Письма в ЖЭТФ, том 94, вып. 10, с. 832-837
© 2011г. 25 ноября
Анализ природы пиковой структуры подзон Хаббарда с помощью
квантового метода Монте-Карло
И. С. Кривенко+*, А. Н. Рубцовf + Физический факультет, МГУ им. Ломоносова, 119992 Москва, Россия * Centre de Physique Tbeorique, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France Поступила в редакцию 18 октября 2011 г.
В работе показано, что описание деталей электронных спектров, получаемых при помощи связки динамической теории среднего поля (DMFT), квантовых методов Монте-Карло (QMC) и метода максимальной энтропии (MAXENT), можно существенно улучшить, заменив последний на процедуру оптимальной регуляризации аналитического продолжения функции Грина на ось реальных частот. Использование этого метода позволило восстановить пики в структуре хаббардовских подзон, стартуя с QMC-данных, с максимальной погрешностью на уровне Ю-2 — Ю-3. Благодаря универсальности метода QMC оказалось возможным посредством варьирования гибридизации определить, какие именно особенности гибриди-зационной функции ответственны за формирование структуры хаббардовских подзон. Показано, что прямая связь между пиковой структурой подзон и центральным Кондо-пиком отсутствует. Полученный результат свидетельствует в пользу зарядовой природы ответственных за формирование пиковой структуры резонансов.
Существенный прогресс, достигнутый в последнее время в физике структур и материалов с сильными электронными корреляциями, связан прежде всего с использованием численных методов и комбинированных численно-аналитических подходов. Прежде всего речь идет о связке динамической теории среднего поля (ИМИ?) [1] с семейством квантовых методов Монте-Карло (С^МС) [2], позволяющей на количественном уровне рассчитывать электронные свойства сильно коррелированных материалов, в том числе с использованием реалистических многоорбитальных моделей [3]. Стохастические алгоритмы С^МС в этой схеме используются для решения примесной задачи, действие которой описывает атом, гибридизованный гауссовым окружением. Функция гибридизации вычисляется самосогласованным образом. Основными преимуществами методов С^МС в этой ситуации являются универсальность (решение может быть найдено для произвольной функции гибридизации в достаточно широком диапазоне температур) и приемлемая ресурсоемкость. С другой стороны, современным алгоритмам С^МС свойственен и существенный недостаток. Он связан с тем, что расчеты принципиально проводятся во мнимом времени, т.е. их результатом является электронная функция Грина на частотах Мацубары. Сама по себе схема самосогласования БМГТ может быть сформулирована на мацубаровских частотах замкнутым образом. Однако определение физически значимого электронного спектра на оси реальных частот требует использова-
ния той или инои процедуры аналитического продолжения. Последняя задача является в математическом смысле плохо обусловленной. Это обстоятельство в сочетании со свойственным стохастическим алгоритмам сравнительно высоким уровнем шума полученных результатов приводит к серьезным проблемам при анализе электронных спектров.
Базовой моделью метода БМГТ является одно-зонная модель Хаббарда с половинным заполнением, гамильтониан которой имеет вид
г
я = с/£
1' 1"
"it - 2
£
Ш' ) Ier
C\crCj'c
(1)
Первое слагаемое здесь описывает кулоновское отталкивание электронов с противоположными спинами на узле, а второе - перескоки электронов между соседними атомами (И - число соседей атома на решетке). Множитель перед вторым слагаемым выбран таким образом, чтобы при изменении размерности системы (и соответственно, числа соседей) ширина затравочной зоны проводимости оставалась бы постоянной.
В рамках БМГТ задача об электронных свойствах решеточной модели вида (1) сводится к одноузельной примесной задаче Андерсона с действием
(2)
где Sat действие одиночного изолированного атома с кулоновским отталкиванием U, а гибридизация Д
должна быть определена самосогласованным образом. В пределе бесконечно большого числа соседей на решетке Бете [1] корреляции локальны в пространстве и переход от решеточной задачи (1) к примесной (2) оказывается точным. Поэтому для случая N оо схема БМГТ не содержит приближений. Гибридизация оказывается равной
Ас = (3)
где дш - функция Грина примесной задачи (2). Технически поиск решения производится итеративным образом: на каждой итерации вычисляется функция Грина действия (2) с гибридизацией, полученной на предыдущем шаге. Такая схема обеспечивает хорошую сходимость во всей области параметров. Эффективность и точность расчета определяются программой (солвером), предназначенной для численного нахождения функции Грина задачи (2).
Основные черты решения однозонной модели Хаббарда при N ^ оо хорошо известны. С увеличением константы кулоновского взаимодействия II при достаточно низких температурах электронный спектр системы показывает две широкие хаббардов-ские подзоны, расположенные в окрестности энергий ±{7/2. При 11 = (4.7—6.0)< система испытывает переход первого рода и в спектре возникает щель, соответствующая формированию фазы моттовского диэлектрика. Однако во всей ферми-жидкостной фазе вплоть до точки перехода величина спектральной плотности на уровне Ферми фиксирована следствием из теоремы Латтинжера и локальности собственно-энергетической функции. Это соответствует наличию имеющего кондовскую природу узкого спектрального пика вблизи уровня Ферми, ширина которого при подходе к точке перехода обращается в нуль. Типичный вид спектра вблизи перехода приведен на рис. 1. Оговоримся, что описанная "трехпиковая" структура плотности состояний характерна именно для предела бесконечной размерности. Например, для двумерных систем центральный пик полностью подавлен из-за пространственной нелокальности корреляций.
Несмотря на простоту, фундаментальность и достаточно долгую историю исследований, проблема описания однозонной модели Хаббарда при N оо до сих пор содержит открытые вопросы, связанные с наличием так называемой пиковой структуры хаб-бардовских подзон. Речь идет о наличии в хаббардов-ских подзонах узких пиков, расположенных на границе формирующейся запрещенной зоны. Пики присутствуют только в металлической фазе при достаточно больших величинах II и полностью исчезают при пе-
Е
Рис. 1. Плотности состояний однозонной модели Хаббарда с половинным заполнением на бесконечномерной решетке Бете при U = 2.4, t = 0.5. Сплошная линия -результат DMFT + CTQMC + оптимальная регуляризация (температура Т = 0.01). Пунктир - результат D-DMRG для нулевой температуры, полученный в работе [5]. Тонкая горизонтальная линия на уровне 2/тг показывает значение а(0), диктуемое следствием из теоремы Латтинжера
реходе в фазу моттовского изолятора. Впервые на существование данной структуры было, по-видимому, указано в работе [4], а надежно ее присутствие было установлено с использованием D-DMRG [5] - практически точного метода, позволяющего определять спектр при нулевой температуре непосредственно на оси действительных частот (полученный в этой работе спектр также приведен на рис. 1). Вопрос о физической природе указанных пиков до сих пор открыт. В работе [5] высказано предположение о том, что тонкая структура хаббардовских подзон связана со взаимодействием квазичастиц центрального "кон-довского" пика с теми или иными коллективными возбуждениями. Это косвенно подтверждается тем обстоятельством, что спектральный вес центрального пика и пиков тонкой структуры при приближении к точке перехода уменьшается одинаковым образом [6]. Однако строгого обоснования природы появления пиковой структуры подзон до сих пор представлено не было. Нет даже ясности в вопросе о том, связано ли ее появление со спиновыми или зарядовыми степенями свободы многоэлектронной системы.
Описание тонкой структуры хаббардовских подзон при конечной температуре с использованием QMC-солверов наталкивается на указанные в начале статьи сложности, связанные с плохой обусловленностью процедуры аналитического продолжения
с мацубаровских на реальные частоты. Типичная случайная ошибка данных С^МС на мацубаровских частотах оказывается порядка 3 • Ю-3 или хуже. (Улучшение точности требует значительного роста вычислительных ресурсов и предъявляет повышенные требования к программной реализации С^МС.) Общепринятая в настоящее время процедура, использующая метод максимальной энтропии (МАХЕ№Г) [7], в этом случае вовсе не воспроизводит обсуждаемой структуры: восстановленный спектр содержит только сглаженные подзоны. Необходимо отметить, что описанные проблемы многократно возрастают в случае выхода за пределы модели Хаббар-да и рассмотрения многоорбитальных моделей коррелированных материалов, делая описание деталей электронного спектра вдали от уровня Ферми в рамках подхода ПМГТ—(^МО—МАХЕХТ практически невозможным.
В настоящей работе показано, что описание деталей электронного спектра можно существенно улучшить, заменив МАХЕХТ на оптимальную с точки зрения минимизации погрешности результата процедуру регуляризации. Использование предложенного нами метода оптимальной регуляризации позволило восстановить пики в структуре хаббардов-ских подзон, стартуя с С^МС-данных, с погрешностью на уровне 10~2—10~3. Использование С^МС -"универсального" метода, надежно работающего при произвольной гибридизации, - в этом случае позволило посредством варьирования гибридизации определить, какие именно особенности гибридизационной функции ответственны за формирование структуры хаббардовских подзон и, таким образом, прояснить ее физическую природу. Показано, что неожиданным образом прямая связь между пиковой структурой подзон и центральным Кондо-пиком отсутствует. Полученный результат свидетельствует в пользу зарядовой природы ответственных за формирование пиковой структуры резонансов.
Задача аналитического продолжения сводится к решению линейного интегрального уравнения
Г
</ —<
а(е)
гш
йе = д(ш)
(4)
для спектральной плотности а(е), где е - аргумент на оси реальных частот. Если ввести пару ортогональных базисов и разложить по ним функции д(ш),а(е), интегральное уравн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.