ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 1-2, с. 73-96
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
АНАЛИЗ ПРИБЛИЖЕНИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК К СЕЧЕНИЮ ЭЛЕКТРОН-ПРОТОННОГО РАССЕЯНИЯ
© 2015 г. Р. Е. Герасимов*, В. С. Фадин**
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, Новосибирск; Новосибирский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 13.08.2014 г.
Проводится анализ приближений, используемых при вычислении радиационных поправок к сечению электрон-протонного рассеяния. Исследуется расхождение между применявшимися при обработке экспериментов результатами работ Мо и Тсая и более поздними результатами Максимона и Тьена. Обсуждается влияние процедуры учета радиационных поправок на измеряемое отношение формфак-торов протона.
DOI: 10.7868/80044002715010080
1. ВВЕДЕНИЕ
Процесс рассеяния электрона на протоне является одним из главных инструментов для изучения внутренней структуры протона. Сечение этого процесса в борновском приближении выражается через квадраты электрического Ge и магнитного См формфакторов протона, являющихся функциями передачи импульса. В классических экспериментах по измерению формфакторов [1—8] электрон рассеивался на неподвижном протоне, причем в конечном состоянии регистрировался только рассеянный электрон; фиксировался угол его рассеяния и измерялась энергия. Отбор "упругих" событий проводился ограничением энергии рассеянного электрона снизу. Аналитическое выражение для радиационных поправок в такой постановке эксперимента впервые было получено Тсаем [9]. Некоторые погрешности этой работы были исправлены позднее в работе Мо и Тсая [10]. Результаты [10] использовались при обработке данных последующих экспериментов [11—22] с регистрацией рассеянного электрона.
Значительным улучшением результатов Мо и Тсая считается [23] более современный расчет радиационных поправок [24], выполненный Макси-моном и Тьеном. Наиболее существенны различия двух расчетов для вкладов диаграмм двухфотонно-го обмена и тормозного излучения. Кроме этого, есть разница в вычислении виртуальной поправки к протонной вершине.
E-mail: R.E.Gerasimov@inp.nsk.su
E-mail: V.S.Fadin@inp.nsk.su
Вычисления обеих групп авторов по необходимости являются приближенными, поскольку точный расчет радиационных поправок невозможен из-за неэлементарности протона и сильного взаимодействия его составляющих.
Интерес к теме радиационных поправок (инициировавший работу Максимона и Тьена) возник в начале 2000-х годов после появления результатов поляризационных экспериментов [25—27], согласно которым отношение формфакторов ОЕ/Ом падает с ростом передачи импульса. Такое поведение находится в явном противоречии с данными, полученными ранее методом розенблютовского разделения ОЕ и Ом [28] в серии экспериментов с неполяризованными частицами [6—8, 11—22]. По данным розенблютовского разделения отношение ОЕ/Ом слабо зависит от передачи импульса. Для их проверки был проведен эксперимент с непо-ляризованными частицами в другой постановке, в которой фиксировался конечный протон [29]. Он также дал слабую зависимость ОЕ/Ом от передачи импульса и, таким образом, ещё более обострил возникшее после работ [25, 26] противоречие.
Одним из возможных объяснений этого противоречия считается недостаточно аккуратный учет радиационных поправок в экспериментах по измерению ОЕ и Ом методом розенблютовского разделения. Этот метод становится чрезвычайно чувствителен к радиационным поправкам при больших передачах импульса, поскольку относительный вклад Ое в сечение падает с ростом передачи. Ясно, что измерение ОЕ/Ом оказывается невозможным, когда погрешность вычисления
радиационных поправок становится больше этого вклада.
В настоящей работе мы анализируем расхождения между результатами Мо—Тсая [10] и Максимона—Тьена [24], используемые в этих расчетах приближения и точность, на которую можно рассчитывать в рамках этих приближений. Из-за противоречия между экспериментальными результатами для СЕ/См особый интерес представляют радиационные поправки, которые могли повлиять на это отношение. Наибольшая неопределенность связана с вкладами диаграмм двухфотонного обмена для упругого рассеяния и интерференции электронного и протонного тормозного излучения. Для удобства и полноты изложения мы приводим также и те поправки, в вычислении которых нет расхождений.
Во втором разделе приводятся используемые обозначения и даются необходимые определения. В третьем разделе рассматриваются виртуальные радиационные поправки, в четвертом — реальные. В Заключении кратко суммируются результаты проведенного анализа. В Приложениях даны детали вычислений петлевых интегралов, функций мягкофотонного приближения, двухфотонной амплитуды рассеяния электрона на точечном протоне и интегралов для вычисления реальных поправок.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначений: а = е2/(4п) & 1/137 — электромагнитная константа связи; т — масса электрона; М — масса протона;р1 = (е\, р1) ир3 = = (е3, Рз) — начальный и конечный 4-импульсы электрона; р2 = (М, 0) и р4 = (е4, р4) — начальный и конечный 4-импульсы протона (все компоненты 4-импульсов приводятся в системе покоя начального протона); д = р1 — р3 — передача импульса, О2 = —д2. Во всех последующих вычислениях масса электрона считается малой (если не оговорено противное): т2/е2, т2/(—д2), т2/М2 < 1. В упругом процессе имеем е^ = е1/п, где
П = 1 + (2е1/М) $т2(0/2),
Амплитуда упругого рассеяния в борновском приближении имеет вид
М1 = —
д2
(иРЗ ) (йтГм(д)йР2) , (2)
в котором вершина взаимодействия Гм(д) протона с виртуальным фотоном параметризуется двумя формфакторами:
Г"(д) = ^(д2)^ — F2(д2)
2ч ^ дV
2М
(3)
где = [7^] /2. Формфакторы F(1í2) связаны с электрическим и магнитным формфакторами
С
(е,М)
соотношениями:
2 СЕ(д2) + тСм(д2) РЛд) =-ГТ7-:
р2{д2) = (1^2)-0Е{д2)
(4)
1+г
где т = О2 / (4М2).
Использование (2) приводит к известной формуле Розенблюта [28] для дифференциального по углу вылета конечного электрона сечения, усредненного по поляризациям начальных и просуммированного по поляризациям конечных частиц:
(Ьо _ г2а2 со&2{в/2) (тк
4е2пвш4(в/2) е(1+ т):
(5)
где
е = (1 + 2(1+т ^2(в/2))-1 =
(6)
= 1 +
2т(1 + т)М2 е2 - Мт(2б1 + м)
1
аи = тС2м (д2) + еСЕ (д2).
(1)
в — угол рассеяния электрона. Инфракрасные расходимости, возникающие при вычислении радиационных поправок, регуляризуются введением массы фотона Л, которая считается малой по сравнению со всеми другими величинами размерности массы. Для выделения радиационных поправок, связанных с протоном, его заряд считается равным —Ze, где е — заряд электрона.
(7)
Величину аи называют "редуцированным сечением". При фиксированной передаче импульса оно остается функцией энергии налетающего электрона, что позволяет извлекать из экспериментальных данных отношение формфакторов. Зависимость а и от параметра е изображается прямой с наклоном С2е, пересекающей ось ординат в точке тС2м. Отношение С2е/С2м измеряется по наклону прямой, который уменьшается с ростом передачи импульса. Это же относится и к относительному вкладу Се в сечение. Поэтому определение отношения Се/См таким методом при больших передачах импульса чрезвычайно чувствительно к зависящим от е радиационным поправкам к сечению и становится невозможным, когда вклад Се в сечение (5) оказывается в пределах точности их вычисления.
Экспериментально наблюдаемым является сечение электрон-протонного рассеяния с излучением любого числа мягких недетектируемых фотонов.
В следующем за борновским приближении оно обычно представляется в виде
dae
'exp
dfi
(8)
где радиационная поправка 6 вычисляется как сумма поправки к сечению упругого процесса от виртуальных фотонов и поправки от излучения реального фотона, 6 = + 6геа1. Виртуальную поправку 6У1Г1 дает интерференция борновской амплитуды (2) с однопетлевыми амплитудами упругого процесса; реальная поправка 6геа1 обусловлена излучением одного фотона.
3. ВИРТУАЛЬНЫЕ РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
В виртуальную поправку дает вклад поляризация вакуума 6уас, поправки к электронной и протонной вершинам (6^ег1ех и 6^ег1ех соответственно) и диаграммы двухфотонного обмена 62т:
6у1г1 = 6уас + 6уег1ех + 6рег1ех + 627 • (9)
3.1. Поляризация вакуума и поправка к электронной вершине
Поправка от поляризации вакуума 6уас равна удвоенному поляризационному оператору V(д2):
6уас = 2Р (д2). (10)
Выделяют лептонный (электронный, мюонный, тау-лептонный) и адронный вклады в поляризацию вакуума:
V(д2) = Ре(д2) + Vм(д2) + V(д2) + V(д2). (11)
Однопетлевой лептонный вклад в поляризацию вакуума Рг(д2), I = (рис. 1), хорошо известен:
X ln
4m2 2m
L q2 (1+
4 mf
-J 3g2
X
(12)
Для электронного вклада при —q2 ^ m2 имеем
Pe (q2) =
a
п
ln
m
(13)
Мо и Тсай в работе [10] учитывали только этот вклад. Впоследствии наряду с электронным учитывались также мюонный и тау-лептонный вклады, а также вклад адронов (например, в сравнительно недавнем эксперименте в БЬАС [21]). Адронный вклад Рн (д2), включающий в себя эффекты
Mv
Рис. 1. Диаграмма с лептонной поляризацией вакуума.
Me
Рис. 2. Диаграмма с поправкой к электронной вершине.
сильного взаимодействия, нельзя найти из первых принципов. Значение Рн(д2) при отрицательных значениях д2 восстанавливается по дисперсионному соотношению из обработки экспериментов по аннигиляции е+е- в адроны.
Выражение для поправки к электронной вершине (рис. 2) широко известно в литературе. В пределе —д2 ^ т2 соответствующая амплитуда Ме факторизуется:
a
Ме = — I - К{pup3) + K(pupi) +
(14)
3,
+ -1п
m2
— 2 M1.
Мы придерживаемся обозначений из статьи Тсая [9]:
K (Pi ,Pj ) = (Pi • Pj )
dy
P\
ln
Pjt A2
(15)
где py = piy + pj(1 — y). Явные выражения для этих функций выписаны в Приложении 2. Соответствующий вклад от электронной вершины в виртуальные поправки равен:
a (
¿vertex = - ~ K(pi,p3) + K(Pl,Pl) + (16) п \
2
q
1
2
q
+ - 111
m2
-2
Таким образом, с учетом дополнения о вкладе тяжелых лептонов и адронов в поляризацию вакуума подходы Максимона—Тьена и Мо—Тсая совпадают в этой част
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.