0 (а52а61 - а62а51) ,

——^ = 2а0 (а41а61 + а42а62), дк

д2—г 5к2

2а0 (а62а41 - а42а61);

Р1 =-а0 {аца61 + ау2а62), Р2 = -а0 (ау2а61 - а62а71);

а41 = ш ( + Dv + А/) -- 6к2 (DйDv + АА + А,А/ - DvDwa) -- 15к^АЖ - ( + А, + - 2аА,) + + 4шг к (( + А, + )(дшг/ дк) +

+ (дш^дк)2

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком