ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2009, том 35, № 2, с. 114-128
УДК 524.7
АНАЛИЗ ТРЕХМЕРНОГО ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
© 2009 г. В. В. Витязев*, А. С. Цветков**
Санкт-Петербургский государственный университет
Поступила в редакцию 02.04.2008 г.
Статья посвящена применению векторных сферических функций к задачам звездной кинематики, использование которых позволяет выявить все систематические составляющие в поле скоростей звезд, не привязываясь к конкретной физической модели. Сопоставление коэффициентов теоретического разложения уравнений определенной кинематической модели с наблюдательными данными может дать заключение об адекватности модели наблюдениям и выявить наличие систематических компонент, не описываемых данной моделью. Особенно хорошо аппарат векторных сферических функций подходит для анализа нынешних и будущих (например, GAIA) каталогов, содержащих все три компоненты вектора скорости: собственные движения по обеим координатам и лучевую скорость. В данной работе показано, что в собственных движениях звезд каталога HIPPARCOS имеются систематические компоненты, которые не могут быть интерпретированы в рамках линейной модели Огородникова—Милна. Этот же результат подтверждается и анализом лучевых скоростей этих звезд.
Ключевые слова: лучевые скорости, собственные движения звезд, сферические функции, астрометрия, звездная кинематика, структура Галактики, HIPPARCOS.
ANALYSIS OF THE THREE-DIMENSIONAL STELLAR VELOCITY FIELD USING VECTOR SPHERICAL FUNCTIONS, by V. V. Vityazev and A. S. Tsvetkov. We apply vector spherical functions to problems of stellar kinematics. Using these functions allows all of the systematic components in the stellar velocity field to be revealed without being attached to a specific physical model. Comparison of the theoretical expansion coefficients of the equations for a particular kinematic model with observational data can provide precise information about whether the model is consistent with the observations and can reveal systematic components that are not described by this model. The apparatus of vector spherical functions is particularly well suited for analyzing the present and future (e.g., GAIA) catalogs containing all three velocity vector components: the proper motions in both coordinates and the radial velocity. We show that there are systematic components in the proper motions of HIPPARCOS stars that cannot be interpreted in terms of the linear Ogorodnikov—Milne model. The same result is also confirmed by an analysis of the radial velocities for these stars.
PACS numbers: 95.10.Jk, 95.75.Pq, 95.80.+p, 98.10.+z, 98.35.-a
Key words: radial velocities, stellar proper motions, spherical functions, astrometry, stellar kinematics, Galactic structure, HIPPARCOS.
ВВЕДЕНИЕ
Появление массовых звездных каталогов собственных движений ШРРАНСОБ, ТусИо-2, иСАС-2, иБЫО В1.0 дает качественно новый материал для исследования кинематики звезд Галактики. Перспективы измерения высокоточных параллаксов, собственных движений и лучевых скоростей для многих сотен миллионов звезд,
Электронный адрес: ai@astro.spbu.ru
Электронный адрес: tsvetkov@AC1072.spb.edu
запланированные в проекте СА1А, являются побудительным мотивом для разработки новых методов кинематического анализа звезд.
Обычно изучение кинематики звезд основывается на получении методом наименьших квадратов оценок параметров моделей, описывающих компоненты поля скоростей звезд. Такой подход методически безупречен при условии полноты используемых моделей. В реальности мы никогда не можем включить в модель все явления, связанные с кинематикой звезд, то есть сделать модель полной с физической точки зрения. Существует достаточно
большое число альтернативных, более или менее сложных моделей поля скоростей звезд, однако сделать выбор между ними — непростая задача. Для ее решения можно предложить другой подход к построению моделей, основанный на представлении изучаемых данных с помощью полных ортогональных систем функций (Броше, 1966; Шван, 2001; Витязев, Цветков, 1989; Витязев, 1989, 1993; Цветков, 1997; Цветков, Попов, 2006). Такие модели являются полными (с математической точки зрения), то есть вся имеющаяся в наблюдательных данных информация может быть описана с помощью коэффициентов их разложения по функциям выбранного базиса.
Таким образом, формальные модели поля скоростей звезд позволяют сперва определить наличие систематических составляющих в собственных движениях и лучевых скоростях, и лишь затем приступить к выбору конкретной физической модели. Кроме того, сравнение теоретического разложения уравнений физической модели по выбранной системе ортогональных функций с коэффициентами, полученными по какой-либо выборке звезд, позволяет сделать вывод об адекватности принятой модели наблюдениям. В тех случаях, когда удается получить соответствия между параметрами физических и математических моделей, метод ортогональных представлений способен дать оценку физических параметров моделей, защищенных от искажений (смещений) со стороны явлений, не включенных в модель. По-видимому, впервые такой подход был проведен в работах авторов (Витязев, Цветков, 1989; Витязев, 1993) с использованием скалярных сферических функций.
В связи с этим нам представляется целесообразным применить для изучения кинематики звезд метод разложения их поля скоростей по системе трехмерных векторных сферических функций (далее ВСФ). Отметим, что в астрометрических задачах, связанных со сравнением каталогов, двумерные векторные функции впервые применили Миньяр и Морандо (1990) для представления систематических разностей каталогов HIPPARCOS и FK5. В работах Витязева и Шуксто (2004, 2005) этот подход был распространен на кинематический анализ только собственных движений звезд без учета их лучевых скоростей. Целью настоящей статьи является использование трехмерных векторных сферических функций для изучения полного поля скоростей звезд, компоненты которого определяются измерениями как собственных движений, так и лучевых скоростей звезд.
СКАЛЯРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сферические функции широко используются в различных областях математики и физики, их опре-
деление можно найти во многих источниках, например в (Арфкен, 1970). В нашей работе для них мы будем использовать следующее представление:
Knkp (I, Ь) = Rnk х
Xo(b), k = 0, p = 1,
Pnk(b) sin kl, k = 0, p = 0, Pnk (b)cos kl, k = 0, p = 1,
-Rnk
2n + 1
4n
/2 (ra-fc)! (га+fc)! ;
k> 0, k = 0,
где l и Ь — долгота и широта точки на сфере соответственно (0 < l < 2п; —п/2 < Ь < п/2), Pnk(Ь) -полиномы Лежандра (при k = 0) и присоединенные функции Лежандра (при k > 0), которые можно вычислить с помощью следующих рекуррентных соотношений:
2n - 1
Рпк{Ъ) = sin b-гРп-\,к(Ъ) -
n - k n+k-1
nk
Pn-2,k (Ь),
k = 0,1,...,n = k + 1,k + 2,...
(2k)! ku ■ cosK b,
Pkk(^) =
2kk!
,,, (2k + 2)! k .
Pk+i,k(b) = 2fc+i(fc + 1)!cos bsmb■
ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим в касательной плоскости к сфере систему взаимно ортогональных ортов е^, еь, ег соответственно в направлениях изменения долготы, широты и луча зрения. Используя определения векторных сферических функций, данные в (Арф-кен, 1970) или (Варшалович и др., 1975), введем радиальные Упкр, тороидальные Тпкр и сфероида-дьные Snkp векторные сферические функции посредством следующих соотношений:
Упкр(Ь Ь) = Кпкр(1, Ь)ег,
T
nkp
+ 1)
f dKnkp(l,h)
1 dKnkp (1,Ь)
cos Ь
dl
еь
S.
nkp
■sjn{n + 1)
1 dKnkp (1,Ь) dKnkp (1,Ь) n H--тг,-еь
cos Ь
dl
дЬ
1
x
1
X
X
Обозначим компоненты при единичном векторе e¡ как Tlnkp и Slnkp, а при единичном векторе eb —
соответственно Tbkp и Sbkp:
Tnkp = Tnkpel + Tnkpeb,
Sn kp = Snkpel + Snkpeb ■
Эти компоненты определяются следующим образом:
rpl _ Rnk
ПкР~ у/ф + Т)
'Pn,i(b), k = 0, p = 1, (-k tg bPnk(b) + Pn,k+i(b)) sin kl,
k = 0, p = 0, (-k tg bPnk(b) + Pn,k+i(b))cos kl,
k = 0, p = 1;
X <
Tb _
-L- л h>ir\
Rnk
nkp v^^TT) 0, k = 0, p = 1,
x \~7ШРпк(Ь) eos kl, kfO, p = 0 __fc_
eos 6
Rnk
+ ^ГьРпк(Ь) sin kl, kf 0, p = l;
Sn = íJnkp
y/n(íl + 1)
0, k = 0, p = 1, x ^ ~7ШРпк(Ь) eos kl, kfO, p = 0, ~7ШРпк{Ь) sin kl, kf 0, p = l;
Sb =
Rnk
X <
JJ (Si • S¿) du
0, г = i,
1, г = j;
rafcp yñ(ñTT)
Pn,i(b), k = 0, p = 1,
(-k tg bPnk(b) + Pn,k+i(b)) sin kl,
k = 0, p = 0, (-k tg bPnk(b) + Pn,k+i(b))cos kl,
k = 0, p = 1.
Для удобства часто вводят линейную нумерацию функций ^кр, Tnкp и Srafcp одним индексом 3, где
3 = п2 + 2к + р - 1.
Введенные функции удовлетворяют следующим соотношениям:
Ц (V • V,) ды = Ц (Т • т) ды =
jj (Vi • Tj) du = JJ (Vi • S¿) du
(Si • Tj) du = 0,
Другими словами, набор функций Vrafcp, Trafcp, Srafcp образует на сфере ортонормированную систему функций.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД ПО СИСТЕМЕ ВСФ
Рассмотрим реальное поле скоростей звезд на небесной сфере:
U(l, b) = Vr/rer + Кщ cos bel + Кщьеь,
где Vr — лучевая скорость, щ,щь — компоненты собственного движения звезд по галактическим долготам и широтам, r — расстояние до звезды, К = 4.738 — множитель перевода размерности собственных движений звезд мсд/год в км/с/кпк.
Используя систему определенных выше векторных сферических функций, мы можем разложить поле скоростей следующим образом:
U(l,b) = £ VnkpVnkp +
(1)
nkp
+ ^ ^ ^пкрТпкр + } ^ ^пкр^пкр, пкр пкр
где в силу ортонормированности базиса коэффициенты разложения упкр, 1пкр и впкр вычисляются по формулам
Vnkp = (U • Vnkp) du
п
2п +п/2
= / dl J (l,b)/rVnkp cos bdb,
0 -n/2
tnkp = JJ (U • Tnkp) du =
п
2n +n/2
= I dl J cos bTLp + K^A^j cos b i
0 -n/2
snkp = JJ (U • Snkp) du =
п
п
п
п
е
п
п
п
2п
+п/2
= / dl
K-щ cos bSlnkp + KßbSnkp) cos bt
- \mX sin 2b sin 21 + Mit cos 2bcos l +
-n/2
1
+ M^ cos 2b sin l - -M^ sin 2b cos21 -
ii
РАЗЛОЖЕНИЕ УРАВНЕНИИ ОГОРОДНИКОВА-МИЛНА ПО СИСТЕМЕ ВСФ
При анализе собственных движений звезд часто используют уравнения модели Огороднико-ва-Милна (Дю Монт, 1977; Рыбка, 2004). В этой модели поле скоростей звезд представляется линейным выражением
V = Vo + П х r + M+ х r, (2)
где V
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.