ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2007, том 43, № 2, с. 101-110
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
АНАЛИЗ РЫНКА НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ КОИНТЕГРАЦИИ
© 2007 г. Ал. Ю. Рогачев, Ан. Ю. Рогачев
(Москва)
Анализ макроэкономических данных почти всегда сталкивается с проблемой нестационарных рядов и рядов, имеющих общую динамику. Последние исследования показали, что наряду с привычными классическими методами Бокса-Дженкинса и Энгла-Грейнджера существует более продуктивный и адекватный способ анализа нестационарных рядов, который, согласно идеи теории коинтеграции, позволяет получить функциональную зависимость на основе нестационарных рядов. В данной работе рассматривается метод Йохансена для нахождения коин-теграционного пространства, приводится пример использования метода для анализа российского финансового рынка. Авторский подход состоит в практическом применении коинтеграцион-ного аппарата, который мало известен и практически не применяется экономистами в России.
За последние десятилетия теория и практика финансов во все большей степени стала опираться на количественные методы математики, статистики и эконометрики (последняя дисциплина выступает лишь как инструмент для проверки правильности теории экономического моделирования). Это привело к более частому использованию количественного анализа при изучении поведения финансовых рынков1. Расширенное применение количественного анализа в последнее десятилетие обусловлено распространением персональных компьютеров в среде академических и финансовых профессионалов, а также ускоренной эволюцией вычислительной техники, что позволяет работать с крупными массивами данных. С помощью вычислительной техники можно моделировать множество вариантов развития какой-либо ситуации, тем самым стало возможным проводить экономические эксперименты в неизменных условиях. Параллельно и отчасти по этим же причинам появился новый раздел экономической литературы, посвященный управлению рисками и таким производным финансовым инструментам, как опционы, фьючерсы и свопы. Это связано с развитием новых сфер финансовой практики: работой с производными ценными бумагами, управлением финансовыми рисками, количественным анализом инвестиций. Кроме того, на текущий момент в мире сложилась ситуация, когда большие массы людей включаются в финансовый анализ с целью повысить уровень своего благосостояния, что вызывает у них активный интерес к количественным методам.
Анализ макроэкономических эмпирических данных почти всегда сталкивается с проблемой нестационарных рядов и/или рядов, имеющих тренд. Примером таких рядов являются доход, потребление, спрос на денежную массу, уровень цен, торговые потоки и биржевые показатели. Но даже после исключения тренда ряд может оставаться нестационарным. Опыт подсказывает, что для работы с такими данными необходимо использовать разности и другие преобразования (например, поправку на сезонные колебания), для того чтобы добиться их стационарности и воспользоваться уже известным и хорошо изученным аппаратом (ARIMA). Однако последние исследования показали, что существует более интересный и насыщенный выводами подход к анализу нестационарных рядов, известный как теория коинтеграции.
В основе понятия коинтеграции лежит идея о том, что в некоторых случаях отсутствие стационарности у многомерного процесса вызывается общим стохастическим трендом2, который может быть устранен путем взятия определенной линейной комбинации компонент процесса, в результате чего эта линейная комбинация будет стационарной. Но помимо чисто математической
1 Финансовый рынок представляет собой совокупность рыночных институтов, направляющих поток денежных средств от собственников к заемщикам.
2 Стохастический тренд - это модель вида ^ , где - независимые одинаково распределенные случайные величины с постоянным математическим ожиданием и постоянной дисперсией.
красоты данного вывода такая комбинация позволяет бороться с ложной регрессией и связывать причинно-следственной связью нестационарные показатели изучаемых объектов.
В экономике и других приложениях статистики авторегрессионные процессы давно применяются для описания стационарных явлений, и идея описывать процесс, исходя из предшествующих значений, оказалась плодотворной для составления прогнозов. Если же мы хотим выявить связи между значениями переменных, относящихся к одному и тому же моменту времени с целью понять взаимодействие экономических факторов, то получим гораздо больше информации, если будем сопоставлять значения той или иной переменной с одновременными с ней значениями других переменных, а не с ее же прошлыми значениями. Можно сказать так: если нас интересуют соотношения между разными переменными, то следует рассматривать линейные комбинации значений, относящихся к одному моменту времени; если же нас интересует динамика эволюции переменных, то мы должны исследовать зависимости от прошлых значений.
Коинтеграцию можно интерпретировать в прикладном анализе с позиции теории макроэкономики. Многие (если не все) экономические показатели имеют нестационарный характер. Однако в макроэкономике существует много устойчивых соотношений, куда в качестве факторных входят нестационарные ряды. Устойчивый характер этих соотношений говорит об их стационарности. Таким образом, коинтеграция отображает строгую математическую формулировку наблюдаемой устойчивости, а также представляет собой инструмент, который позволяет проверять выдвигаемые макроэкономические гипотезы, в случае же принятия такой гипотезы, -определить количественную оценку выдвигаемых гипотез.
Дадим несколько определений, некоторые из которых уже использовались выше.
Определение 1. Нестационарный процесс называется интегрированным первого порядка и обозначается 1(1), если его первые разности есть стационарный процесс.
Стационарный процесс обозначают 1(0).
Определение 2. Если /»-мерный процесс Xt - интегрированный первого порядка и линейная комбинация в Ф 0 будет стационарной, тоXt называется коинтегрированным процессом, а в - коин-тегрирующим вектором.
Определение 3. Максимальное число линейно независимых коинтегрирующих векторов называется рангом коинтеграции, а порожденное ими подпространство - пространством коин-теграции.
Данный список определений не является полным, он лишь отражает механизм используемого инструментария анализа экономических процессов (и не только их). В последнее время коинтеграция находит применение и в других прикладных отраслях (медицина, физика)).
Рассмотрим пример. Пусть дан трехмерный процесс zt вида:
t t
z1t = j + E2t, z2t = J- j + £3t, Z3t = E4t, t = 0, •••> T•
j =1 j =1
Здесь Ey - независимые одинаково распределенные случайные величины с постоянным математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Процесс zt нестационарен, однако его первая разность стационарна. Следовательно, в рамках первого определения данный процесс интегрированный первого порядка. Если мы рассмотрим линейную комбинацию вида z1t - 3 z2t, то она также является стационарной. Данное выражение получается, если мы умножим наш процесс zt на вектор (1, -3, 0). Согласно второму определению данный вектор есть не что иное, как коинтеграци-онный вектор, который входит в базис коинтеграционного пространства.
Концепция коинтеграции впервые была представлена в (Granger, 1981) и разработана дальше в (Engle, Granger, 1987; Engle, Yoo, 1987, 1991; Phillips, Ouliaris, 1990; Stock, Watson, 1988; Phillips, Johansen, 1988, 1991, 1994; и др.).
Работая в рамках двумерного процесса, по крайней мере с одним вектором коинтеграции Энгл и Грейнджер (Engle, Granger, 1987) предложили оценивать коинтеграционный вектор Z = = (1, Z2)T путем регрессии первой компоненты z1t t рассматриваемого процесса zt на вторую компоненту z2, t, используя метод наименьших квадратов (OLS), а затем проверить, будут ли остатки
3 Эффект, когда привычные показатели адекватности регрессионной модели (коэффициент детерминации, /-статистика, ^-статистика) указывают на наличие связи, где ее на самом деле нет.
этой регрессии £t содержать единичные корни4, используя расширенный тест Дикки-Фуллера (ADF-тест) для вспомогательной регрессии остатков.
zit = ^2z2t + £t, et = yet-i+ ut.
Нулевая гипотеза состоит в том, что вспомогательная регрессия имеет единичные корни, следовательно, z1t t и z2, t некоинтегрированны, так как линейная комбинация первой и второй компонент есть не что иное, как вектор остатков et, который и проверялся на наличие единичных корней. Статистика Энгла и Грейнджера является обычной t-статистикой для проверки того, что ф = 1, однако ее распределение будет отличным (даже асимптотически) от распределения DF-статистики.
Филлипс и Ольюрис (Phillips, Ouliaris, 1990) проводили свои ислледования на этой же основе, но вместо ADF-теста на наличие единичного корня применяли собственный тест (Phillips, 1987; Phillips-Perron, 1988). Парк предложил тест для единичных корней и коинтеграции, используя подход дополнительных переменных при помощи регрессии OLS остатков регрессии коинтеграции на множество времени и тестируя, будут ли коэффициенты незначимо отличаться от нуля. Подобная идея была использована (Bierens, Guo, 1993) для тестирования тренд-стационарности, подразумевающую ту же гипотезу единичного корня. Однако подобно подходу Парка требуется последовательность оценок долговременного изменения ошибок истинной модели коинтеграци-онной регрессии при помощи оценок Невью-Веста, которая требует существенных жертв асимптотической мощности. Также проводились тесты Хансена на простой коинтеграционной регрессии. В обоих тестах работают варианты оценок инструментальных переменных методом Фил-липса и Хансена (Phillips, Hansen, 1990). Босвийк рассматривал подходы к одномерным уравнениям и системам, используя структурные одиночные уравнения как основу для коинтегра-ционного анализа.
Во всех вышеперечисленных подходах тестируются нулевая или альтернативная гипотезы о коинтеграции, но если тест указывает на наличие коинтеграции в системе с тремя или более переменными, мы все еще не знаем, как много линейно независимых коинтег
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.