ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 73. Вып. 6, 2009
УДК 531.36
© 2009 г. А. А. Зобова, А. В. Карапетян АНАЛИЗ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ВОЛЧКА ТИП-ТОП
Рассматривается движение волчка тип-топ по горизонтальной плоскости при учете трения скольжения в рамках модели Контенсу. Волчок моделируется двумя шаровыми сегментами, жестко связанными стержнем, направленным вдоль общей оси симметрии этих сегментов. Размеры шаровых сегментов и стержня подобраны так, что при отклонении оси симметрии от восходящей вертикали до некоторого критического значения волчок опирается о плоскость одним сегментом, а при больших отклонениях — другим сегментом (при критическом значении — двумя сегментами). В разных областях конфигурационного пространства движение волчка описывается разными уравнениями, а на границе этих областей движение сопровождается ударами. Строится эффективный потенциал системы, изучается характер его критических точек. Для стационарных движений построены бифуркационные диаграммы Пуанкаре—Четаева и обобщенные диаграммы Смейла. Кривые прецессионных стационарных движений терпят разрыв на границе указанных областей.
Волчок тип-топ (или китайский волчок) состоит из шарового сегмента большого радиуса и цилиндрической ножки на плоской части сегмента. Положение равновесия волчка с опорой на сегмент большого радиуса (ножкой вверх) устойчиво, но если быстро закрутить его в этом положении, то происходит быстрый переворот волчка на ножку; затем скорость вращения падает и волчок постепенно возвращается к опоре на шаровой сегмент. Была исследована [1] устойчивость вращений с вертикально расположенной осью динамической симметрии. Был дан [2] полный анализ существования и устойчивости всех стационарных движений на основе модифицированной теории Рауса, причем волчок моделировался динамически симметричным шаром со смещенным центром масс. Проведено [3] глобальное качественное исследование динамики такой модели волчка на плоскости с трением скольжения и трением верчения. Основное отличие рассматриваемой здесь задачи от исследованной ранее [3], заключается в следующем: волчок моделируется телом, ограниченным невыпуклой поверхностью, состоящей из двух шаровых сегментов (меньший сегмент моделирует ножку); конфигурационное пространство разделено на две области, в которых движение тела описывается разными уравнениями, а на границе этих областей движение сопровождается ударами. Метод исследования аналогичен использованному ранее [3]. Полученные в данной статье аналитические результаты дополняют проведенные численные исследования [4] этой задачи.
1. Постановка задачи. Рассмотрим тяжелое твердое тело на горизонтальной плоскости. Тело (назовем его волчком) состоит из двух шаровых сегментов радиусами r1 и дополняющих друг друга в том смысле, что если первый сегмент образован вращением дуги 2(п - а) окружности вокруг оси симметрии, то второй — вращением дуги 2 а; оба сегмента жестко связаны стержнем, проходящим через их центры и 02 (фиг. 1).
Геометрические параметры волчка a, rb r2 и l (l — расстояние между центрами сегментов 01 и 02) связаны соотношением
l = (r - r2)/cos a
9 е [0, п - а) 9 е (п - а, п] 9 = п - а
Фиг. 1
Для определенности полагаем, что r\ > Г2, а е (0,п/2). При этом волчок опирается о горизонтальную плоскость первым шаровым сегментом, если 0 е [0, п-а ), вторым, если 0е (п - а, п]; волчок опирается о плоскость двумя точками, если 0 = п - а. Здесь 0 — угол отклонения оси симметрии (стержня) от восходящей вертикали.
Пусть центр масс S волчка лежит на его геометрической оси симметрии ОО2 на расстоянии q от точки Oj вне отрезка ОО2; при этом O2S = С2 = l + Cj. Предположим, что эта ось является также осью динамической симметрии волчка, и через Jj, J2 = Jj и J3 обозначим главные центральные моменты инерции волчка, а через m — его массу.
Введем безразмерные параметры волчка
ае (0, я/2), b = cj/rj е (0,1), b2 = С2/Г2 е (1, + ю)
a = Jj/J3 е Ц/2, + <»)
При этом
r2 \ + focosа , l b2 - b „
— =-1-< j, — --2-1— > 0
Г j + b2Cos a r j + b2 cos а
Пусть e = OQQ/OQ^ — орт оси симметрии волчка, y — орт восходящей вертикали, v — скорость центра масс волчка, ю — его угловая скорость. Обозначим cos 0 = (e, y ) через х е [ - !, !]. При x e Aj = ( - cos a, j] волчок опирается о плоскость первым сегментом, а при x e А 2 = [-j, - cos а) — вторым. Пусть C = Ci — точка опоры волчка о плоскость (i = j при x e Aj и i = 2 при x е Д2). Тогда
гi = SC = -r¡y + c¡e = -r(y - b¡e ), i = j, 2
2. Уравнения движения волчка и их свойства. Полагая, что в точке опоры волчка о плоскость на него помимо нормальной реакции действуют силы сухого трения в рамках модели Контенсу (т.е. пренебрегается моментом трения верчения), выпишем уравнения движения волчка, отнесенные к его главным центральным осям инерции,
mV + [ю, mv] = (N - mg)y + F, Job + [ю, Jro] = [г, Ny + F]
Y + [ю, Y ] = 0, (v + [ ю, г], y ) = 0
где J = díagJ Jj, J3) — центральный тензор инерции волчка, N — нормальная реакция в точке опоры, F — сила трения скольжения.
Первое уравнение (2.1) выражает теорему об изменении импульса волчка, второе — теорему об изменении кинетического момента относительно центра масс, третье — условие постоянства вектора y в абсолютной системе отсчета, четвертое — условие безотрывного движения шара. Если сила трения задана в виде F = F (v, ю, у, N), то система (2.1) замкнута относительно переменных v, ю, y и N.
Уравнения (2.1) описывают движение волчка при x ф - cosa: если x е A ¡, то N = N¡, г = г,, F = F; (i = 1, 2). При x = - cosa следует изменить правые части первых двух уравнений (2.1) на соответственно
2 2 -mgY + ^(NiT + Fi), X([г* Ny + F,]
i=1 Í=1
и рассматривать вместо одного последнего уравнения (2.1) (i = 1 или i = 2) два таких уравнения (i = 1 и i = 2).
Пусть x ф - cosa, тогда скорость скольжения волчка определяется соотношением u = v + [ю, г] (г = г, при x е A¡, i = 1, 2). При этом [1,5] (F, u) < 0, если u ф 0, и F = 0, если u = 0. Таким образом, полная механическая энергия волчка — невозрастающая функция:
H = 1 mv2 + ^(Jro, ю) - mg(j, у), H = (F, u) < 0 (2.2)
причем энергия H на движениях без скольжения постоянна и убывает на движениях со скольжением.
Рассмотрим "нормированную" проекцию K кинетического момента Jю волчка на радиус-вектор г точки его опоры о плоскость (при x ф cosa)
K = —(J ю, г) r
и ее производную по времени в силу системы (2.1)
K = 0 (2.3)
Отсюда следует, что при x ф cosa в соответствующей области x е A, (i = 1, 2) сферы Пуассона S2 = {у е К3 : у2 = 1} существует интеграл Желле
K¡ = k¡ = const, i = 1, 2 (2.4)
Пусть теперь x = - cosa (при этом (г1, у) = (г2, у)). Тогда формулы (2.2) и (2.3) примут вид
H = X(Fi, ui), Kt = -1 Х(г6 [г,, NjY + Fj]); i, j = 1, 2; i * j (2.5)
i r j
Таким образом, при x = - cosa интегралов вида (2.4) нет: K¡ ф 0 (i = 1, 2). При этом (см. второе уравнение (2.1))
rK1 - r2K2 = rr2(b2 - b)([y, e], F1 + F2)
3. Анализ динамики волчка. При всех x ф - cos a можно ввести эффективный потенциал [2, 3, 6]
V = minH(v, ю, уy)=k = V(Y, k)
Он имеет вид [3]
к 2
V(y, к) = mgr - mgc(у, e) + ——; /(у) = (J(y - be), (у - be))
2J(Y)
и определен на сфере Пуассона S2 за исключением параллели (у, e) = - cos а. Здесь, как и выше, все величины, определенные при x = (у, e) е Ai, имеют индекс i = 1, 2.
Таким образом, эффективный потенциал V( у, к) в разных частях сферы Пуассона определяется разными формулами:
V = V{ = mgr[1 + bifi(x, к)], x е А¿
fí =—x + 2" 2/3mgc¡[a( 1 - x ) + (x - bi) ]
Согласно модифицированной теории Рауса [2], критическим точкам функций f(x): Ai ^ R соответствуют стационарные движения волчка, причем точкам минимума — устойчивые, а точкам максимума — неустойчивые движения [3].
Функции fi и /2 всегда имеют критические точки x = 1 и x = -1 соответственно, отвечающие равномерным вращениям волчка вокруг вертикально расположенной оси симметрии (при x = 1 волчок опирается о плоскость сегментом сферы большего радиуса, при x = -1 — меньшего), и при соответствующих значениях параметра k¡ (постоянной интеграла Желле) критические точки x0 е (-1,1), отвечающие прецессионным
движениям волчка. Последние определяются из уравнения f'(x) = 0, которое можно представить в виде
2 k2 [a(1 - x2) + (x - b,)2]2 , ч
Pi =-i— = —--—1-= 9¿(x) (3.1)
/mgc¡ bi - (1 - a )x
Характер критических точек x = ± 1, а также количество и характер критических точек x0 е (-1,1), удовлетворяющих уравнению (3.1), существенно зависят как от параметров волчка a и bi, так и от значений параметров p2. (Отметим, что функции 9¿(x) определены на интервалах Ai соответственно.) Далее изложим подробно исследование поведения функций 9¿(x) в зависимости от параметров (для простоты изложения опустим временно индекс i ).
4. Исследование уравнения прецессионных движений. Заметим сначала, что, так как в уравнении (3.1) слева стоит неотрицательная величина, прецессионные движения существуют лишь на той части интервала [ -1, 1 ], где функция ф (x) принимает неотрицательные значения. Уравнение асимптоты функции ф(x) есть x = xas = b/(1 - a). Асимптота лежит в полосе Д1 х [, если b < cosa(a - 1) (тогда xas < 0, и положительные значения функция ф (x) принимает при xas < x < 1) или если b < 1 - a (в этом случае xas > 0, и положительные значения функция ф(x) принимает при -1 < x < xas). Асимптота лежит в полосе Д2 х [, если cosa (a - 1) < b < a - 1 (и ф (x) > 0 при xas < x < - cos а). При этом, если b < cosa(a - 1), то на всем интервале Д2 функция ф(x) принимает отрицательные значения; если b > a - 1, то на всем интервале Д2 функция ф (x) положительна.
Исследуем характер монотонности функции ф (x). Производная этой функции имеет вид
Ф'М = a(1- Х2) + (Х - f y(x)
(b- (1 - a)x)2 y(x) = -3(1 - a)2x2 + 6b(1 - a)x + (a - ab2 - 3b2 - a2)
Ясно, что первый сомножитель на интервале (-1,1) всегда положителен. Рассмотрим поведение сомножителя y(x) на этом интервале. График функции y(x) — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке xas. Заметим, что j(xas) = a(1 - a - b2),
следовательно, для значений параметров a > 1 - b функция y (x) отрицател
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.